Matematik och konst

Matematik och konst hänger ihop på olika sätt. Matematiken i sig kan betraktas som en konstform, eftersom en märklig skönhet finns i den . Spår av matematiskt tänkande förekommer i musik, dans, måleri, arkitektur, skulptur och vävkonsten. Den här artikeln ägnas åt kopplingen mellan matematik och konst.

Matematik och konst har en lång historia av relationer. Målare tog till matematiska begrepp från 300-talet f.Kr. e. Den antika grekiske skulptören Polikleitos den äldre skapade förmodligen kompositionen "Canon" och en skulpturell modell (bevarad i ungefärliga repliker) av den ideala figuren av en idrottsman. Det har upprepade gånger föreslagits att antika konstnärer och arkitekter använde det gyllene snittet , men det finns inga allvarliga bevis för detta. Den italienske matematikern Luca Pacioli , en viktig gestalt i den italienska renässansen , skrev avhandlingen Den gudomliga proportionen ( latin :  De Divina Proportione ) illustrerad med träsnitt efter teckningar av Leonardo da Vinci . En annan italiensk målare , Piero della Francesca , utvecklade Euclids idéer om perspektiv genom att skriva en avhandling om perspektiv i målning ( italienska:  De Prospectiva Pingendi ). Gravören Albrecht Dürer gav i sin berömda gravyr " Melancholia " många dolda symboliska referenser till geometri och matematik. 1900-talets grafiker M. C. Escher , konsulterad av matematikern Harold Coxeter , använde sig i stor utsträckning av bilder av parkett och hyperbolisk geometri . Konstnärerna i " De Stijl "-rörelsen, ledda av Theo van Doesburg och Piet Mondrian , använde sig explicit av geometriska motiv. Matematik har påverkat olika former av stickning , broderi , vävning och mattvävning . Islamisk konst kännetecknas av symmetrier som finns i persiskt och marockanskt murverk , perforerade mugulstensskärmar och vanliga bikakevalv .

Det var matematiken som gav konstnärer verktyg som linjärt perspektiv, analys av symmetrier och gav dem alla möjliga geometriska föremål, som polyedrar eller Möbiusremsan . Undervisningsövningar inspirerade Magnus Wenninger att skapa flerfärgade stellerade polyedrar . Rene Magrittes målningar och Eschers gravyrer använder rekursion och logiska paradoxer. Fraktalgrafik är tillgänglig för datorkonstformer , i synnerhet renderingen av Mandelbrot-uppsättningen . Vissa tidningar illustrerar cellulära automater . Konstnären David Hockney har kommit med den hett omtvistade hypotesen att hans kollegor har använt camera lucida sedan renässansen för att hjälpa till att skildra scener korrekt. Arkitekt Philip Steadman hävdar att Jan Vermeer använde en camera obscura .

Sambandet mellan matematik och konst kommer till uttryck på många andra sätt. Konstföremål utsätts för algoritmisk analys med röntgenfluorescensspektroskopi . Traditionell batik från hela Java visade sig ha en fraktal dimension på 1 till 2. Slutligen gav konsten upphov till en del matematisk forskning. Filippo Brunelleschi formulerade teorin om perspektiv medan han gjorde arkitektoniska ritningar, och senare utvecklade Gérard Desargues den och lade grunden till projektiv geometri . Den pytagoreiska idén om en gudgeometer är konsonant med principerna för helig geometri , vilket också återspeglas i konsten. Ett typiskt exempel är The Great Architect av William Blake .

Ursprung: Antikens Grekland till renässansen

Polykletes "Canon" och "symmetri"

I den antika konstens historia är termen "fyrkantiga figurer" känd (( forngrekiska τετραγωνος ). Den antika romerske författaren Plinius den äldre (23-79 e.Kr.) kallade bronsstatyerna av den antika grekiska skulptören "looking square" ( lat. .  signa quadrata ) från Polykletus den äldres argiska skola ( ca 450-420 f.Kr.), i synnerhet den berömda Doryphorus och Diadumen ". Samtidigt hänvisade han till encyklopedisten Mark Terentius Varro (116-27 f.Kr.) , vilket tyder på att ordet "fyrkantig" inte kan indikera arten av silhuetten av statyn, utan metoden för proportionering , som anges i det teoretiska arbetet av Poliklet " Canon " [2] . Avhandlingen, om den fanns, har inte överlevde, men man tror att skulptören som illustration skapade samma spjutbärare, senare känd som Doryphoros [3] . Enligt författarens avsikt var "Kanonen" att sätta standarden för ideala anatomiska proportioner i skildringen av mansfiguren.

Den antika grekiske filosofen Platon (ca 427-347 f.Kr.) nämnde den geometriska metoden att fördubbla arean av en kvadrat genom att bygga en större kvadrat på dess diagonal. Den andra kvadraten innehåller fyra "halvor" av den första, därför är dess yta dubbelt så stor [4] . Denna enklaste konstruktion innehåller en viktig regelbundenhet. Diagonalen för en kvadrat är en irrationell storhet. Om vi ​​tar sidan av en kvadrat som 1, så är dess diagonal lika med eller 1,414 ... Ett system av mått baserat på en kvadrat och dess diagonal bär alltså dualitet, en polyfonisk princip för relationer mellan enkla heltal och irrationella tal.

Statyerna av idrottare i bilden av Polykleitos ser verkligen "fyrkantiga" ut (i en annan översättning, "vida proportioner"). När man analyserar deras proportioner visar det sig att modulen i figuren är sidan av torget, vars diagonal i sin tur fungerar som sidan av den större torget, etc. Som ett resultat, alla delar av statylinjen upp proportionellt i systemet med "parmått": rationella och irrationella relationer. Så höjden på hela figuren är uppdelad i två, fyra och åtta delar (huvudet på figuren är 1/8 av höjden). Men under plastisk rörelse (atleten vilar på ett ben, det andra benet är böjt i knäet och bakåt), uppstår irrationella relationer. Om vi ​​tar som en enhet (sidan av en liten kvadrat) den övre delen av figuren (oavsett dess faktiska storlek) - huvudet och bålen upp till höftbenskammen (på vilken de sneda musklerna ligger) - som en enhet, då blir den nedre delen av figuren (bäckengördel och stödben) lika med 1,618 (sidan av den större kvadraten). Följaktligen är hela höjden på figuren 2,618. Dessa förhållanden är förbundna med mönstret av det " gyllene snittet ", upptäckt av de gamla egyptierna och som är universellt [5] .

Inflytandet från "Kanon" sträckte sig till skulpturen av antikens Grekland, antikens Rom och renässansen. Inget av Polykleitos verk har överlevt till denna dag, de bevarade marmorkopiorna är ungefärliga och skiljer sig väsentligt från varandra. Texten i själva avhandlingen har också gått förlorad, även om citat och kommentarer av antika författare har bevarats [3] . Vissa forskare hävdar att Poliklet i sin tur påverkades av pytagoreernas lära [ 6] . "Canon" arbetar med de grundläggande begreppen i antik grekisk geometri: förhållande, proportion och symmetri. "Canon"-systemet gör det möjligt att beskriva den mänskliga figuren genom kontinuerliga geometriska progressioner [7] .

Perspektiv och proportion

Under den antika perioden tog konstnärer inte till linjärt perspektiv . Storleken på föremålen bestämdes inte av deras avlägsna belägenhet, utan av deras tematiska betydelse. Vissa medeltida målare använde omvänt perspektiv för att uppmärksamma särskilt betydelsefulla figurer. År 1021 formulerade den islamiske matematikern Ibn al-Khaytham teorin om optik , men tillämpade den inte på konstföremål [8] . Renässansen är förknippad med restaureringen av antika grekiska och romerska kulturtraditioner. Idéerna om tillämpningen av matematik för studier av natur och konst återupplivades också . Konstnärer under senmedeltiden och renässansen var intresserade av matematik av två skäl. Först ville målare veta hur man exakt avbildar tredimensionella föremål på en tvådimensionell dukyta. För det andra trodde konstnärer, liksom vissa filosofer, på matematik som den fysiska världens sanna väsen; konst som en del av detta universum är föremål för geometrins lagar [9] .

Början av perspektivet ses hos Giotto (1266-1337), som målade avlägsna föremål genom att algebraiskt bestämma linjernas position i perspektivet. År 1415 introducerade arkitekten Filippo Brunelleschi , tillsammans med sin vän Leon Battista Alberti , den geometriska metoden att skapa perspektiv i Florens. Med hjälp av liknande trianglar av Euklid beräknade de den skenbara höjden av avlägsna föremål [10] [11] . Målningar med Brunelleschis perspektiv har gått förlorade, men Masaccios treenighet låter oss se principen i handling [8] [12] [13] . Den italienske målaren Paolo Uccello (1397-1475) hänfördes av den nya tekniken. I " Slaget vid San Romano " placerade han trasiga spjut mellan perspektivlinjerna [14] [15] .

Piero della Francescas (ca 1415-1492) verk är ett exempel på den italienska renässansens övergång till en ny ideologi. Eftersom han var en stor matematiker och i synnerhet en geometer, skrev han verk om stereometri och perspektivteori. Bland dem finns " On Perspective in Painting " ( italienska:  De Prospectiva Pingendi ), "Treatise on Accounts" ( italienska:  Trattato d'Abaco ) och "On Regular Polyhedra" ( italienska:  De corporibus regularibus ) [16] [17] [ 18] . Historikern Giorgio Vasari kallar i sina " Biografier " Piero "den största geometern i sin tid, och kanske genom tiderna" [19] . Pieros intresse för perspektiv syns i hans verk St. Antonius polyptyk [ 20] , St. Augustinus altartavla och Jesu Kristi flagellation . Hans geometriska undersökningar påverkade nästa generationer av matematiker och konstnärer, bland dem Luca Pacioli och Leonardo da Vinci . Det är känt att Pierrot studerade verk av forntida matematiker, inklusive Arkimedes [21] . Pierrot utbildades i kommersiell aritmetik vid " kulramsskolan "; hans avhandlingar är utformade i samma stil som läroböckerna i "skolan" [22] . Kanske var Piero bekant med " Book of the Abacus " (1202) av Fibonacci . Linjärt perspektiv penetrerade gradvis konstens värld. I avhandlingen "Om målning" ( italienska:  De pictura , 1435), skrev Alberti: "ljusstrålar går från punkterna i bilden till ögat längs en rak linje och bildar en pyramid , där ögat är spetsen." En bild målad enligt principen om linjärt perspektiv är en del av denna pyramid [23] .

I On Perspective in Painting omvandlar Piero sina empiriska observationer om perspektiv till matematiska uttryck och bevis. Efter Euklid definierar han en punkt som "det minsta föremålet som är märkbart för ögat" ( italienska:  una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere ) [9] Piero leder läsaren till representationen av tredimensionella kroppar på en tvådimensionell kropp. -dimensionell yta med hjälp av deduktiva resonemang [24] .

Den samtida konstnären David Hockney hävdar att hans kollegor från 1420-talet använde camera lucida , vilket ledde till en dramatisk ökning av målningarnas noggrannhet och realism. Han tror att Ingres , van Eyck och Caravaggio [25] också använde denna enhet . Experternas åsikter i denna fråga är delade [26] [27] . Arkitekt Philip Steadman uttryckte en annan kontroversiell hypotes [28] om Vermeers användning av en camera obscura [29] .

År 1509 publicerade Luke (ca 1447-1517) en avhandling "Om gudomlig proportion", tillägnad de matematiska och konstnärliga aspekterna av proportioner , inklusive det mänskliga ansiktet. Leonardo da Vinci (1452–1519), som studerade hos Pacioli på 1490-talet, illustrerade sin text med träsnitt av vanliga polyedrar. Wireframe-bilder av polyedrar gjorda av da Vinci är de första illustrationerna av detta slag som har kommit ner till oss [30] . Han var en av de första som avbildade polyedrar (inklusive rhombicuboctahedron ) byggda på andra figurers ansikten - det var så Leonardo visade perspektiv. Själva avhandlingen ägnas åt beskrivningen av perspektiv i verk av Piero della Francesca, Melozzo da Forli och Marco Palmezzano [31] . Da Vinci studerade Paciolis "Summa" genom att kopiera tabeller med proportioner [32] . Både " Gioconda " och " Nattvarden " är byggda på principen om linjärt perspektiv med en försvinnande punkt , vilket ger bilden ett synligt djup [33] . Nattvarden använder proportionerna 12:6:4:3 - de finns också i Athens School av Rafael . Pythagoras, avbildad på den, håller en tabell med idealiska proportioner, till vilken pytagoreerna fäste en helig betydelse [34] [35] . Den vitruvianska mannen Leonardo återspeglar den romerske arkitekten Vitruvius idéer ; två överlagrade mansfigurer är inskrivna både i en cirkel och i en kvadrat [36] .

Redan på 1400-talet använde målare som var intresserade av visuella förvrängningar krökt perspektiv . Jan van Eycks " Porträtt av Arnolfinis " (1343) har en konvex spegel som reflekterar hjältarnas gestalter [37] . "Självporträtt i en konvex spegel" (ca 1523-1524) Parmigianino skildrar konstnärens nästan oförvrängda ansikte och en starkt böjd bakgrund och en hand placerad på kanten [38] .

Tredimensionella objekt kan avbildas ganska övertygande utan att tillgripa perspektiv. Snedprojektioner , inklusive kavaljerperspektivet (används av franska stridsmålare på 1700-talet för att måla befästningar), observeras kontinuerligt och allestädes närvarande bland kinesiska konstnärer från 1-2 till 1700-talet. Denna tradition kom till kineserna från Indien och där från antikens Rom. Snedprojektion ses i japansk konst, som i ukiyo-e- målningarna av Torii Kiyonaga [39] .

Golden Ratio

Det gyllene snittet , ungefär lika med 1,618, var känt även för Euklid [40] . Många samtida hävdar [41] [42] [43] [44] att den användes i konsten och arkitekturen i det antika Egypten, antikens Grekland, men det finns inga tillförlitliga bevis för detta [45] . Uppkomsten av detta antagande kan bero på förvirring mellan det gyllene snittet och den "gyllene medelvägen", som grekerna kallade "frånvaron av överskott i någon av riktningarna" [45] . Pyramidologer sedan 1800-talet har talat om användningen av det gyllene snittet i utformningen av pyramider och argumenterat för sin position med tvivelaktiga matematiska argument [45] [46] [47] . Troligtvis byggdes pyramiderna antingen på basis av en triangel med sidorna 3-4-5 (lutningsvinkel - 53 ° 8 '), som nämns i Ahmes-papyrusen , eller på basis av en triangel med cosinus π / 4 (lutningsvinkel - 51 ° 50 ') [48] . Fasad och golv av Parthenon , byggd på 500-talet f.Kr. e. i Aten , påstås utformad på grundval av det gyllene snittet [49] [50] [51] . Detta påstående vederläggs också av verkliga mätningar [45] . Man tror att det gyllene snittet också användes vid utformningen av den stora moskén i Kairouan i Tunisien [52] . Detta värde finns dock inte i moskéns ursprungliga utformning [53] . Arkitekturhistorikern Frederic Makody Lund konstaterade 1919 att Chartres Cathedral (1100-talet), Lane (1157-1205) och Notre-Dame Cathedral i Paris (1160) utformades i enlighet med principen om det gyllene snittet [54] . Vissa forskare hävdar att före publiceringen av Paciolis verk 1509 var avsnittet inte känt för varken konstnärer eller arkitekter [55] . Till exempel har höjden och bredden på fasaden på Notre-Dame de la Lane ett förhållande på 8/5 eller 1,6, men inte 1,618. Denna andel är en av Fibonacci-förhållandena som är svåra att skilja från det gyllene snittet eftersom de konvergerar till 1,618 [56] . Det gyllene snittet observeras bland Paciolis anhängare, inklusive Leonardos Gioconda [57] .

Plansymmetrier

Plana symmetrier har observerats i flera tusen år vid mattvävning, stenläggning, vävning och skapandet av gallerobjekt [58] [59] [60] [61] .

Många traditionella mattor, oavsett om de är raggiga eller kilim (plattvävda) är uppdelade i en central medaljong och en kantsektion. Båda delarna kan innehålla symmetriska element, medan symmetrin hos handgjorda mattor ofta kränks av författarens detaljer, mönster och färgvariationer [58] . Motiven hos anatoliska kelimer är ofta symmetriska i sig själva. Det allmänna mönstret antyder närvaron av ränder, inklusive de med intermittenta motiv, och likheter med hexagonala former. Den centrala delen kan karakteriseras av tapetgruppen pmm, medan ramen kan karakteriseras av kantgrupperna pm11 , pmm2 eller pma2. Kilims från Turkiet och Centralasien har i regel minst tre gränser, beskrivna av olika grupper. Matttillverkare siktade definitivt på symmetri, även om de inte var bekanta med dess matematik [58] . Matematikern och arkitekturteoretikern Nikos Salingaros tror att den estetiska effekten av mattor ges av speciella matematiska tekniker, nära arkitekten Christopher Alexanders teorier . Som ett exempel nämner han koniska mattor från 1600-talet med två medaljonger. Dessa tekniker involverar konstruktion av motsatta par av föremål; färgkontrast; geometrisk differentiering av områden med hjälp av kompletterande figurer eller koordinering av skarpa hörn; introduktion av komplexa figurer (som börjar med individuella noder); konstruktion av små och stora symmetriska figurer; reproduktion av figurer i större skala (förhållandet mellan varje ny nivå och den föregående är 2,7). Salingaros hävdar att varje framgångsrik matta uppfyller minst nio av tio villkor. Dessutom anser han att det är möjligt att klä de givna indikatorerna i form av ett estetiskt mått [62] .

Skickliga indiska jali -galler , skapade av marmor, pryder palats och gravar [59] . Kinesiska galler, alltid utrustade med någon form av symmetri - ofta spegelvänd , dubbelspegel eller roterande  - är representerade i 14 av de 17 tapetgrupperna. Vissa har en central medaljong, vissa har en kant som hör till en grupp gränser [63] . Många kinesiska rutnät har analyserats matematiskt av Daniel S. Dai. Han kunde fastställa att centrum för denna konst är provinsen Sichuan [64] .

Symmetrier är vanliga inom textil konst som quiltning [60] , stickning [65] , virkning [66] , broderi [67] [68] , korsstygn och vävning [69] . Det är anmärkningsvärt att symmetrin på tyget kan vara rent dekorativt eller symbolisera ägarens status [70] . Rotationssymmetri förekommer i cirkulära föremål. Många kupoler är dekorerade med symmetriska mönster inifrån och ut, som Sheikh Lutfulla-moskén (1619) i Isfahan [71] . Reflexiva och rotationssymmetrier är karakteristiska för broderade och spetselement av dukar och bordsmattor, skapade med hjälp av spolar eller tatningsteknik . Dessa föremål är också föremål för matematiska studier [72] .

Islamisk konst visar symmetrier i många former, särskilt den persiska girih- mosaiken . Den skapas av fem kaklade former: en vanlig dekagon, en vanlig femhörning, en långsträckt dekagon, en romb och en figur som liknar en fluga . Alla sidor av dessa figurer är lika, alla deras vinklar är multiplar av 36° (π/5 radianer ), vilket ger fem- och tiofaldiga symmetrier. Kakelplattan är dekorerad med en sammanflätad prydnad (girih proper), som vanligtvis är mer synlig än brickans kanter. 2007 noterade fysikerna Peter Lu och Paul Steinhardt likheten mellan girih och kvasikristallina Penrose-plattor [73] . Geometriskt justerade zelligeplattor är ett karakteristiskt inslag i marockansk arkitektur [61] . Honeycomb saods eller muqarnas är tredimensionella, men de designades - genom att rita geometriska celler - i två dimensioner [74] .

Polyhedra

Vanliga polyedrar  är ett av de vanligaste ämnena inom västerländsk konst. Den lilla stjärnformade dodekaedern , till exempel, finns i marmormosaikerna i Markuskyrkan i Venedig ; författarskapet tillskrivs Paolo Uccello [14] . Da Vincis regelbundna polyedrar illustreras av Luca Paciolis On Divine Proportion [14] . Glasrhombicuboctahedron finns i porträttet av Pacioli (1495) av Jacopo de Barbari [14] . En stympad polyeder och många andra föremål relaterade till matematik finns i Durers gravyr " Melancholia " [14] . Den sista måltiden av Salvador Dali skildrar Kristus och hans lärjungar inuti en gigantisk dodekaeder .

Albrecht Dürer (1471–1528), gravör och grafiker från den tyska renässansen, bidrog till teorin genom att ge ut boken "Guide to Measurement" ( tyska:  Underweysung der Messung ) 1525. Arbetet ägnas åt linjärt perspektiv, geometri i arkitektur, vanliga polyedrar och polygoner. Förmodligen inspirerades Dürer av Pacioli och Piero della Francescas verk under sina resor i Italien [75] . Perspektivproverna i "Guide to Measurement" är inte fullt utvecklade och felaktiga, men Dürer belyste polyedrarna fullt ut. Det är i denna text som utvecklingen av en polyeder först nämns , det vill säga utvikningen av en (till exempel pappers) polyeder till en platt figur som kan tryckas [76] . Ett annat inflytelserik verk av Dürer är fyra böcker om mänskliga proportioner ( tyska:  Vier Bücher von Menschlicher Proportion , 1528) [77] .

Den berömda gravyren av Dürer "Melancholia" föreställer en ledsen tänkare som sitter vid en trunkerad triangulär trapets och en magisk fyrkant [1] . Dessa två föremål och gravyr som helhet är av största intresse för moderna forskare i alla Dürers arbeten [1] [78] [79] . Peter-Klaus Schuster publicerade en bok i två volymer om Melancholia [80] , medan Erwin Panofsky diskuterar arbetet i sin monografi [1] [81] . " Hyperkubisk kropp " av Salvador Dali innehåller en tredimensionell utveckling av en hyperkub  - en fyrdimensionell regelbunden polyeder [82] .

Fraktaldimensioner

Traditionell indonesisk batikmålning använder vax som reserv. Hennes motiv kan motsvara omvärldens element (till exempel växter) eller vara abstrakta, till och med kaotiska. Reserven kanske inte appliceras korrekt, sprickbildning (sprickbildning) av vaxet förstärker effekten av slumpmässighet. Målningen har en fraktal dimension från 1 till 2, beroende på ursprungsregionen. Till exempel har batik från Cirebon dimensionen 1,1, dimensionen batik från Yogyakarta och Surakarta (centrala Java ) - från 1,2 till 1,5; Lasem (Norra Java) och Tasikmalai (Västra Java) har dimensioner från 1,5 till 1,7 [83] .

Den samtida konstnären Jackson Pollocks arbete med dropptekniken är också anmärkningsvärt för sin fraktala dimension: Målningen "Number 14" ( eng.  Number 14 , 1948) har en dimension på 1,45. Hans efterföljande verk kännetecknas av en högre dimension, vilket tyder på ett bättre mönsterstudie. En av Pollocks sista målningar ,  Blue Poles , är 1,72 och tog sex månader att färdigställa .

Komplexa relationer

Astronomen Galileo Galilei skrev i sin avhandling "The Assay Master " att universum är skrivet på matematikens språk , och att symbolerna för detta språk är trianglar, cirklar och andra geometriska figurer [85] . Enligt Galileo måste konstnärer som vill lära känna naturen först och främst förstå matematik. Matematiker, å andra sidan, försökte analysera konst genom geometrins och rationalitetens prisma (i ordets matematiska betydelse). Matematikern Felipe Kuker föreslog att denna vetenskap, och geometri i synnerhet, fungerar som en uppsättning regler för "regeldrivet konstnärligt skapande" ( eng.  "regeldrivet konstnärligt skapande" ), även om det inte är den enda [86] . Några särskilt anmärkningsvärda exempel på detta komplexa förhållande beskrivs nedan [87] .

Matematik som konst

Matematikern Jerry P. King skriver om matematik som en konst och menar att nycklarna till det är skönhet och elegans, inte tråkig formalism. King menar att det är skönhet som motiverar forskare inom detta område [88] . Han citerar uppsatsen " Apology of a Mathematician " (1940) av en annan matematiker G. H. Hardy , där han bekänner sin kärlek till två gamla satser: beviset på oändligheten av Euklids primtal och beviset för irrationaliteten i kvadratroten ur två. King utvärderar det senare enligt Hardys kriterier för skönhet i matematik : allvar, djup, allmänning, överraskning, oundviklighet och ekonomi (Kings kursiv stil) och drar slutsatsen att beviset är "estetiskt attraktivt" [89] . Den ungerske matematikern Pal Erdős talar också om skönheten i matematik, som inte alla dimensioner kan uttryckas med ord: ”Varför är siffror vackra? Det skulle motsvara att fråga varför Beethovens nionde symfoni är vacker . Om du inte ser det kan ingen förklara det för dig. Jag ''vet'' att siffror är vackra." [90] [91]

Matematiska konstverktyg

I samband med bildkonst ger matematik skaparen många verktyg, som linjärt perspektiv, beskrivet av Brook Taylor och Johann Lambert , eller beskrivande geometri , observerat redan i Albrecht Dürer och Gaspard Monge , och nu används för mjukvarumodellering av tredimensionell föremål [92] . Sedan medeltiden (Pacioli) och renässansen (da Vinci och Dürer) har konstnärer använt matematikens prestationer i kreativa syften [93] [94] . Med undantag för rudimenten av perspektiv i antik grekisk arkitektur, började dess utbredda användning på 1200-talet, bland pionjärerna var Giotto . Vanishing point- regeln formulerades av Brunelleschi 1413 [8] . Hans upptäckt inspirerade inte bara da Vinci och Dürer, utan också Isaac Newton , som studerade det optiska spektrumet , Goethe , som skrev boken " On the Theory of Color ", och sedan nya generationer av konstnärer, bland vilka var Philip Otto Runge , William Turner [95] , Pre-Raphaelites och Wassily Kandinsky [96] [97] . Konstnärerna utforskar också symmetrierna i kompositionen [98] . Matematiska verktyg kan användas av konstforskare eller av hantverkare själva, som i fallet med grafikern M.C. Escher (med input från Harold Coxeter ) eller arkitekten Frank Gehry . Den senare hävdar att datorstödda designsystem har gett honom helt nya sätt att uttrycka sig [99] .

Konstnären Richard Wright tror att visuella modeller av matematiska objekt tjänar antingen till att simulera ett visst fenomen eller är objekt för datorkonst . Wright illustrerar sin position med en bild av Mandelbrot-uppsättningen , genererad av en cellulär automat och datoråtergivning ; med hänvisning till Turing-testet diskuterar han om produkterna från algoritmer kan betraktas som konst [100] . Samma tillvägagångssätt observeras i Sasho Kalaidzewski, som överväger visualiserade matematiska objekt: parkett, fraktaler, figurer av hyperbolisk geometri [101] .

En av datorkonstens pionjärer var Desmond Paul Henry, som skapade "Drawing Machine 1". En analog beräkningsmekanism baserad på bombsight -datorn presenterades för allmänheten 1962 [102] [103] . Maskinen kunde skapa komplexa, abstrakta, asymmetriska, kurvlinjära, men repetitiva mönster [102] [104] . Hamid Naderi Yeganeh skapar figurer av fiskar, fåglar och andra verkliga objekt med hjälp av kurvfamiljer [105] [106] [107] . Samtida konstnärer, inklusive Mikael H. Christensen, arbetar inom genren algoritmisk konst och skapar manus för mjukvara. Ett artistledd system tillämpar matematiska operationer på en given uppsättning data [108] [109] .

Från matematik till konst

Det är känt att boken "Science and Hypothesis" (1902) av matematikern och fysikern Henri Poincaré lästes av många kubister , inklusive Pablo Picasso och Jean Metzinger [111] [112] . Poincare såg i euklidisk geometri inte en objektiv sanning, utan bara en av många möjliga geometriska konfigurationer. Den möjliga existensen av en fjärde dimension inspirerade konstnärer att utmana renässansens klassiska perspektiv, och de vände sig till icke-euklidiska geometrier [113] [114] [115] . En av kubismens förutsättningar var idén om ett matematiskt uttryck för handlingen i färg och form. Abstraktionismens historia börjar med kubismen [116] . År 1910 skrev Metzinger: "[Picasso] skapar ett fritt, rörligt perspektiv, från vilket den geniala matematikern Maurice Princet härledde en hel geometri" [117] . I sina memoarer erinrade Metzinger:

"Maurice Princet besökte oss ofta; ... han förstod matematik som en konstnär, som en estet vädjade han till n - dimensionella kontinuum. Han gillade att ingjuta ett intresse hos konstnärer för nya synpunkter på rymden , som upptäcktes av Schlegel och flera andra. I detta utmärkte han sig." [118]

Att modellera matematiska former för forsknings- eller undervisningsändamål leder oundvikligen till bisarra eller vackra figurer. De var influerade av dadaisterna Man Ray [119] , Marcel Duchamp [120] och Max Ernst [121] [122] och Hiroshi Sugimoto [123] .

Man Ray fotograferade modeller av geometriska figurer vid Parisinstitutet. Poincare. Ett av de mest kända verken i den cykeln är The Mathematical Object ( franska:  Objet mathematique , 1934). Konstnären anger att "Objektet" är Enneper ytor med konstant negativ krökning , härledd från en pseudosfär . Den matematiska grunden var oerhört viktig för honom; matematiken tillät honom att motbevisa "objektets" "abstrakta" karaktär. Man Ray hävdade att den fångade figuren är lika verklig som urinalen som Duchamp gjorde till ett konstobjekt. Ändå erkände han: "[Ennepers ytformel] betyder ingenting för mig, men själva formerna var lika varierande och autentiska som de som finns i naturen." Han använde fotografier från Poincaré-institutet i verk baserade på Shakespeares pjäser , till exempel när han skapade Antony och Cleopatra (1934) [124] . Kolumnisten Jonathan Keats, som skriver i ForbesLife , hävdar att Man Ray fotograferade "elliptiska paraboloider och koniska punkter på samma sinnliga sätt som Kiki de Montparnasse avbildade " [125] och att han "vittigt omarbetade matematikernas kalla beräkningar för att avslöja topologin av begär” [126] [127] . Skulptörer från 1900-talet, inklusive Henry Moore , Barbara Hepworth och Nahum Gabo , fann också inspiration i matematiska modeller [128] . Om hans skapelse Stringed Mother and Child ( 1938 ) sade Moore :  "Utan tvekan var källan till mina stråkfigurer Museum of Science ; ... Jag var fascinerad av de matematiska modellerna som jag såg där; ... Jag var inte upphetsad av den vetenskapliga studien av dessa modeller, men förmågan att se genom strängarna som en fågel ser ut ur en bur, och förmågan att se en form i en annan.” [129] [130]

Konstnärerna Theo van Doesburg och Piet Mondrian grundade " De Stijl "-rörelsen, som var att "skapa en visuell vokabulär av elementära geometriska former, begriplig för alla och applicerbar på alla discipliner" [132] [133] [134] . Många av deras verk ser ut som ett fodrat plan med rektanglar och trianglar, ibland cirklar. Medlemmar av "De Stijl" målade bilder, skapade möbler och interiörer och var engagerade i arkitektur [133] . När rörelsen kollapsade organiserade van Doesburg avantgardegruppen Art Concret ( franska:  Art concret , "konkret konst"). Om sin egen "Arithmetic Composition" (1929-1930) skrev van Doesburg: "en struktur som kan kontrolleras, en viss yta utan slumpmässiga element eller personliga infall" [135] , medan "inte saknar ande, inte saknar den universellt och inte ... tomt, eftersom allt motsvarar den inre rytmen” [136] . Kritikern Gladys Fabre ser två framsteg i "Kompositionen": tillväxten av svarta rutor och den förändrade bakgrunden [137] .

Matematiken för parketter , polyedrar, former av rymd och självreproduktion gav grafikern M. K. Escher (1898-1972) en livslång tillgång på tomter [138] [139] . Med Alhambra- mosaikerna som exempel visade Escher att konst kan skapas med enkla figurer. Han drev planet och använde oregelbundna polygoner, reflektioner, blicksymmetri och parallell översättning . Han skapade motsättningar mellan perspektivprojektion och egenskaperna hos tredimensionellt rum, han skildrade omöjliga i den verkliga världen, men estetiska konstruktioner. Litografin " Descending and Ascending " (1960) visar oss en omöjlig trappa , vars upptäckt är förknippad med namnen på Lionel (far) och Roger (son) Penrose [140] [141] [142] .

Tessellationerna skapade av Escher är ganska många, och några av idéerna föddes i samtal med matematikern Harold Coxeter om hyperbolisk geometri [143] . Mest av allt var Escher intresserad av fem polyedrar: tetraedrar, kuber, oktaedrar, dodekaedrar och ikosaedrar. Siffror förekom upprepade gånger i hans verk, men de är särskilt märkbara i "Order och kaos" (1950) och "Fyra vanliga polyedrar" (1961) [144] . Dessa stjärnformationer vilar inuti en annan figur, vilket ytterligare förvränger betraktningsvinkeln och uppfattningen av polyedrar [145] .

Den visuella komplexiteten hos parketter och polyedrar utgjorde grunden för många konstverk. Stuart Coffin skapar polyedriska pussel från sällsynta träslag, George W. Hart studerar och skulpterar polyedrar, och Magnus Wenninger skapar modeller av stjärnformationer [146] .

Förvrängda perspektiv på anamorfos har varit kända inom måleriet sedan 1500-talet. År 1553 målade Hans Holbein Jr. " Ambassadörer ", och placerade en kraftigt förvrängd skalle i förgrunden. Därefter lades anamorfa tekniker till arsenalen av Escher och annan grafik [147] .

Topologiska tomter är märkbara i samtidskonst . Skulptören John Robinson (1935-2007) är känd för sina verk Gordian Knot och Bands of Friendship ,  illustrationer av knutteori i polerad brons [9] . Några av Robinsons andra skulpturer handlar om toris topologi . "Skapelsen" ( eng. Genesis ) är byggd på principen om borromeiska ringar : tre cirklar är inte sammanlänkade i par, men de kan kopplas loss endast genom att förstöra hela strukturen [148] . Helaman Ferguson skulpterar ytor och andra topologiska föremål [149] . Hans verk The Eightfold Way är baserat på den projektiva speciella linjära gruppen PSL(2, 7) , en finit grupp med 168 element [150] [151] . Skulptören Bathsheba Grossman är också känd för att förkroppsliga matematiska strukturer [152] [153] .    

Föremål som Lorentz-grenröret och det hyperboliska planet återskapas av mästare inom vävkonst, inklusive virkning [154] [155] [156] . 1949 publicerade vävaren Ada Dietz monografin Algebraic Expressions in Handwoven  Textiles , där hon föreslog nya vävscheman baserade på utvidgningen av flerdimensionella polynom [157] . Genom att använda 90-regeln för en cellulär automat skapade matematikern Jeffrey C. P. Miller gobelänger som visar träd och abstrakta mönster av trianglar [158] ; cellulära automater används också för att direkt skapa digital bildkonst [159] . Math Knitters [  160] [ 161] Pat Ashforth och Steve Plummer stickar mönster för sexkanten och andra figurer för studenter. Det är anmärkningsvärt att de misslyckades med att knyta Mengers svamp - den var gjord av plast [162] [163] . Ashforth och Plummers mathghans-projekt [ 164 ] har bidragit till att införliva stickteori i läroplanerna för brittiska läroplaner för matematik och teknik [165] [166] .  


Illustrerande matematik

Modellering är långt ifrån det enda sättet att illustrera matematiska begrepp. Stefaneschi -triptyken (1320) av Giotto innehåller en rekursion . Den centrala panelen på framsidan (nedre till vänster) visar oss kardinal Stefaneschi själv; han knäböjer och erbjuder en liten kopia av Triptyken som gåva [167] . Metafysiska målningar av Giorgio de Chirico , inklusive The Great Metafysical Interior (1917) behandlar teman av representationsnivåer i konst; de Chirico målar bilder i bilder [168] .

Konst kan fånga logiska paradoxer. Surrealisten René Magritte skapade sina målningar som semiotiska skämt och ifrågasatte förhållandet mellan ytor. Målningen " The Conditions of Human Existence " (1933) föreställer ett staffli med en duk; landskapet stödjer utsikten från fönstret, vars ramar indikeras av gardiner. Escher byggde tomten till The Picture Gallery (1956) på samma sätt: en förvrängd utsikt över staden, ett galleri beläget i staden, själva målningen som en utställning. Rekursionen fortsätter i det oändliga [169] . Magritte förvrängde verkligheten på andra sätt också. Mental Arithmetic (1931) skildrar en boplats där hus ligger sida vid sida med kulor och rätblock, som om barnleksaker vuxit till gigantiska proportioner [170] . En journalist för The Guardian kommenterade att den "läskiga planen för en leksaksstad" [171] blev en profetia, som förebådade modernisternas tillran av "gamla bekväma former" [172] . Samtidigt leker Magritte med människans benägenhet att söka efter mönster i naturen [173] .

Salvador Dalis sista målning , Svalans svans (1983), avslutar en serie verk inspirerade av René Thomass katastrofteorin [174] . Den spanske målaren och skulptören Pablo Palazuelo (1916-2007) utvecklade en stil som han kallade "livets och hela naturens geometri". Palazuelos konstverk är noggrant strukturerade och färgade uppsättningar av enkla figurer. Som ett sätt att uttrycka sig själv använder han geometriska transformationer [9] .


Konstnärer tar inte alltid geometri bokstavligt. 1979 publicerades boken Gödel , Escher, Bach av Douglas Hofstadter , där han reflekterar över det mänskliga tänkandets mönster, inklusive konstens koppling till matematiken:

"Skillnaden mellan Eschers ritningar och icke-euklidisk geometri är att i den senare är det möjligt att hitta meningsfulla tolkningar av odefinierade begrepp på ett sådant sätt att systemet blir begripligt, medan slutresultatet i den förra är oförenligt med vår uppfattning om världen, oavsett hur länge vi betraktar bilden." [175]

Hofstadter hänvisar till paradoxen i Eschers "Bildgalleri", och karakteriserar det som en "konstig loop eller invecklad hierarki" [176] av verklighetsnivåer. Konstnären själv är inte representerad i denna loop; varken dess existens eller faktumet av författarskap är paradoxer [177] . Vakuumet i mitten av bilden uppmärksammades av matematikerna Bart de Smit och Hendrik Lenstra. De antyder närvaron av Droste-effekten : bilden är självreproducerande i en roterad och komprimerad form. Om Droste-effekten verkligen är närvarande är rekursionen ännu mer komplicerad än vad Hofstadter [178] [179] drog slutsatsen .

Analys av konsthistorien

Algoritmisk analys av konstverk, till exempel röntgenfluorescens , gör det möjligt att upptäcka lager som senare målats över av författaren, återställa det ursprungliga utseendet på spruckna eller mörka bilder, skilja kopior från originalet och särskilja mästarens hand från studentens [180] [181] .

Jackson Pollocks "droppande" teknik [182] är känd för sin fraktala dimension [183 ] Möjligen var Pollocks kontrollerade kaos [184] influerat av Max Ernst. Genom att rotera en hink färg med en perforerad botten över duken skapade Ernst Lissajous-figurer [185] . Datavetaren Neil Dodgson försökte ta reda på om Bridget Rileys randiga dukar kunde karakteriseras matematiskt . En analys av avstånden mellan banden "gav ett definitivt resultat", i vissa fall bekräftades hypotesen om global entropi , men det fanns ingen autokorrelation , eftersom Riley varierade mönstren. Lokal entropi fungerade bättre, vilket var i linje med kritikern Robert Koudelkas teser om konstnärens verk [186] .

1933 presenterade den amerikanske matematikern George D. Birkhoff för allmänheten verket "Aesthetic Measure" - en kvantitativ teori om måleriets estetiska kvalitet . Birkhoff uteslöt frågor om konnotation från övervägande, med fokus på de geometriska egenskaperna ("ordenselement") hos bilden som en polygon. Den additiva måtten tar värden från -3 till 7 och kombinerar fem egenskaper:

Det andra måttet återspeglar antalet linjer som innehåller åtminstone en sida av polygonen. Birkhoff definierar måttet på ett objekts estetik som ett förhållande . Attityd kan tolkas som en balans mellan det nöje som kontemplationen av ett objekt levererar och komplexiteten i konstruktionen. Birkhoffs teori har kritiserats ur olika synvinklar och förebrått honom för hans avsikt att beskriva skönhet med en formel. Matematikern hävdade att han inte hade någon sådan avsikt [187] .

Mat för forskning

Det finns fall då konst fungerade som en stimulans för utvecklingen av matematik. Efter att ha formulerat teorin om perspektiv inom arkitektur och måleri, öppnade Brunelleschi en hel serie studier, som inkluderade Brooke Taylors och Johann Lamberts arbete om perspektivets matematiska grunder [188] . På denna grund byggde Gerard Desargues och Jean-Victor Poncelet teorin om projektiv geometri [189] .

Matematiska metoder tillät Tomoko Fuse att utveckla den japanska konsten origami . Med hjälp av moduler sätter hon ihop av kongruenta pappersbitar - till exempel kvadrater - polyedrar och parketter [190] . År 1893 publicerade T. Sundara Rao Geometriska övningar i pappersvikning, där han gav visuella bevis på olika geometriska resultat [191] . De viktigaste upptäckterna inom origami-matematiken inkluderar Maekawas sats [192] , Kawasakis sats [193] och Fujitas regler [194] .

Från illusion till optisk konst

Optiska illusioner , inklusive Fraser-spiralen, visar begränsningarna hos människans uppfattning av visuella bilder. Konsthistorikern Ernst Gombrich kallade effekterna de skapade för "obegripliga knep" [196] . De svarta och vita ränderna, som vid första anblicken bildar en spiral , är faktiskt koncentriska cirklar . I mitten av 1900-talet uppstod en stil av optisk konst som utnyttjade illusioner för att ge dynamik åt målningar, för att skapa effekten av flimmer eller vibrationer. Kända representanter för regin, i kraft av en välkänd analogi även känd som "op art", är Bridget Riley, Spyros Choremis [197] , Victor Vasarely [198] .

Helig geometri

Idén om en gudsgeometer och den heliga naturen hos alla tings geometri har varit känd sedan antikens Grekland och kan spåras i västeuropeisk kultur. Plutarchus påpekar att sådana åsikter hade Platon : "Gud geometriserar oupphörligt" ( Convivialium disputationum , liber 8,2). Platons åsikter har sina rötter i det pytagoreiska konceptet musikalisk harmoni, där tonerna är fördelade i idealiska proportioner som dikteras av längden på lyrans strängar. I analogi med musik bestämmer regelbundna polyedrar ("platoniska fasta ämnen") proportionerna för den omgivande världen och, som ett resultat, plotter i konsten [199] [200] . En berömd medeltida illustration av Gud som skapade universum med en kompass hänvisar till bibelversen : ”När han beredde himlen, var jag där. När han drog en cirkel över avgrunden” ( Ordspråksboken av Salomo , 8:27) [201] . År 1596 presenterade matematikern och astronomen Johannes Kepler en modell av solsystemet  - en uppsättning av kapslade platoniska fasta ämnen, som representerar de relativa storlekarna av planetbanor [201] . Målningen "The Great Architect " av William Blake , liksom hans monotyp "Newton", där den store vetenskapsmannen avbildas som en naken geometer, visar kontrasten mellan den matematiskt perfekta andliga världen och den ofullkomliga fysiska [202] . På samma sätt kan man tolka Dalis " Hyperkubiska Kropp ", där Kristus korsfästes på en tredimensionell utveckling av en fyrdimensionell hyperkub . Enligt konstnären kan det gudomliga ögat mäta mer än det mänskliga [82] . Dali föreställde sig Kristi sista måltid med lärjungarna som ägde rum inuti en gigantisk dodekaeder [203] ,

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 4 Ziegler, Günter M. Dürers polyeder: 5 teorier som förklarar Melencolias galna kub . The Guardian (3 december 2014). Hämtad 27 oktober 2015. Arkiverad från originalet 11 november 2020.
  2. ↑ Plinius den äldre. Naturvetenskap. Om konst. - M .: Ladomir, 1994. S. 65 (XXXIV, 55-56)
  3. ↑ 1 2 McCague, Hugh. Pythagoras och skulptörer: The Canon of Polykleitos  //  Rosicrucian Digest: journal. - 2009. - Vol. 1 . — S. 23 .
  4. ↑ Platon. Menon // Platon. Sobr. op. i 4 volymer - V.1. - M .: Thought, 1990. - S. 594-595 (85 a-s)
  5. ↑ Vlasov V. G. . Teorin om formning inom de sköna konsterna. Lärobok för gymnasieskolor. - St. Petersburg: S:t Petersburgs förlag. un-ta, 2017. - C.121-122
  6. ↑ Raven, JE Polyclitus and Pythagoreanism // Classical Quarterly. - 1951. - V. 1 , nr 3-4 . - S. 147 - . - doi : 10.1017/s0009838800004122 .
  7. ↑ Tobin, Richard. The Canon of Polykleitos  // American Journal of  Archaeology : journal. - 1975. - Oktober ( vol. 79 , nr 4 ). - s. 307-321 . - doi : 10.2307/503064 .
  8. ↑ 1 2 3 O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Matematik och konstperspektiv . University of St Andrews (januari 2003). Hämtad 1 september 2015. Arkiverad från originalet 24 mars 2019.
  9. ↑ 1 2 3 4 The Visual Mind II / Emmer, Michelle. - MIT Press , 2005. - ISBN 978-0-262-05048-7 .
  10. ↑ Vasari, Giorgio . Livet för de mest utmärkta målarna, skulptörerna och arkitekterna . - Torrentino, 1550. - C. Kapitel om Brunelleschi.
  11. ↑ Alberti, Leon Battista; Spencer, John R. Om målning . - Yale University Press , 1956.
  12. ↑ Fält, JV Uppfinningen av oändligheten: matematik och konst i  renässansen . - Oxford University Press , 1997. - ISBN 978-0-19-852394-9 .
  13. ↑ Witcombe, Christopher LCE Art History Resources . Tillträdesdatum: 5 september 2015. Arkiverad från originalet 4 mars 2016.
  14. ↑ 1 2 3 4 5 Hart, George W. Polyhedra in Art . Hämtad 24 juni 2015. Arkiverad från originalet 21 april 2019.
  15. ↑ Cunningham, Lawrence; Reich, John; Fichner Rathus, Lois. Kultur och värderingar: En undersökning av den västerländska  humaniora . — Cengage Learning, 2014. - S. 375. - ISBN 978-1-285-44932-6 . . — “som illustrerar Uccellos fascination för perspektiv. De tornerspelande kombattanterna engagerar sig på ett slagfält fyllt med trasiga lansar som har fallit i ett nästan rutmönster och pekar mot en försvinnande punkt någonstans i fjärran."
  16. ↑ della Francesca, Piero. De Prospectiva Pingendi / G. Nicco Fasola. — Florens, 1942.
  17. ↑ della Francesca, Piero. Trattato d'Abaco / G. Arrighi. — Pisa, 1970.
  18. ↑ della Francesca, Piero. L'operan "De corporibus regularibus" av Pietro Franceschi detto della Francesca usurpata da Fra Luca Pacioli  (italienska) / G. Mancini. — 1916.
  19. ↑ Vasari, G. Le Opere, volym 2 / G. Milanesi. - 1878. - S. 490.
  20. ↑ Zuffi, Stefano. Piero della Francesca . - L'Unità - Mondadori Arte, 1991. - S.  53 .
  21. ↑ Heath, TL The Thirteen Books of Euclid's Elements. - Cambridge University Press , 1908. - S. 97.
  22. ↑ Grendler, P. Vad Piero lärde sig i skolan: Femtonde århundradets folkbildning  / M.A. Lavin. Piero della Francesca och hans arv. – University Press of New England, 1995. - s. 161-176.
  23. ↑ Alberti, Leon Battista; Grayson, Cecil (övers.). Om måleri / Kemp, Martin. — Penguin Classics , 1991.
  24. ↑ Peterson, Mark. Piero della Francescas geometri (inte tillgänglig länk) . — "I bok I, efter några elementära konstruktioner för att introducera idén om att den skenbara storleken på ett föremål faktiskt är dess vinkel spänd mot ögat, och med hänvisning till Euklids element, böcker I och VI, och Euklids optik, vänder han, i Proposition 13, till representationen av en fyrkant som ligger platt på marken framför betraktaren. Vad ska konstnären egentligen rita? Därefter konstrueras föremål i torget (plattor, till exempel för att representera ett klinkergolv), och motsvarande föremål konstrueras i perspektiv; i bok II är prismor resta över dessa plana föremål, för att representera hus, pelare etc.; men grunden för metoden är den ursprungliga kvadraten, från vilken allt annat följer." Hämtad 2 juni 2017. Arkiverad från originalet 1 juli 2016. 
  25. ↑ Hockney, David. Hemlig kunskap: Återupptäcka de gamla mästarnas förlorade tekniker  (engelska) . – Thames och Hudson, 2006. - ISBN 978-0-500-28638-8 .
  26. ↑ Van Riper, Frank Hockneys "Lucid" bomb vid konstetableringen . Washington Post. Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 11 september 2015.
  27. ↑ Marr, Andrew Vad ögat inte såg . The Guardian (7 oktober 2001). Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 25 september 2015.
  28. ↑ Janson, Jonathan En intervju med Philip Steadman . Essential Vermeer (25 april 2003). Hämtad 5 september 2015. Arkiverad från originalet 6 september 2015.
  29. ↑ Steadman, Philip. Vermeer's Camera: Uncovering the Truth Bakom mästerverken  (engelska) . - Oxford, 2002. - ISBN 978-0-19-280302-3 .
  30. ↑ Hart, George. Luca Paciolis polyeder . Hämtad 13 augusti 2009. Arkiverad från originalet 18 oktober 2018.
  31. ↑ Morris, Roderick Conway Palmezzanos renässans: Från skuggor kommer målare fram . New York Times (27 januari 2006). Hämtad 22 juli 2015. Arkiverad från originalet 18 april 2021.
  32. ↑ Calter, Paul. Geometri och konst Enhet 1 (inte tillgänglig länk) . Dartmouth College . Hämtad 13 augusti 2009. Arkiverad från originalet 21 augusti 2009. 
  33. ↑ Brizio, Anna Maria. Konstnären Leonardo . — McGraw-Hill Education , 1980.
  34. ↑ Ladwein, Michael. Leonardo Da Vinci, den sista måltiden: ett kosmiskt drama och en förlossningsakt  (engelska) . - Temple Lodge Publishing, 2006. - S. 61-62. - ISBN 978-1-902636-75-7 .
  35. ↑ Turner, Richard A. Uppfinner Leonardo. — Alfred A. Knopf, 1992.
  36. ↑ Wolchover, Natalie Kopierade Leonardo da Vinci sin berömda "Vitruvian Man"? . NBC News (31 januari 2012). Hämtad 27 oktober 2015. Arkiverad från originalet 28 januari 2016.
  37. ↑ Criminisi, A.; Kempz, M.; Kang, SB Reflections of Reality i Jan van Eyck och Robert Campin  //  Historiska metoder: tidskrift. - 2004. - Vol. 37 , nr. 3 . - S. 109-121 . - doi : 10.3200/hmts.37.3.109-122 .
  38. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelska) . - Cambridge University Press , 2013. - S. 299-300, 306-307. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  39. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelska) . - Cambridge University Press , 2013. -  S. 269 -278. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  40. ↑ Joyce, David E. Euclid's Elements, Bok II, Proposition 11 . Clark University (1996). Hämtad 24 september 2015. Arkiverad från originalet 30 september 2015.
  41. ↑ Seghers, MJ; Longacre, JJ; Destefano, GA  Den gyllene proportionen och skönhet  // Plastisk och rekonstruktiv kirurgi : journal. - 1964. - Vol. 34 , nr. 4 . - s. 382-386 . - doi : 10.1097/00006534-196410000-00007 .
  42. ↑ Mainzer, Klaus. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science  (engelska) . - Walter de Gruyter , 1996. - S. 118.
  43. ↑ Matematiska egenskaper i antika teatrar och amfiteatrar (nedlänk) . Hämtad 29 januari 2014. Arkiverad från originalet 15 juli 2017. 
  44. ↑ Arkitektur: Ellips? . The-Colosseum.net. Datum för åtkomst: 29 januari 2014. Arkiverad från originalet den 11 december 2013.
  45. ↑ 1 2 3 4 Markowsky, George. Missuppfattningar om det gyllene snittet  //  The College Mathematics Journal :tidskrift. - 1992. - Januari ( vol. 23 , nr 1 ). - S. 2-19 . - doi : 10.2307/2686193 . Arkiverad från originalet den 8 april 2008.
  46. ↑ Taseos, Sokrates G. Tillbaka i tiden 3104 f.Kr. till den stora  pyramiden . — SOC Publishers, 1990.
  47. ↑ Förhållandet mellan den sneda höjden och halva basens längd är 1,619, vilket är mindre än 1 % olikt det gyllene snittet (1,618). Användningen av Kepler-triangeln är underförstådd (lutningsvinkeln är 51°49').
  48. ↑ Gazale, Midhat. Gnomon: Från faraoner till fraktaler. - Princeton University Press , 1999. - ISBN 978-0-691-00514-0 .
  49. ↑ Huntley, H. E. The Divine Proportion. — Dover, 1970.
  50. ↑ Hemenway, Priya. Gudomlig proportion : Phi i konst, natur och vetenskap  . - Sterling, 2005. - S.  96 .
  51. ↑ Usvat, Liliana Matematik i Parthenon . Matematik tidning. Hämtad 24 juni 2015. Arkiverad från originalet 14 september 2015.
  52. ↑ Boussora, Kenza; Mazouz, Said. Användningen av det gyllene snittet i den stora moskén i Kairouan  //  Nexus Network Journal : tidskrift. — Vol. 6 , nr. 1 . - S. 7-16 . - doi : 10.1007/s00004-004-0002-y . Arkiverad från originalet den 4 oktober 2008. . — "Den geometriska tekniken för konstruktionen av det gyllene snittet verkar ha bestämt de viktigaste besluten för den rumsliga organisationen. Det gyllene snittet förekommer upprepade gånger i någon del av byggnadsmåtten. Den återfinns i planens övergripande andel och i dimensioneringen av bönerummet, domstolen och minareten. Förekomsten av det gyllene snittet i vissa delar av Kairouan-moskén indikerar att de element som designats och genererats med denna princip kan ha realiserats under samma period." Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Hämtad 4 juni 2017. Arkiverad från originalet 4 oktober 2008. 
  53. ↑ Brinkworth, Peter; Scott, Paul. The Place of Mathematics // Australian Mathematics Teacher. - 2001. - T. 57 , nr 3 . - S. 2 .
  54. ↑ Chanfon Olmos, Carlos. Curso sobre Proportion. Procedimientos reguladors en construcción  (spanska) . — Convenio de intercambio Unam–Uady. Mexiko - Merca, 1991.
  55. ↑ Livio, Mario . Det gyllene snittet: Berättelsen om Phi, världens mest häpnadsväckande  nummer . — Broadway Books, 2002.
  56. ↑ Smith, Norman AF Cathedral Studies: Engineering or History  // Transactions of the Newcomen Society. - 2001. - T. 73 . - S. 95-137 . - doi : 10.1179/tns.2001.005 . Arkiverad från originalet den 11 december 2015. Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Hämtad 4 juni 2017. Arkiverad från originalet 11 december 2015. 
  57. ↑ McVeigh, Karen Varför det gyllene snittet behagar ögat: USA-akademiker säger att han känner till konstens hemlighet . The Guardian (28 december 2009). Datum för åtkomst: 27 oktober 2015. Arkiverad från originalet 19 oktober 2015.
  58. ↑ 1 2 3 Cucker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelska) . - Cambridge University Press , 2013. -  S. 89 -102. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  59. ↑ 12 Lerner , Martin. Lågan och lotusblomman: indisk och sydostasiatisk konst från Kronos-samlingarna  (engelska) . — Utställningskatalog. — Metropolitan Museum of Art, 1984.
  60. ↑ 1 2 Ellison, Elaine; Venters, Diana. Matematiska täcken: Ingen sömnad krävs. — Nyckelplan, 1999.
  61. ↑ 1 2 Castera, Jean Marc; Peuriot, Francois. Arabesker. Dekorativ konst i Marocko. - Art Creation Realization, 1999. - ISBN 978-2-86770-124-5 .
  62. ↑ Salingaros, Nikos. En mattas 'liv': en tillämpning av Alexanderreglerna  (engelska)  // 8th International Conference on Oriental Carpets: journal. - Philadelphia, 1996. - November. Omtryckt i Oriental Carpet and Textile Studies V / Eiland, M.; Pinner, M.. - Danville, CA: Conference on Oriental Carpets, 1998.
  63. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelska) . - Cambridge University Press , 2013. -  S. 103-106 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  64. ↑ Färgämne, Daniel S. Kinesiska gallerdesigner . - Dover, 1974. - S.  30 -39.
  65. ↑ belcastro, sarah-marie. Äventyr i matematisk stickning   // American Scientist :tidskrift. - 2013. - Vol. 101 , nr. 2 . — S. 124 . doi : 10.1511 / 2013.101.124 .
  66. ↑ Taimina, Daina. Virkningsäventyr med hyperboliska plan  . — A. K. Peters, 2009. - ISBN 1-56881-452-6 .
  67. ↑ Snook, Barbara. Florentinskt broderi . Scribner, andra upplagan 1967.
  68. ↑ Williams, Elsa S. Bargello: Florentinskt kanfasarbete . Van Nostrand Reinhold, 1967.
  69. ↑ Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. Satins and Twills: An Introduction to the Geometry of Fabrics  // Mathematics Magazine  : magazine  . - 1980. - Maj ( vol. 53 , nr 3 ). - S. 139-161 . - doi : 10.2307/2690105 . — .
  70. ↑ 1 2 Gamwell, Lynn. Matematik och konst: En kulturhistoria. - Princeton University Press , 2015. - S. 423. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  71. ↑ Baker, Patricia L.; Smith, Hilary. Iran . — 3. — Bradt Reseguider, 2009. - S. 107. - ISBN 1-84162-289-3 .
  72. ↑ Irvine, Veronica; Ruskey, Frank. Utveckla en matematisk modell för spetsar  //  Journal of Mathematics and the Arts : journal. - 2014. - Vol. 8 , nr. 3-4 . - S. 95-110 . - doi : 10.1080/17513472.2014.982938 . - arXiv : 1406.1532 .
  73. ↑ Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture  // Science  :  journal. - 2007. - Vol. 315 , nr. 5815 . - P. 1106-1110 . - doi : 10.1126/science.1135491 . - . — PMID 17322056 .
  74. ↑ van den Hoeven, Saskia, van der Veen, Maartje. Muqarnas-Mathematics in Islamic Arts . Hämtad 6 maj 2018. Arkiverad från originalet 6 maj 2019.
  75. ↑ Panofsky, E. Albrecht Durers liv och konst. — Princeton, 1955.
  76. ↑ Hart, George W. Dürers polyhedra . Hämtad 13 augusti 2009. Arkiverad från originalet 19 augusti 2009.
  77. ↑ Dürer, Albrecht. Hierinn synd begriffen vier Bucher von menschlicher Proportion  (tyska) . - Nurenberg: Archive.org, 1528.
  78. ↑ Schreiber, P. En ny hypotes om Durers gåtfulla polyeder i hans kopparstick 'Melencolia I'  //  Historia Mathematica : journal. - 1999. - Vol. 26 . - s. 369-377 . - doi : 10.1006/hmat.1999.2245 .
  79. ↑ Dodgson, Campbell. Albrecht Durer. - London: Medici Society, 1926. - S. 94.
  80. ↑ Schuster, Peter-Klaus. Melencolia I: Dürers Denkbild. Berlin: Gebr. Mann Verlag, 1991, s. 17-83.
  81. ↑ Panofsky, Erwin ; Klibansky, Raymond; Saxl, Fritz . Saturnus och melankoli . — Grundböcker , 1964.
  82. ↑ 1 2 Korsfästelse (Corpus Hypercubus) . Metropolitans Konstmuseum. Tillträdesdatum: 5 september 2015. Arkiverad från originalet 23 oktober 2015.
  83. ↑ Lukman, Muhammed; Hariadi, Yun; Destiarmand, Achmad Haldani. Batik Fractal : Traditional Art to Modern Complexity  (engelska)  // Proceeding Generative Art X, Milano, Italien: journal. – 2007.
  84. ↑ Pollocks fraktaler  (november 2001). Arkiverad från originalet den 7 oktober 2016. Hämtad 26 september 2016.
  85. ↑ Galilei, Galileo . Assayern. - 1623. , som översatt i Drake, StillmanUpptäckter och åsikter om Galileo. - Dubbeldag, 1957. - S. 237-238. — ISBN 0-385-09239-3 .
  86. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelska) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  381 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  87. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelska) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  10 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  88. ↑ King, Jerry P. The Art of Mathematics. - Fawcett Columbine, 1992. - S. 8-9. - ISBN 0-449-90835-6 .
  89. ↑ King, Jerry P. The Art of Mathematics. - Fawcett Columbine, 1992. - S. 135-139. - ISBN 0-449-90835-6 .
  90. ↑ Devlin, Keith. Har matematiker olika hjärnor? // Math-genen : Hur matematiskt tänkande utvecklades och varför siffror är som skvaller  . - Basic Books , 2000. - S. 140. - ISBN 978-0-465-01619-8 .
  91. ↑ Engelska.  "Varför är siffror vackra? Det är som att fråga varför Beethovens nionde symfoni är vacker. Om du inte ser varför kan någon inte berätta för dig. Jag vet att siffror är vackra."
  92. ↑ Malkevitch, Joseph Matematik och konst. 2. Matematiska verktyg för konstnärer . American Mathematical Society. Hämtad 1 september 2015. Arkiverad från originalet 14 september 2015.
  93. ↑ Malkevitch, Joseph Matematik och konst . American Mathematical Society. Hämtad 1 september 2015. Arkiverad från originalet 29 augusti 2015.
  94. ↑ Matematik och konst: det goda, det dåliga och det vackra . Mathematical Association of America. Hämtad 2 september 2015. Arkiverad från originalet 9 september 2015.
  95. ↑ Cohen, Louise Hur man snurrar färghjulet, av Turner, Malevich med flera . Tate Gallery (1 juli 2014). Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 11 september 2015.
  96. ↑ Kemp, Martin. The Science of Art : Optiska teman i västerländsk konst från Brunelleschi till Seurat  . - Yale University Press , 1992. - ISBN 978-968-867-185-6 .
  97. ↑ Gage, John. Färg och kultur : praktik och mening från antiken till abstraktion  . - University of California Press , 1999. - P. 207. - ISBN 978-0-520-22225-0 .
  98. ↑ Malkevitch, Joseph Matematik och konst. 3.Symmetri . American Mathematical Society. Hämtad 1 september 2015. Arkiverad från originalet 14 september 2015.
  99. ↑ Malkevitch, Joseph Matematik och konst. 4. Matematiska konstnärer och konstnärsmatematiker . American Mathematical Society. Hämtad 1 september 2015. Arkiverad från originalet 15 september 2015.
  100. ↑ Wright, Richard. Några frågor i utvecklingen av datorkonst som matematisk  konstform //  Leonardo : journal. - 1988. - Vol. 1 , nej. Electronic Art, tilläggsnummer . - S. 103-110 . - doi : 10.2307/1557919 . — .
  101. ↑ Kalajdzievski, Sasho. Math and Art: An Introduction to Visual Mathematics  (engelska) . - Chapman och Hall , 2008. - ISBN 978-1-58488-913-7 .
  102. ↑ 1 2 Beddard, Honor Datorkonst på V&A . Victoria and Albert Museum. Hämtad 22 september 2015. Arkiverad från originalet 25 september 2015.
  103. ↑ Datorn ritar: Tusentals rader i varje (17 september 1962). i Beddard, 2015.
  104. ↑ O'Hanrahan, Elaine. Ritmaskiner: Maskinen producerade ritningar av Dr. D.P. Henry i relation till konceptuell och teknisk utveckling inom maskingenererad konst (Storbritannien 1960–1968). Opublicerad MPhil. Examensarbete  (engelska) . — John Moores University, Liverpool, 2005. i Beddard, 2015.
  105. ↑ Bellos, Alex . Dagens fångst: matematiker nät konstiga, komplexa fiskar , The Guardian (24 februari 2015). Arkiverad från originalet den 30 november 2016. Hämtad 25 september 2015.
  106. ↑ "A Bird in Flight (2016)," av Hamid Naderi Yeganeh . American Mathematical Society (23 mars 2016). Hämtad 6 april 2017. Arkiverad från originalet 29 mars 2017.
  107. ↑ Chung, Stephy . Nästa da Vinci? Matematikgeni som använder formler för att skapa fantastiska konstverk , CNN  (18 september 2015). Arkiverad från originalet den 2 februari 2017. Hämtad 7 juni 2017.
  108. ↑ Levin, Golan generativa konstnärer . CMUEMS (2013). Hämtad 27 oktober 2015. Arkiverad från originalet 21 september 2015. Detta inkluderar en länk till Hvidtfeldts Syntopia Arkiverad 31 oktober 2015 på Wayback Machine .
  109. ↑ Verostko, Roman Algoristerna . Hämtad 27 oktober 2015. Arkiverad från originalet 4 september 2016.
  110. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelska) . - Cambridge University Press , 2013. -  S. 315-317 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  111. ↑ Miller, Arthur I. Einstein, Picasso : Rymden, tiden och skönheten som orsakar förödelse  . - New York: Basic Books, 2001. - S.  171 . - ISBN 0-465-01860-2 .
  112. ↑ Miller, Arthur I. Insights of Genius : Bildspråk och kreativitet i vetenskap och konst  . - Springer, 2012. - ISBN 1-4612-2388-1 .
  113. ↑ Henderson, Linda D. Den fjärde dimensionen och den icke-euklidiska geometrin i modern konst  . — Princeton University Press , 1983.
  114. ↑ Antliff, Mark; Lättna, Patricia Dee. Kubism och kultur . – Thames & Hudson, 2001.  (otillgänglig länk)
  115. ↑ Everdell, William R. The First Moderns: Profiles in the Origins of Twentieth-Century Thought  . - University of Chicago Press , 1997. - S.  312 . - ISBN 0-226-22480-5 .
  116. ↑ Green, Christopher. Kubismen och dess fiender, moderna rörelser och reaktioner i fransk konst, 1916-1928  (engelska) . - Yale University Press , 1987. - S. 13-47.
  117. ↑ Metzinger, JeanNote sur la peinture // Pan. - S. 60 . i Miller. Einstein, Picasso . - Grundböcker , 2001. - S.  167 .
  118. ↑ Metzinger, JeanLe cubisme etait né. - Éditions Présence, 1972. - S. 43-44. i Ferry, Luc Homo Aestheticus: The Invention of Taste in the Democratic Age  (engelska) . - University of Chicago Press , 1993. - S.  215 . — ISBN 0-226-24459-8 .
  119. ↑ Man Ray–Human Ekvationer En resa från matematik till Shakespeare. 7 februari – 10 maj 2015 . Phillips samling. Hämtad 5 september 2015. Arkiverad från originalet 6 september 2015.
  120. ↑ Adcock, Craig. Duchamp's Eroticism: A Mathematical Analysis  // Iowa Research Online. - 1987. - T. 16 , nr 1 . - S. 149-167 .
  121. ↑ Äldste, R. Bruce. DADA, surrealism och den filmiska  effekten . — Wilfrid Laurier University Press, 2013. - P. 602. - ISBN 978-1-55458-641-7 .
  122. ↑ Tubbs, Robert. Matematik i 1900-talets litteratur och konst: innehåll, form,  betydelse . — JHU Tryck, 2014. - S. 118. - ISBN 978-1-4214-1402-7 .
  123. ↑ Hiroshi Sugimoto konceptuella former och matematiska modeller 7 februari – 10 maj 2015 . Phillips samling. Hämtad 5 september 2015. Arkiverad från originalet 6 september 2015.
  124. ↑ Tubbs, Robert. Matematik i 1900-talets litteratur och  konst . - Johns Hopkins, 2014. - S. 8-10. — ISBN 978-1-4214-1380-8 .
  125. ↑ Engelska.  "de elliptiska paraboloiderna och koniska punkterna i samma sensuella ljus som hans bilder av Kiki de Montparnasse"
  126. ↑ Engelska.  "använder genialiskt de coola beräkningarna av matematik för att avslöja begärets topologi"
  127. ↑ Keats, Jonathon Se hur Man Ray gjorde elliptiska paraboloider erotiska på denna Phillips-samlingsfotografiutställning . Forbes (13 februari 2015). Hämtad 10 september 2015. Arkiverad från originalet 23 september 2015.
  128. ↑ Gamwell, Lynn. Matematik och konst: En kulturhistoria. - Princeton University Press , 2015. - S. 311-312. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  129. ↑ Henry Moore: Text på hans skulptur / Hedgecoe, John. — Henry Spencer Moore. - Simon och Schuster , 1968. - S. 105.
  130. ↑ Engelska.  "Utan tvekan var källan till mina strängade figurer Vetenskapsmuseet... Jag fascinerades av de matematiska modellerna jag såg där... Det var inte den vetenskapliga studien av dessa modeller utan förmågan att titta igenom strängarna som med en fågel bur och att se en form i en annan vilket gjorde mig upphetsad."
  131. ↑ Jouffret, Esprit. Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et introduction à la géométrie à n dimensions  (franska) . — Paris: Gauthier-Villars, 1903.
  132. ↑ Engelska.  "etablera ett visuellt ordförråd som består av elementära geometriska former som alla kan förstå och anpassa till vilken disciplin som helst"
  133. ↑ 12 De Stijl . Tate Ordlista . Tate. Hämtad 11 september 2015. Arkiverad från originalet 11 februari 2017.
  134. ↑ Curl, James Stevens. En ordbok för arkitektur och landskapsarkitektur  . — För det andra. - Oxford University Press , 2006. - ISBN 0-19-860678-8 .
  135. ↑ Engelska.  "en struktur som kan kontrolleras, en bestämd yta utan slumpmässiga element eller individuella nyckfullhet"
  136. ↑ Engelska.  "inte saknas i ande, inte sakna det universella och inte ... tomt eftersom det finns allt som passar den inre rytmen"
  137. ↑ Tubbs, Robert. Matematik i 1900-talets litteratur och konst: innehåll, form,  betydelse . — JHU Tryck, 2014. - S. 44-47. - ISBN 978-1-4214-1402-7 .
  138. ↑ Turné: MC Escher - Liv och arbete (inte tillgänglig länk) . NGA. Hämtad 13 augusti 2009. Arkiverad från originalet 3 augusti 2009. 
  139. ↑ M.C. Escher . Mathacademy.com (1 november 2007). Hämtad 13 augusti 2009. Arkiverad från originalet 11 oktober 2007.
  140. ↑ Penrose, L.S.; Penrose, R. Impossible objects: A special type of visual illusion  (engelska)  // British Journal of Psychology : journal. - 1958. - Vol. 49 . - S. 31-33 . - doi : 10.1111/j.2044-8295.1958.tb00634.x . — PMID 13536303 .
  141. ↑ Kirousis, Lefteris M.; Papadimitriou, Christos H.Komplexiteten i att känna igen polyedriska scener // 26th Annual Symposium on Foundations of Computer Science(FOCS 1985). - 1985. - S. 175-185 . - doi : 10.1109/sfcs.1985.59 .
  142. ↑ Cooper, Martin. Linjeritningstolkning . - Springer-Verlag , 2008. - S.  217 -230. - ISBN 978-1-84800-229-6 . - doi : 10.1007/978-1-84800-229-6_9 .
  143. ↑ Roberts, Siobhan. 'Coxetering' med MC Escher. - King of Infinite Space: Donald Coxeter, mannen som räddade geometrin. - Walker, 2006. - S. Kapitel 11.
  144. ↑ Escher, MC MC Eschers värld. — Random House , 1988.
  145. ^ Escher, M.C.; Vermeulen, M.W.; Ford, K. Escher om Escher: Exploring the Infinite. — HN Abrams, 1989.
  146. ↑ Malkevitch, Joseph Matematik och konst. 5. Polyedrar, plattsättningar och dissektioner . American Mathematical Society. Hämtad 1 september 2015. Arkiverad från originalet 14 september 2015.
  147. ↑ Marcolli, Matilde . Begreppet rymd i matematik genom linsen av modern konst  (engelska) . - Century Books, 2016. - S. 23-26.
  148. ↑ John Robinson . Bradshaw Foundation (2007). Hämtad 13 augusti 2009. Arkiverad från originalet 3 maj 2010.
  149. ↑ Helaman Fergusons webbplats . Helasculpt.com. Hämtad 13 augusti 2009. Arkiverad från originalet 11 april 2009.
  150. ↑ Thurston, William P. The Eightfold Way: A Mathematical Sculpture av Helaman Ferguson  / Levy, Silvio. - Volym 35: The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve. - MSRI Publications, 1999. - S. 1-7.
  151. ↑ MAA bokrecension av ''The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve'' . Maa.org (14 november 1993). Hämtad 13 augusti 2009. Arkiverad från originalet 21 december 2009.
  152. ↑ The Math Geek Holiday Gift Guide . Scientific American (23 november 2014). Hämtad 7 juni 2015. Arkiverad från originalet 17 juni 2015.
  153. ↑ Hanna, Raven Gallery: Bathsheba Grossman . Symmetry Magazine. Hämtad 7 juni 2015. Arkiverad från originalet 26 april 2015.
  154. ↑ Osinga, Hinke Crocheting the Lorenz manifold . University of Auckland (2005). Hämtad 12 oktober 2015. Arkiverad från originalet 10 april 2015.
  155. ↑ Henderson, David; Taimina, Daina Virkning av det hyperboliska planet  //  The Mathematical Intelligencer . - 2001. - Vol. 23 , nr. 2 . - S. 17-28 . - doi : 10.1007/BF03026623 . .
  156. ↑ Osinga, Hinke M; Krauskopf, Bernd. Virkning av Lorenz-grenröret  //  The Mathematical Intelligencer . - 2004. - Vol. 26 , nr. 4 . - S. 25-37 . - doi : 10.1007/BF02985416 .
  157. ↑ Dietz, Ada K. (1949), Algebraic Expressions in Handwoven Textiles , Louisville, Kentucky: The Little Loomhouse , < http://www2.cs.arizona.edu/patterns/weaving/monographs/dak_alge.pdf > Arkiverad kopia från 22 februari 2016 på Wayback Machine 
  158. ↑ Miller, JCPPeriodiska skogar av förkrympta träd  (engelska)  // Philosophical Transactions of the Royal Society of London  : tidskrift. - 1970. - Vol. 266 , nr. 1172 . - S. 63-111 . doi :/ rsta.1970.0003 . — .
  159. ↑ Designa skönhet: Konsten av cellulära automater / A. Adamatzky, GJ Martínez (red.). - Springer International Publishing, 2016. - (Emergence, Complexity and Computation; v. 20). - ISBN 978-3-319-27270-2 , 978-3-319-27269-6.
  160. ↑ Från engelska.  matematiker  - "matematiker" och engelska.  sticka  - sticka.
  161. ↑ Pat Ashforth & Steve Plummer - Mathekniticians . Ulliga tankar . Hämtad 4 oktober 2015. Arkiverad från originalet 15 september 2015.
  162. ↑ Ward, Mark Knitting återuppfunnit: Matematik, feminism och metall . BBC (20 augusti 2012). Hämtad 23 september 2015. Arkiverad från originalet 23 september 2015.
  163. ↑ Ashforth, Pat; Plummer, Steve Menger Sponge . Woolly Thoughts: In Pursuit of Crafty Mathematics . Hämtad 23 september 2015. Arkiverad från originalet 17 april 2021.
  164. ↑ Från engelska.  matematik  - "matematik" och engelska.  Atghans  - "stickad halsduk", "slöja".
  165. ↑ Ashforth, Pat; Plummer, Steve Afghaner för skolor . Ulliga tankar: Mathghans . Hämtad 23 september 2015. Arkiverad från originalet 18 september 2015.
  166. ↑ Mathghans med en skillnad . - Simply Knitting Magazine, 2008. - 1 juli. Arkiverad från originalet den 25 september 2015.
  167. ↑ Giotto di Bondone och assistenter: Stefaneschi triptyk . Vatikanen. Hämtad 16 september 2015. Arkiverad från originalet 30 november 2016.
  168. ↑ Gamwell, Lynn. Matematik och konst: En kulturhistoria. - Princeton University Press , 2015. - S. 337-338. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  169. ↑ Cooper, Jonathan Konst och matematik (5 september 2007). Hämtad 5 september 2015. Arkiverad från originalet 25 september 2015.
  170. ↑ Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: En evig gyllene fläta  (tyska) . - Penguin, 1980. - S. 627. - ISBN 978-0-14-028920-6 .
  171. ↑ Engelska.  "kuslig toytown-bild" .
  172. ↑ Engelska.  "mysiga traditionella former" .
  173. ↑ Hall, James René Magritte: The Pleasure Principle - utställning . The Guardian (10 juni 2011). Hämtad 5 september 2015. Arkiverad från originalet 23 augusti 2015.
  174. ↑ King, Elliot. Dali / Ades, Dawn. - Milano: Bompiani Arte, 2004. - S. 418-421.
  175. ↑ "Skillnaden mellan en Escher-ritning och icke-euklidisk geometri är att i den senare kan begripliga tolkningar hittas för de odefinierade termerna, vilket resulterar i ett begripligt totalt system, medan slutresultatet för det förra inte är förenligt med ens uppfattning av världen, oavsett hur länge man stirrar på bilderna."
  176. ↑ Engelska.  "konstig loop, eller trasslig hierarki"
  177. ↑ Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: En evig gyllene fläta  (tyska) . - Penguin, 1980. - S. 98-99, 690-717. - ISBN 978-0-394-74502-2 .
  178. ↑ de Smit, B. The Mathematical Structure of Escher's Print Gallery  // Notices of the American Mathematical Society  : journal  . - 2003. - Vol. 50 , nej. 4 . - S. 446-451 .
  179. ↑ Lenstra, Hendrik; De Smit, Bart Tillämpar matematik på Eschers Print Gallery (länk ej tillgänglig) . Leidens universitet. Hämtad 10 november 2015. Arkiverad från originalet 14 januari 2018. 
  180. ↑ Stanek, Becca Van Gogh och algoritmen: Hur matematik kan rädda konst . Time Magazine (16 juni 2014). Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 28 september 2015.
  181. ↑ Sipics, Michelle Van Gogh-projektet: Konst möter matematik i pågående internationell studie (länk ej tillgänglig) . Society for Industrial and Applied Mathematics (18 maj 2009). Hämtad 4 september 2015. Arkiverad från originalet 7 september 2015. 
  182. ↑ Emmerling, Leonhard. Jackson Pollock, 1912-1956 . - 2003. - P. 63. - ISBN 3-8228-2132-2 .
  183. ↑ Taylor, Richard P.; Micolich, Adam P.; Jonas, David. Fraktalanalys av Pollocks droppmålningar  (engelska)  // Nature  : journal. - 1999. - Juni ( vol. 399 ). - S. 422 . - doi : 10.1038/20833 . Arkiverad från originalet den 16 augusti 2015. Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Hämtad 9 juni 2017. Arkiverad från originalet 16 augusti 2015. 
  184. ↑ Taylor, Richard; Micolich, Adam P.; Jonas, David. Fractal Expressionism: Kan vetenskap användas för att främja vår förståelse av konst?  (engelska)  // Physics World  : magazine. - 1999. - Oktober ( vol. 12 ). - S. 25-28 . - doi : 10.1088/2058-7058/12/10/21 . Arkiverad från originalet den 5 augusti 2012. . — "Pollock dog 1956, innan kaos och fraktaler upptäcktes. Det är därför högst osannolikt att Pollock medvetet förstod fraktalerna han målade. Ändå var hans införande av fraktaler medvetet. Till exempel valdes färgen på ankarlagret för att ge den skarpaste kontrasten mot dukbakgrunden och detta lager upptar också mer dukutrymme än de andra lagren, vilket tyder på att Pollock ville att detta mycket fraktala ankarlager skulle visuellt dominera målningen. Dessutom, efter att målningarna var färdiga, skulle han docka duken för att ta bort områden nära dukens kant där mönstertätheten var mindre enhetlig." Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Hämtad 9 juni 2017. Arkiverad från originalet 5 augusti 2012. 
  185. ↑ King, M. Från Max Ernst till Ernst Mach: epistemologi i konst och vetenskap. (2002). Tillträdesdatum: 17 september 2015. Arkiverad från originalet 4 maj 2016.
  186. ↑ Dodgson, N.A. Matematisk karaktärisering av Bridget Rileys randmålningar  //  Journal of Mathematics and the Arts : journal. - 2012. - Vol. 5 . - S. 1-21 . doi : 10.1080 / 17513472.2012.679468 . . "Under loppet av det tidiga 1980-talet flyttade Rileys mönster från mer regelbundna till mer slumpmässiga (som kännetecknas av global entropi), utan att förlora sin rytmiska struktur (som kännetecknas av lokal entropi). Detta speglar Kudielkas beskrivning av hennes konstnärliga utveckling."
  187. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelska) . - Cambridge University Press , 2013. -  S. 116-120 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  188. ↑ Treibergs, Andrews Perspektivritningens geometri på datorn . University of Utah (24 juli 2001). Hämtad 5 september 2015. Arkiverad från originalet 10 mars 2010.
  189. ↑ Gamwell, Lynn. Matematik och konst: En kulturhistoria. - Princeton University Press , 2015. - s. xviii. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  190. ↑ Malkevitch, Joseph Matematik och konst. 6. Origami . American Mathematical Society. Hämtad 1 september 2015. Arkiverad från originalet 14 september 2015.
  191. ↑ T. Sundara Rao. Geometriska övningar i pappersvikning . — Addison, 1893.
  192. ↑ Justin, J. Mathematics of Origami, del 9 // British Origami. - 1986. - Juni. - S. 28-30 . .
  193. ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger. Charming Proofs: A Journey Into Elegant  Mathematics . - Mathematical Association of America , 2010. - Vol. 42. - S. 57. - (Dolciani matematiska utläggningar). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
  194. ↑ Alperin, Roger C.; Lang, Robert J. En-, två- och flerfaldiga origamiaxiomer  // 4OSME. — A.K. Peters, 2009.
  195. ↑ The World of Geometric Toys Arkiverad 22 juli 2020 på Wayback Machine , Origami Spring Arkiverad 19 juni 2017 på Wayback Machine , augusti 2007.
  196. ↑ Engelska.  "förbryllande trick" .
  197. ↑ Cooker, Felix. Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics  (engelska) . - Cambridge University Press , 2013. -  S. 163-166 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  198. ↑ Gamwell, Lynn. Matematik och konst: En kulturhistoria. - Princeton University Press , 2015. - S. 406-410. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  199. ↑ Ghyka, Matila. Konstens och livets geometri. - Dover, 2003. - S. ix-xi. - ISBN 978-0-486-23542-4 .
  200. ↑ Lawlor, Robert. Helig geometri: Filosofi och praktik. – Thames & Hudson, 1982. - ISBN 978-0-500-81030-9 .
  201. ↑ 1 2 Calter, Paul himmelska teman i konst & arkitektur (anknyta inte tillgänglig) . Dartmouth College (1998). Hämtad 5 september 2015. Arkiverad från originalet 23 juni 2015. 
  202. ↑ Tanken på en tanke - Edgar Allan Poe . MathPages. Hämtad 5 september 2015. Arkiverad från originalet 18 april 2021.
  203. ↑ Livio, Mario Det gyllene snittet och estetik . Hämtad 26 juni 2015. Arkiverad från originalet 17 juni 2015.

Litteratur

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk