I knutteorin är ett diagram av en knut eller länk alternerande om korsningarna växlar - under, över, under, över, etc., om du går längs varje komponent i länken. En länk är alternerande om den har ett alternerande diagram.
Många av noderna med korsningar mindre än 10 är alternerande. Detta faktum, och de användbara egenskaperna hos alternerande knutar som Tates gissningar , har gjort det möjligt för vissa forskare, inklusive Tate, att sammanställa tabeller med relativt få fel eller utelämnanden. De enklaste icke-alternerande enkla knutarna har 8 skärningar (och det finns tre sådana knutar - 8 19 , 8 20 , 8 21 ).
Det finns en hypotes att när antalet korsningar ökar, tenderar andelen icke-alternerande noder till 0 exponentiellt snabbt.
Alternerande länkar spelar en viktig roll i knutteori och 3 -manifold teori eftersom deras komplement har användbara och intressanta geometriska och topologiska egenskaper. Och detta gjorde det möjligt för Ralph Fox att ställa frågan: "Vad är en alternerande knut?" . Därför frågar han vilka egenskaper hos komplementet till en knut, som inte är relaterade till diagram, kan karakterisera alternerande knutar.
I november 2015 publicerade Joshua Evan Green ett förtryck som fastställer en karakterisering av alternerande länkar vad gäller definitionen av sammandragande ytor, d.v.s. definitioner av alternerande länkar (bland vilka alternerande knutar är ett specialfall) utan att använda begreppet länkdiagram [1] .
Olika geometriska och topologiska uppgifter avslöjas i alternerande diagram. Länkens enkelhet och delbarhet är lätt att se på diagrammet. Antalet skärningar i det givna alternerande diagrammet är antalet skärningar av knuten, och detta är en av Tates berömda gissningar.
Ett alternerande knutdiagram är i en en-till-en-överensstämmelse med en plan graf . Varje korsning är associerad med en kant och hälften av de anslutna komponenterna i diagrammets komplement är associerade med hörn.
Tates hypoteser:
Tates första två gissningar bevisades av Morven B. Thistlethwaite , Louis Kaufman och K. 1987, och 1991 bevisade samma Thistlethwaite och William Menasco Tates inversionsförmodan.
William Menasco , genom att tillämpa Thurstons hyperboliseringsteorem på Haken-manifolds , bevisade att varje enkel oskiljaktig alternerande länk är hyperbolisk , dvs. komplementet till en länk har Lobachevsky-geometri , om inte länken är torisk .
Således är den hyperboliska volymen en invariant av många alternerande länkar. Mark Lakenby visade att volymen har övre och nedre linjära gränser som en funktion av antalet vridningsområden i det givna alternerande diagrammet.