Reduktiv grupp

En reduktiv grupp är en algebraisk grupp för vilken den unipotenta radikalen av dess enhetskomponent är trivial. Över ett icke-slutet fält definieras reduktiviteten för en algebraisk grupp som dess reduktivitet över stängningen av markfältet. $G$ $G^{0}$

En linjärt reduktiv grupp är en grupp vars varje rationell representation är fullständigt reducerbar. Varje linjärt reduktiv grupp är reduktiv. Över ett fält med karakteristik 0 är det omvända också sant, det vill säga att dessa egenskaper är ekvivalenta.

Reduktiva grupper inkluderar de viktigaste grupperna, såsom den fullständiga linjära gruppen GL ( n ) av inverterbara matriser , den speciella ortogonala gruppen SO ( n ) och den symplektiska gruppen Sp ( 2n ). Enkla algebraiska grupper och (mer allmänt) halvenkla algebraiska grupper är reduktiva.

Claude Chevalley visade att klassificeringen av reduktiva grupper är densamma över alla algebraiskt stängda fält . I synnerhet klassificeras enkla algebraiska grupper av Dynkin-diagram , som i teorin om kompakta Lie-grupper eller komplexa semisimple Lie-grupper . Reduktiva grupper över ett godtyckligt fält är svårare att klassificera, men för många fält, som det reella talfältet R eller talfältet , är klassificeringen ganska tydlig. Klassificeringen av enkla ändliga grupper säger att de flesta finita enkla grupper uppstår som gruppen G ( k ) k - rationella punkter en enkel algebraisk grupp G över ett ändligt fält k , eller som en något avvikande variant av en sådan konstruktion.

Reduktiva grupper har en rik representationsteori i en mängd olika sammanhang. Först kan man studera representationer av en reduktiv grupp G över ett fält k som algebraiska grupper som är aktioner av gruppen G på ett k -vektorrum. Man kan också studera komplexa representationer av gruppen G ( k ) när k är ett finit fält, en oändligt dimensionell enhetsrepresentation den reella reduktiva gruppen, eller en automorf representation av den algebraiska adelegruppen . Den strukturella teorin om reduktiva grupper används inom alla dessa områden.

Definition

En linjär algebraisk grupp över ett fält k definieras som ett jämnt slutet undergruppschema av gruppen GL ( n ) över ett fält k för något positivt heltal n . På motsvarande sätt är en linjär algebraisk grupp över k ett jämnt affint gruppschema över ett fält k .

En sammankopplad linjär algebraisk grupp G över ett algebraiskt slutet fält sägs vara semisenkel om någon jämnt sammankopplad löslig normal undergrupp av G är trivial. Mer allmänt sägs en sammankopplad linjär algebraisk grupp G över ett algebraiskt slutet fält vara reduktiv om någon jämnt sammankopplad unipotent normal undergrupp av G är trivial [1] . (Vissa författare kräver inte anslutning för reduktiva grupper.) En grupp G över ett godtyckligt fält k sägs vara halvenkelt eller reduktivt om schemat som erhålls genom basförlängning [2] är semisenkelt eller reduktivt, där är den algebraiska stängningen av fältet k . (Detta motsvarar definitionen av reduktiva grupper under antagandet att fältet k är perfekt [3] .) Varje torus över ett fält k , såsom den multiplikativa gruppen G m , är reduktiv. $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$

Det grundläggande exemplet på en icke-reduktiv linjär algebraisk grupp är den additiva gruppen Ga över ett fält.

En linjär algebraisk grupp G över ett fält k kallas enkel (eller k - enkel ) om den är semisenkel, icke-trivial, och varje jämnt ansluten normal undergrupp av G över ett fält k är trivial eller lika med G [4] . (Vissa författare kallar denna egenskap "nästan enkel".) Detta skiljer sig något från abstrakt gruppterminologi genom att en enkel algebraisk grupp kan ha ett icke-trivialt centrum (även om centrum måste vara ändligt). Till exempel, för vilket heltal n som helst n inte mindre än 2 och vilket fält k som helst , är gruppen SL ( n ) över k enkel och dess centrum är gruppschemat av μ n n :te enhetsrötter.

Den centrala isogenin av reduktiva grupper är en surjektiv homomorfism med en kärna i form av ett ändligt centralt undergruppschema. Varje reduktiv grupp över ett fält medger en central isogeni från produkten av en torus och några enkla grupper. Till exempel, över vilket fält k ,

GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.

Det ser något klumpigt ut när man definierar en reduktiv grupp över ett fält, en referens till en algebraisk stängning. För ett perfekt fält k kan detta utelämnas - en linjär algebraisk grupp G över ett fält k är reduktiv om och endast om någon jämnt ansluten unipotent normal k -undergrupp av G är trivial. För ett godtyckligt fält definierar den sista egenskapen en pseudo-reduktiv grupp , som är något mer generell.

En reduktiv grupp G över ett fält k kallas split om den innehåller en delad maximal torus T över k (det vill säga en delad torus i G vars bas ändras till ger en maximal torus i ). Enligt Alexander Grothendieck motsvarar detta att säga att T är en delad torus i G , där T är maximal bland alla k -tori i G [5] . ${\overline {k))$ $G_{\overline {k))$

Exempel

Ett grundläggande exempel på en reduktiv grupp är den fullständiga linjära gruppen GL ( n ) av inverterbara n × n matriser på ett fält k för ett naturligt tal n . Speciellt är den multiplikativa gruppen Gm en GL (1)-grupp, och sedan är dess grupp Gm ( k ) av k -rationella punkter gruppen av k * icke-nollelement i gruppen k genom multiplikation. En annan reduktiv grupp är den speciella linjära gruppen SL ( n ) över fältet k , en undergrupp av matriser med determinant 1. Faktum är att SL ( n ) är en enkel algebraisk grupp för n inte mindre än 2.

En viktig enkel grupp är den symboliska gruppen Sp (2 n ) över fältet k , en undergrupp av gruppen GL (2 n ), som bevarar en icke-degenererad alternerande bilinjär form på vektorrummet k 2 n . Också den ortogonala gruppen O ( q ) är en undergrupp av den allmänna linjära gruppen som bevarar den icke-degenererade kvadratiska formen q på vektorrummet över fältet k . Den algebraiska gruppen O ( q ) har två sammankopplade komponenter , och dess identitetskomponent SO ( q ) är reduktiv och i själva verket enkel för q med dimensionen n minst 3. (För ett fält k med karakteristik 2 och en udda n , gruppschemat O ( q ) är i själva verket förbundet men inte jämnt över k En enkel grupp SO ( q ) kan alltid definieras som den maximala jämna anslutna undergruppen av O ( q ) över ett fält k .) Om fältet k är algebraiskt stängt är två (icke-degenererade) kvadratiska former av samma dimension isomorfa, och därför är det lämpligt att kalla denna grupp SO ( n ). För ett allmänt fält k kan olika kvadratiska former av dimension n ge icke-isomorfa enkla grupper SO ( q ) över k , även om de alla har basförändring till algebraisk stängning . ${\overline {k))$

Andra beskrivningar av reduktiva grupper

Varje kompakt sammankopplad Lie-grupp har en komplexisering , som är en komplex reduktiv algebraisk grupp. Faktum är att denna konstruktion ger en en-till-en-överensstämmelse mellan kompakt anslutna Lie-grupper och komplexa reduktiva grupper (upp till isomorfism). För en kompakt Lie-grupp K med komplexbildning G , är inkluderingen från K i den komplexa reduktiva gruppen G ( C ) en homotopi-ekvivalens med avseende på den klassiska topologin på G ( C ). Till exempel är en inkludering från den enhetliga gruppen U ( n ) i GL ( n , C ) en homotopiekvivalens.

För en reduktiv grupp G över ett fält med karakteristisk noll är alla representationer av gruppen G (som en algebraisk grupp) fullständigt reducerbara, det vill säga de är direkta summor av irreducerbara (reducerbara) representationer [6] . Detta faktum är ursprunget till namnet "reduktiv". Observera dock att fullständig reducerbarhet inte gäller för reduktiva grupper med positiva egenskaper (annat än tori). Mer detaljerat kallas ett affint gruppschema G av finit typ över ett fält k linjärt reduktivt om dess representationer är fullständigt reduktiva. För ett fält k med karakteristik noll är gruppen G linjärt reduktiv om och endast om identitetskomponenten Go i gruppen G är reduktiv [7] . För ett fält k med karakteristiken p >0 visade Masayoshi Nagata dock att en grupp G är linjärt reduktiv om och endast om gruppen Go är av multiplikativ typ och G / Go har ordningen coprime till p [ 8] .

Rötter

Klassificeringen av reduktiva algebraiska grupper görs i termer av det associerade rotsystemet , som i teorierna om komplexa semisimpla Lie-algebror eller kompakta Lie-grupper.

Låt G vara en delad reduktiv grupp över ett fält k och låt T vara en delad maximal torus i G . Då är T isomorft för vissa n och n kallas rangen G . Varje representation av torus T (som en algebraisk grupp) är en direkt summa av 1-dimensionella representationer [9] . En vikt för en grupp G betyder isomorfismklassen av 1-dimensionella representationer av torus T , eller motsvarande en homomorfism . Vikterna bildar gruppen X ( T ) av tensorprodukten av representationerna, där X ( T ) är isomorf till produkten av n kopior av gruppen heltal Zn . $(G_{m})^{n}$ ${\displaystyle T\to G_{m))$

Den adjoint representation är åtgärden av gruppen G genom konjugation på dess Lie algebra . Roten av gruppen G betyder en vikt som inte är noll, som visas i torusens verkan på . Delrummet i utrymmet som motsvarar varje rot är endimensionellt, och underrummet i utrymmet fixerat av torus T är exakt Lie-algebra för torus T [10] . Därför sönderdelas Lie-algebra för grupper G i och endimensionella delrum indexerade av uppsättningen Φ av rötter: $\mathfrak g$ $T\subset G$ $\mathfrak g$ $\mathfrak g$ $\mathfrak g$ ${\mathfrak {t))$ ${\mathfrak {t))$

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \oplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.

Till exempel, om G är en GL- grupp ( n ), är dess Lie-algebra vektorrummet för alla matriser över fältet k . Låt T vara en undergrupp av diagonala matriser i G . Därefter uttrycks nedbrytningen till rotrum som en direkt summa av diagonala matriser och 1-dimensionella delrum indexerade med off-diagonala positioner ( i , j ). Betecknar med L 1 ,..., L n standardbasen för viktgittret , kommer rötterna att vara element för alla från 1 till n . ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ $n\ gånger n$ ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ ${\displaystyle X(T)\cong \mathbf {Z} ^{n))$ ${\displaystyle L_{i}-L_{j))$ $i \ne j$

Rötterna till en halvenkel grupp bildar ett rotsystem . Det är en kombinatorisk struktur som kan klassificeras helt. Mer generellt bildar rötterna för en reduktiv grupp en något annorlunda version av rotdata [11] . Weil-gruppen i den reduktiva gruppen G betyder kvotgruppen för normalisatorn av en maximal torus med en torus . Weil-gruppen är i själva verket en ändlig grupp som genereras av reflektioner. Till exempel, för gruppen GL ( n ) (eller SL ( n )), är Weyl - gruppen den symmetriska gruppen Sn . $W=N_{G}(T)/T$

Det finns ett ändligt antal Borel-undergrupper som innehåller en given maximal torus, och dessa permuteras helt enkelt transitivt av Weil-gruppen (genom att fungera som konjugation ) [12] . Valet av Borel-undergruppen definierar en uppsättning positiva rötter med egenskapen att Φ är den disjunkta föreningen av Φ + och −Φ + . Uppenbarligen är Lie-algebra i Borel-undergruppen B den direkta summan av Lie-algebra i gruppen T och utrymmen med positiva rötter: $\Phi ^{+}\subset \Phi$

{\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \oplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.

Till exempel, om B är Borel-undergruppen av övre triangulära matriser i GL ( n ), så är detta uppenbarligen en subrymdsupplösning av övre triangulära matriser i . De positiva rötterna är för . ${\mathfrak b}$ ${{\mathfrak {g}}l}(n)$ ${\displaystyle L_{i}-L_{j))$ $1\leqslant i<j\leqslant n$

En enkel rot betyder en positiv rot som inte är summan av två positiva rötter. Beteckna med mängden av alla enkla rötter. Antalet r av enkla rötter som är lika med rangen för kommutatorundergruppen av G kallas den semisimpla rangen av G (vilket är den enkla rangen för G om G är halvenkel). Till exempel är enkla grupprötter (eller ) för . $\delta$ $GL(n)$ $SL(n)$ $L_{i}-L_{i+1}$ $1\leqslant i\leqslant n-1$

Rotsystem klassificeras av motsvarande Dynkin-diagram , som är ändliga grafer (där vissa kanter kan ha en riktning eller vara multipler). Uppsättningen av hörn i Dynkin-diagrammet är uppsättningen av enkla rötter. Kortfattat beskriver Dynkin-diagrammet vinklarna mellan enkla rötter och deras relativa längder, med hänsyn till den (Weyl-gruppinvarianta) skalära produkten på viktgittret. Anslutna Dynkin-diagram (motsvarande enkla grupper) ges nedan.

För en delad reduktiv grupp G över ett fält k är den viktiga poängen att roten inte bara definierar ett 1-dimensionellt delrum av Lie-algebra av G , utan också en kopia av den additiva gruppen Ga i G med den givna Lie-algebra , som kallas rotundergruppen U α . Rotundergruppen är den enda kopian av additivgruppen i G som är normaliserad av torus T och som har den givna Lie-algebra [10] . Den fullständiga gruppen G genereras (som en algebraisk grupp) av torus T och rotundergrupperna, medan Borel-undergruppen B genereras av torus T och de positiva rotundergrupperna. Faktum är att en delad halvenkel grupp G genereras av en enda rotundergrupp.

Paraboliska undergrupper

För en delad reduktiv grupp G över ett fält k , motsvarar jämna anslutna undergrupper av G som innehåller en given Borel-undergrupp B av G en-till-en delmängder av mängden Δ av enkla rötter (eller ekvivalent med en delmängd av vertexmängden av Dynkin-diagrammet). Låt r vara ordningen för mängden Δ, den halvenkla rangordningen för gruppen G . Vilken parabolisk undergrupp av G som helst konjugeras till en undergrupp som innehåller B av något element av G ( k ). Som ett resultat finns det exakt 2 r -konjugationsklasser av paraboliska undergrupper i en grupp G över ett fält k [13] . Det är tydligt att den paraboliska undergruppen som motsvarar en given undergrupp S av mängden A är gruppen som genereras av undergruppen B tillsammans med rotundergrupperna för a från S. Till exempel är de paraboliska undergrupperna i gruppen GL ( n ) som innehåller Borel-undergruppen B de inverterbara matrisgrupperna med nollposter under en given uppsättning kvadrater längs diagonalen, såsom: ${\displaystyle U_{-\alpha ))$

\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}

Per definition är en parabolisk undergrupp P av en reduktiv grupp G över ett fält k en jämn k -undergrupp så att kvotvarianten G / P är korrekt över k , eller ekvivalent projektiv över k . Då är klassificeringen av paraboliska undergrupper ekvivalent med klassificeringen av projektiva homogena varianter för G (med en jämn stationär undergrupp, det vill säga inga begränsningar på fältet k med nollkarakteristik). För GL ( n ) är detta ett flaggmanifold som parametriserar en sekvens av linjära delrum med givna dimensioner a 1 ,..., a i , som finns i ett fixerat vektorrum V med dimension n :

0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.

För en ortogonal grupp eller en symplektisk grupp har projektiva homogena varieteter en liknande beskrivning som isotropa flaggvarieteter givet en given kvadratisk form eller symplektisk form. För varje reduktiv grupp G med en Borel-undergrupp B, kallas G / B flaggvarianten eller flaggvarianten för gruppen G.

Klassificering av delade reduktiva grupper

Chevalley visade 1958 att reduktiva grupper över alla algebraiskt stängda fält klassificeras upp till isomorfism efter rötter [14] [15] . Särskilt halvenkla undergrupper över ett algebraiskt slutet fält klassificeras upp till central isogeni av deras Dynkin-diagram, medan enkla grupper motsvarar sammankopplade diagram. Det vill säga, det finns enkla grupper av typ An , Bn , Cn , Dn , E6 , E7 , E8 , F4 , G2 . Detta resultat är i huvudsak identiskt med klassificeringen av kompakta Lie-grupper eller komplexa semisimpla Lie-algebror av Wilhelm Killing och Ely Joseph Cartan på 1880- och 1890-talen. Speciellt dimensioner, centra och andra egenskaper hos enkla algebraiska grupper kan erhållas från listan över enkla Lie-grupper . Anmärkningsvärt är att denna klassificering av reduktiva grupper inte beror på egenskaperna hos . Som jämförelse finns det många fler enkla Lie-algebror med positiv karaktäristik än med nollkarakteristik.

Exceptionella grupper G av typ G 2 och E 6 konstruerades tidigare, åtminstone i form av abstrakta grupper G ( k ), av Leonard Dickson . Till exempel är gruppen G 2 automorfismgruppen för oktonionalgebra över fältet k . Däremot var Chevalley-grupperna av typerna F 4 , E 7 , E 8 över ett fält med positiva egenskaper helt nya.

Mer allmänt är klassificeringen av delade reduktiva grupper densamma över alla fält [16] . En halvenkel grupp G över ett fält k sägs helt enkelt vara kopplad om någon central isogeni från den semisimpla gruppen till gruppen G är en isomorfism. (För en semisenkel grupp G över de komplexa talen, är i denna mening ett enkelt sammankopplat rum ekvivalent med att gruppen G ( C ) är ett enkelt sammankopplat rum i den klassiska topologin.) Chevalley-klassificeringen visar att det över vilket fält k som helst existerar en unik enkel enkelt sammankopplad delad halvenkel grupp G med ett givet Dynkin-diagram, med enkla grupper som motsvarar sammankopplade diagram. Omvänt har en halvenkel grupp konjugattyp om dess centrum är trivialt. Delade enkla grupper över ett fält k med ett givet Dynkin-diagram är exakt grupperna G / A , där G är en enkelt sammankopplad grupp och A är schemat för en k -undergrupp av mitten av G .

Till exempel är de enkelt sammankopplade delade enkla grupperna över fältet k , motsvarande de "klassiska" Dynkin-diagrammen, följande:

An : SL ( n +1) över k ;
B n : spinorgrupp Spin(2 n +1) associerad med en kvadratisk form av dimensionen 2 n +1 över k med Witt-index n , till exempel formen

q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{ 2n}+x_{2n+1}^{2};

Cn : symplektisk grupp Sp ( 2n ) över k ;
D n : den delade gruppen Spin(2 n ) associerad med en kvadratisk form av dimensionen 2 n över k med Witt index n , som kan skrivas som:

q(x_{1},\ldots,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n} .

Den yttre automorfismgruppen en delad reduktiv grupp G över ett fält k är isomorf till automorfismgruppen av rotdata för G . Dessutom delas automorfismgruppen av G som en halvdirekt produkt :

\operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),

där Z är mitten av gruppen G [17] . För en delad, halvenkel, enkelt sammankopplad grupp G över ett fält, har gruppen av yttre automorfismer i gruppen G en enklare beskrivning: det är gruppen av automorfismer i Dynkin-diagrammen i gruppen G .

Schema för reduktiva grupper

Ett gruppschema G över ett schema S sägs vara reduktivt om morfismen är jämn och affin och eventuell geometrisk fiber är reduktiv. (För en punkt p av S betyder den motsvarande geometriska fibern att man ersätter basen i gruppen G med den algebraiska stängningen av restfältet för p .) En utvidgning av arbetet av Chevalley, Demazure och Grothendieck visade att delade scheman för en reduktiv grupp över alla icke-tomma system S klassificeras av rotdata [18] [19] . Detta påstående inkluderar förekomsten av Chevalley-grupper som gruppscheman över Z , och det hävdar att varje delad reduktiv grupp över ett schema S är isomorf till att ändra basen för Chevalley-gruppen från Z till S. $G\to S$ $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$

Verkliga reduktiva grupper

I sammanhanget av Lie-grupper , snarare än algebraiska grupper, är en verklig reduktiv grupp en Lie-grupp G så att det finns en linjär algebraisk grupp L över R vars identitetskomponent (i Zariski-topologin ) är reduktiv och en homomorfism vars kärna är ändlig och vars bild är öppen i L ( R ) (i den klassiska topologin). Det antas vanligtvis att bilden av den adjoint representationen Ad( G ) finns i (vilket görs automatiskt för en ansluten grupp G ) [20] . $G\to L(\mathbf {R} )$ $\mathrm {Int} (g_{\mathbf {C} })=\mathrm {Ad} (L^{0}(\mathbf {C} ))$

Speciellt är varje sammankopplad semisimple Lie-grupp (vilket betyder att dess Lie-algebra är halvenkel) reduktiv. Lie-gruppen R är också reduktiv i denna mening, eftersom den kan betraktas som identitetskomponenten i gruppen GL (1, R ) ≅ R *. Problemet med att klassificera verkliga reduktiva grupper är avsevärt reducerat för klassificeringen av enkla Lie-grupper. De klassificeras av deras Satake diagram . Man kan också bara hänvisa till listan över enkla Lie-grupper (upp till ändliga omslag).

Användbara teorier om tillåtna representationer och enhetsrepresentationer har utvecklats i allmänna termer för reella reduktiva grupper. Huvudskillnaden mellan denna definition och definitionen av en reduktiv alegbraisk grupp är att en algebraisk grupp G över R kan kopplas som en algebraisk grupp, men inte kopplas som en Lie-grupp G ( R ), och på samma sätt för helt enkelt sammankopplade grupper.

Till exempel är den projektiva gruppen PGL (2) kopplad som en algebraisk grupp över vilket fält som helst, men dess reella punktgrupp PGL (2, R ) har två sammankopplade komponenter. Identitetskomponenten för PGL (2, R ) (ibland kallad PSL (2, R )) är en verklig reduktiv grupp som inte kan betraktas som en algebraisk grupp. På liknande sätt är SL (2) helt enkelt kopplad som en algebraisk grupp över vilket fält som helst, men Lie-gruppen SL (2, R ) har en fundamental grupp som är isomorf till gruppen av heltal Z , och därför har SL (2, R ) icke- triviala täckande utrymmen . Per definition är alla finita omslag av gruppen SL (2, R ) (som den metaplektiska gruppen ) reella reduktiva grupper. Å andra sidan är det universella täcket av gruppen SL (2, R ) inte en reduktiv grupp, även om dess algebra är reduktiv , det vill säga produkten av en semisenkel Lie-algebra och en Abelisk Lie-algebra.

För en sammankopplad reell reduktiv grupp G är kvotvarianten G / K för gruppen G av den maximala kompakta undergruppen K ett symmetriskt utrymme av icke-kompakt typ. I själva verket erhålls varje symmetriskt utrymme av icke-kompakt typ på detta sätt. De är centrala exempel i den riemannska geometrin av grenrör med icke-positiv sektionskrökning . Till exempel är SL (2, R )/ SO (2) ett hyperboliskt plan och SL (2, C )/ SU (2) är ett hyperboliskt 3-dimensionellt utrymme.

För en reduktiv grupp G över ett fält k som är komplett med avseende på en diskret värdering (såsom p-adiska tal Q p ), spelar den affina strukturen X av G rollen som ett symmetriskt utrymme. X är nämligen ett enkelt komplex med verkan av G ( k ), och G ( k ) bevarar metriken CAT(0) på X , en analog till en metrik med icke-positiv krökning. Dimensionen av affina strukturer är lika med k - rangen för gruppen G. Till exempel är strukturen för gruppen SL (2, Q p ) ett träd .

Representationer av reduktiva grupper

För en delad reduktiv grupp G över ett fält k parametriseras irreducibla representationer av gruppen G (som en algebraisk grupp) av huvudvikter, vilka definieras som skärningspunkten mellan viktgittret och en konvex kon ( Weil chamber ) i R n . I synnerhet beror denna parametrisering inte på karaktäristiken för fältet k . Mer detaljerat, om vi fixar en delad maximal torus och en Borel-undergrupp, , så är B en halvdirekt produkt av en torus T med en jämn ansluten unipotent undergrupp U . Vi definierar vektorn med största vikter i representationen V av gruppen G över fältet k som en vektor som inte är noll så att B avbildar linjen som genereras av vektorn v in i sig själv. Då verkar B på denna linje genom sin faktorgrupp T genom något element i viktgittret X ( T ). Chevalley visade att varje irreducerbar representation av gruppen G har en unik vektor med största vikter upp till en skalär. Motsvarande "största vikt" är dominant, och varje huvudvikt är den största vikten av den unika irreducerbara representationen av gruppen G upp till isomorfism [21] . ${\displaystyle X(T)\cong \mathbf {Z} ^{n))$ $T\subset B\subset G$ $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ $L(\lambda )$

Problemet kvarstår att beskriva den irreducerbara representationen med den givna maximala vikten. För ett fält k med karakteristiken noll finns det helt fullständiga svar. För huvudvikten definierar vi Schur-modulen som ett k -vektorutrymme av sektioner av en G - ekvivariant endimensionell bunt på flagggrenröret G / B associerat med . Modulen är en representation av gruppen G . För ett fält k med karakteristisk noll, säger Borel-Weil-satsen att en irreducibel representation är isomorf till Schur-modulen . Dessutom ger Weyl-formeln för tecknen karaktären (och i synnerhet dimensionen) av denna representation. $\lambda$ $\nabla (\lambda )$ $\lambda$ $L(\lambda )$ $\nabla (\lambda )$

För en delad reduktiv grupp G över ett fält k med positiv egenskap är situationen mycket mer subtil, eftersom representationerna av G vanligtvis inte är en direkt summa av irreducerbara. För huvudvikten är den irreducerbara representationen den enda enkla submodulen ( socle ) i Schur-modulen , men inte nödvändigtvis lika med Schur-modulen. Enligt George Kempf ges dimensionen och karaktären av Schur-modulen av Weyl-karaktären (som i fallet med karakteristik noll) [22] . Dimensionen och karaktärerna av irreducerbara representationer är i allmänhet okända, även om ett stort antal teoretiska utvecklingar har gjorts för att analysera dessa representationer. Ett viktigt resultat som erhållits av Henning Andersen, Jens Jentzen och Wolfgang Sorgel (bevisar Lustigs gissning ) är att dimensionen och karaktären är kända om egenskaperna p i fältet k är mycket större än Coxeter-talet för gruppen G. Deras teckenformel för stort p bygger på Kazhdan-Lustig polynomen , som är kombinatoriskt komplexa [23] . Simon Rich och Geordie Williamson gissade de irreducibla karaktärerna i den reduktiva gruppen för alla primtal p i termer av Kazhdan-Lustig p - polynom, som är ännu mer komplicerade men åtminstone beräkningsbara [24] . $\lambda$ $L(\lambda )$ $\nabla (\lambda )$ $L(\lambda )$ $L(\lambda )$

Icke-delade reduktiva grupper

Som beskrivits ovan är klassificeringen av delade reduktiva grupper densamma över alla fält. Däremot kan klassificeringen av godtyckliga reduktiva grupper ha olika svårighet beroende på det underliggande fältet. Några exempel bland klassiska grupper

Varje icke-degenererad kvadratisk form q över ett fält k definierar en reduktiv grupp G = SO ( q ). Här är G enkelt om q har dimensionerna n minst 3, eftersom det är isomorft till SO ( n ) över den algebraiska stängningen . K -ranken för gruppen G är lika med Witt-indexet av formen q (den maximala dimensionen av ett isotropt delrum över k ) [25] . Således delas en enkel grupp G över k om och endast om q har maximalt möjliga Witt-index, . $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$ $\lfloor n/2\rfloor$
Varje central enkel algebra A över k definierar en reduktiv grupp G = SL (1, A ), kärnan av reducerade normer på enhetsgruppen A * (som en algebraisk grupp över k ). Graden av algebra A betyder kvadratroten av dimensionen av A som ett k -vektorrum. Här är G enkelt om A har grad n minst 2 eftersom det är isomorft till SL ( n ) över . Om A har index r (vilket betyder att A är isomorf till matrisalgebra för divisionsalgebra D av grad r över k ), så är k -rangen för G ( n / r ) – 1 [26] . Således delas en enkel grupp G över k om och endast om A är en matrisalgebra över k . $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$ $M_{n/r}(D)$

Som ett resultat inkluderar problemet med att klassificera reduktiva grupper över ett fält k problem med att klassificera alla kvadratiska former över k eller alla centrala enkla algebror över k . Dessa problem är enkla för ett algebraiskt stängt fält k och förståeligt för vissa andra fält såsom nummerfält, men det finns många öppna frågor för godtyckliga fält.

En reduktiv grupp över ett fält k sägs vara isotrop om den har k -rank större än 0 (det vill säga om den innehåller en icke-trivial delad torus), annars sägs den vara anisotrop . För en halvenkel grupp G över ett fält k är följande villkor ekvivalenta:

G är isotropisk (det vill säga G innehåller en kopia av den multiplikativa gruppen Gm över k ) ;
G innehåller en parabolisk undergrupp över k som inte är lika med G ;
G innehåller en kopia av tillsatsgruppen G a över k .

När fältet k är perfekt motsvarar detta att säga att G ( k ) innehåller ett annat unipotent element än 1 [27] .

För en sammankopplad linjär algebraisk grupp G över ett lokalt fält k med karakteristisk noll (såsom de reella talen), är gruppen G ( k ) kompakt i den klassiska topologin (baserat på topologin för fältet k ) om och endast om G är reduktiv och anisotrop [28] . Exempel: en ortogonal grupp SO ( p , q ) över R har rang min( p , q ), och då är den anisotropisk om och endast om p eller q är lika med noll [25] .

En reduktiv grupp G över ett fält k sägs vara kvasisplit om den innehåller en Borel-undergrupp över k . En delad reduktiv grupp är kvasi-delad. Om G är kvasisplitad över k , då är två Borel-undergrupper av G konjugerade av något element av G ( k ) [29] . Exempel: En ortogonal grupp SO ( p , q ) över R delas om och endast om , och kvasi-delad om och endast om [25] . $|pq|\leqslant 1$ $|pq|\leqslant 2$

Struktur av halvenkla grupper som abstrakta grupper

För en enkelt sammankopplad delad semisenkel grupp G över ett fält k , gav Robert Steinberg en explicit definition av den abstrakta gruppen G ( k ) [30] . Gruppen genereras av en kopia av additivgruppen i fältet k indexerad av rötterna i gruppen G (en undergrupp av rötter) med anslutningar definierade av Dynkin - diagrammet för gruppen G.

För en enkelt sammankopplad delad halvenkel grupp G över ett perfekt fält k , definierar Steinberg också automorfigruppen för den abstrakta gruppen G ( k ). Varje automorfism är produkten av en inre automorfism , en diagonal automorfism (vilket betyder konjugering med en lämplig -punkt av en maximal torus), en grafautomorfism (motsvarande en automorfism av ett Dynkin-diagram) och en fältautomorfism (som härrör från en automorfism). av fältet k ) [31] . ${\overline {k))$

För en k -enkel algebraisk grupp G anger Tits enkelhetssats att den abstrakta gruppen G ( k ) är nära att vara en enkel grupp, under milda förhållanden. Antag nämligen att gruppen G är isotrop över ett fält k , och antag att fältet k har minst 4 element. Låt vara en undergrupp av den abstrakta gruppen G ( k ) genererad av k -punktskopior av additivgruppen G a över k som finns i G . (Förutsatt att gruppen G är isotropisk till k , är gruppen icke-trivial och till och med Zariski tät på G om k är oändlig.) Då är gruppens faktorgrupp med avseende på dess centrum enkel (som en abstrakt grupp) [32] [33] . Beviset använder arrangemanget av par (B, N) av Jacques Tits . ${\displaystyle G(k)^{+))$ ${\displaystyle G(k)^{+))$ ${\displaystyle G(k)^{+))$

Undantag för områden av ordning 2 eller 3 är väl utvecklade. För k = F 2 förblir Tits enkelhetssats sann utom när G är en delad grupp av typ A 1 , B 2 eller G 2 eller en icke-delad (det vill säga enhetlig) typ A 2 . För k = F 3 är satsen sann, förutom fallet när G är av typ A 1 [34] .

För en k -enkel grupp G , för att förstå hela gruppen G ( k ), kan man överväga Whitehead-gruppen . För en enkelt ansluten och kvasi-delad grupp G är Whitehead-gruppen trivial, och den kompletta gruppen G ( k ) är en primär modul i dess centrum [35] . Mer allmänt frågar Kneser-Tits-förmodan vilka isotropa k -enkla grupper som Whitehead-gruppen är trivial. I alla kända exempel är W ( k , G ) Abelian. ${\displaystyle W(k,G)=G(k)/G(k)^{+))$

För en anisotropisk k -enkel grupp G kan den abstrakta gruppen G ( k ) vara långt ifrån enkel. Låt till exempel D vara en divisionsalgebra centrerad som ett p -adiskt fält k . Antag att dimensionen av D över k är finit och större än 1. Då är G = SL (1, D ) en anisotropisk k -enkel grupp. Som nämnts ovan är G ( k ) kompakt i den klassiska topologin. Eftersom det också är ett totalt frånkopplat utrymme , är G ( k ) en profinit grupp (men inte ändlig). Som ett resultat innehåller G ( k ) oändligt många normala undergrupper med ändligt index [36] .

Gitter och aritmetiska grupper

Låt G vara en linjär algebraisk grupp över rationella tal Q . Sedan kan G utökas till ett affint gruppschema G över Z och detta definierar en abstrakt grupp G ( Z ). En aritmetisk grupp betyder vilken undergrupp som helst av en grupp G ( Q ) som är jämförbar med G ( Z ). (Aritmeticiteten för undergruppen G ( Q ) är oberoende av valet av Z - strukturen.) Till exempel är SL ( n , Z ) en aritmetisk undergrupp av gruppen SL ( n , Q ).

För en Lie-grupp G betyder ett gitter i G en diskret undergrupp Γ av gruppen G så att grenröret G /Γ har en ändlig volym (med hänsyn till det G -invarianta måttet). Till exempel är en diskret undergrupp Γ ett gitter om G /Γ är kompakt. Margulis aritmetiseringssats säger särskilt att för en enkel Lie-grupp G med reell rang som minst är lika med 2, är vilket gitter som helst i G en aritmetisk grupp.

Galois-action på Dynkin-diagram

När man letar efter en klassificering av reduktiva grupper som inte nödvändigtvis är splittrade, är ett steg Tits index , vilket reducerar problemet till fallet med anisotropa grupper. Denna reduktion generaliserar några grundläggande satser i algebra. Till exempel säger Witt-sönderdelningssatsen att en icke-degenererad kvadratisk form över ett fält definieras upp till isomorfism av dess Witt-index tillsammans med en anisotrop kärna. På liknande sätt reducerar Artin-Wedderburn-satsen klassificeringen av centrala enkla algebror över ett fält till fallet med divisionsalgebror. Genom att generalisera dessa resultat visade Tits att en reduktiv grupp över ett fält k definieras, upp till isomorfism, av dess Tits-index tillsammans med dess anisotropa kärna, den associerade anisotropa semisimpla k - gruppen.

För en reduktiv grupp G över ett fält k , verkar den absoluta Galois-gruppen Gal( k s / k ) (kontinuerligt) på det "absoluta" Dynkin-diagrammet för gruppen G , det vill säga Dynkin-diagrammet för gruppen G över det separerbara stängning k s (som är Dynkin-diagrammet för gruppen G över den algebraiska stängningen ). Tits-indexet för gruppen G består av rotdata för gruppen G k s , Galois-åtgärderna på Dynkin-diagrammet och en delmängd av Galois-invarianterna av hörnen i Dynkin-diagrammet. Traditionellt representeras bröstindexet av en cirkel runt Galois-banorna i en given delmängd. ${\overline {k))$

Det finns en fullständig klassificering av kvasi-delade grupper i dessa termer. Nämligen, för varje åtgärd av den absoluta Galois-gruppen i fältet k på Dynkin-diagrammet, finns det en unik enkelt sammankopplad halvenkel kvasi-delad grupp H över fältet k med en given åtgärd. (För en kvasi-delad grupp är vilken Galois-bana som helst i Dynkin-diagrammet inringad.) Dessutom är vilken annan helt enkelt sammankopplad halvenkel grupp G över k med en given verkan en inre form av den kvasi-delade gruppen H , som betyder att gruppen G är associerad med ett element i Galois kohomologimängd H 1 ( k , H / Z ), där Z är mitten av gruppen H . Med andra ord är G en vridning av gruppen H associerad med någon H / Z -torsor över k , som beskrivs i nästa avsnitt.

Exempel: Låt q vara en icke-degenererad kvadratisk form av jämn dimension 2 n över ett fält k med karakteristik som inte är lika med 2, där (dessa begränsningar kan utelämnas). Låt G vara en enkel grupp SO ( q ) över k . Ett absolut Dynkin-diagram av en grupp G är en grupp av typ D n så att automorfismgruppen har ordning 2 och den byter två "grenar" av diagrammet D n . Verkan av den absoluta Galois-gruppen i ett fält k på Dynkin-diagrammet är trivial om och endast om den (förtecknade) diskriminanten d av formen q i fältet k */( k *) 2 är trivial. Om d är icke-trivialt, så kodas det i Galois-åtgärden på Dynkin-diagrammet: undergruppen med index 2 för Galois-gruppen som fungerar som en identitet är gruppen . En grupp G delas om och endast om q har det maximala möjliga Witt-indexet n , och G är kvasi-delat om och endast om q har ett Witt-index på minst n − 1 [25] . $n\geqslant 5$ $\operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d))))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)$

Torsorer och Hasse-principen

En torsor för ett affint gruppschemaGöver ett fältkbetyder ett affint schemaXöverkmeden aktiongruppenG, sådan somär isomorf till en gruppmeden vänsteröverföring av grupphandlingen på sig själv. En torsor kan också ses som en huvudsaklig G-bunt överkgivet fppf-topologin påk, eller étale-topologin om gruppenGär jämn överk. En uppsättning med en markerad punktav isomorfism av klasser avG-torsorer över ett fältkkallasH1(k,G) på språket Galois kohomologi. $X_{\overline {k))$ $G_{\overline {k))$ $G_{\overline {k))$

Torsorer uppstår när man försöker klassificera formerna av ett givet algebraiskt objekt Y över ett fält k , vilket betyder objekt X över k som blir isomorfa till Y över den algebraiska stängningen av fältet k . Sådana former (upp till isomorfism) är nämligen i en-till-en-överensstämmelse med mängden H 1 ( k ,Aut( Y )). Till exempel klassificeras (icke-degenererade) kvadratiska former av dimension n över k med H 1 ( k , O ( n )), och centrala enkla algebror av grad n över k klassificeras av H 1 ( k , PGL ( n ) ). Även k -former av en given algebraisk grupp G (ibland kallad "torsion" av G ) klassificeras av H 1 ( k ,Aut( G )). Dessa problem föranleder en systematisk studie av G -torsorer, speciellt för reduktiva grupper G .

När det är möjligt försöker man klassificera G -torsorer med hjälp av kohomologiska invarianter , som är Galois kohomologiinvarianter med abelska koefficientgrupper M , H a ( k , M ). I denna riktning bevisade Steinberg Serra I-förmodan : för en sammankopplad linjär algebraisk grupp G över ett perfekt fält med kohomologisk dimension som inte överstiger 1, H 1 ( k , G ) = 1 [37] (fallet med en finit fältet var tidigare känt som satsen Lenga ). Det följer till exempel att varje reduktiv grupp över ett ändligt fält är kvasi-delad.

Serra II-förmodan förutspår att för en enkelt sammankopplad semisenkel grupp G över ett fält med kohomologisk dimension som mest 2 H 1 ( k , G ) = 1. Förmodan är känd för ett rent imaginärt talfält (som har kohomologisk dimension 2) . Mer allmänt, för vilket talfält k som helst , bevisade Martin Kneser, Günther Harder och Vladimir Chernousov (1989) Hasse-principen — för en enkelt sammankopplad halvenkel grupp G över ett fält k , mappningen

H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)

bijektivt [38] . Här löper v genom alla platser i fältet k , och k v är motsvarande lokala fält (eventuellt R eller C ). Dessutom är den markerade punktuppsättningen trivial för alla icke-arkimediska lokala fält k v , och därför är endast de verkliga platserna i fältet k signifikanta. Ett liknande resultat av ett globalt fält k med positiv karakteristik bevisades tidigare av Harder (1975) - för varje enkelt sammankopplad semisimpla grupp G över ett fält k , trivialt (eftersom k inte har några riktiga platser) [39] [40] . $H^{1}(k_{v},G)$ $H^{1}(k,G)$

I ett lite annorlunda fall av en adjunkt representation av gruppen G över ett talfält k , gäller Hasses princip i en svagare form: den naturliga kartläggningen

H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)

injektivt [39] . För G = PGL ( n ) är detta ekvivalent med Albert-Brauer-Hasse-Noether-satsen som säger att en central enkel algebra över ett talfält definieras av lokala invarianter.

Klassificeringen av halvenkla grupper över ett talfält baserat på Hasse-principen är väl utvecklad. Till exempel finns det exakt tre Q -former av den exceptionella gruppen E8 motsvarande tre verkliga former av gruppen E8 .

Se även

Lietypgrupper är ändliga enkla grupper erhållna från enkla algebraiska grupper över ändliga fält.
Generaliserad flaggmanifold , Bruhat-nedbrytning , Schubert-manifold , Schubert calculus
Schur Algebra , Deligne-Lustig Theory
Verklig form (Lee theory)
Weils gissningar för Tamagawa-siffror
Langlands klassificering , Langlands dubbelgrupp , Langlands program , Langlands geometrisk överensstämmelse
Specialgrupp
Geometrisk invariantteori , Haboushs sats

Anteckningar

↑ SGA 3 v3, 2011 , sid. Definition XIX.1.6.1.
↑ Se Hartshorne's Algebraic Geometry, s. 124 om att expandera (eller ersätta) basen.
↑ Milne, 2017 , sid. Proposition 21.60.
↑ Conrad, 2014 , sid. efter proposition 5.1.17.
↑ Borel, 1991 , sid. 18.2(i).
↑ Milne, 2017 , sid. Sats 22.42.
↑ Milne, 2017 , sid. Följd 22.43.
↑ Demazure, Gabriel, 1970 , sid. Sats IV.3.3.6.
↑ Milne, 2017 , sid. Sats 12.12.
↑ 12 Milne , 2017 , sid. Sats 21.11.
↑ Milne, 2017 , sid. Följd 21.12.
↑ Milne, 2017 , sid. Proposition 17.53.
↑ Borel, 1991 , sid. Proposition 21.12.
↑ Chevalley, 2005 .
↑ Springer, 1998 , sid. 9.6.2, 10.1.1.
↑ Milne, 2017 , sid. Satserna 23.25, 23.55.
↑ Milne, 2017 , sid. Följd 23.47.
↑ SGA 3 v3, 2011 , sid. Sats XXV.1.1.
↑ Conrad, 2014 , sid. Satserna 6.1.16, 6.1.17.
↑ Springer, 1979 , sid. avsnitt 5.1.
↑ Milne, 2017 , sid. Sats 22.2.
↑ Jantzen, 2003 , sid. Proposition II.4.5, konsekvens II.5.11.
↑ Jantzen, 2003 , sid. avsnitt II.8.22.
↑ Riche, Williamson, 2018 , sid. avsnitt 1.8.
↑ 1 2 3 4 Borel, 1991 , sid. avsnitt 23.4.
↑ Borel, 1991 , sid. avsnitt 23.2.
↑ Borel, Tits, 1971 , sid. Corollaire 3.8.
↑ Platonov, Rapinchuk, 1991 , sid. 127, sats 1.
↑ Borel, 1991 , sid. Sats 20.9(i).
↑ Steinberg, 2016 , sid. Sats 8.
↑ Steinberg, 2016 , sid. Sats 30.
↑ Tits, 1964 , sid. Huvudsats.
↑ Gille, 2009 , sid. introduktion.
↑ Tits, 1964 , sid. avsnitt 1.2.
↑ Gille, 2009 , sid. Sats 6.1.
↑ Platonov, Rapinchuk, 1991 , sid. 552 §9.1.
↑ Steinberg, 1965 , sid. Sats 1.9.
↑ Platonov, Rapinchuk, 1991 , sid. 318, sats 6.
↑ 1 2 Platonov, Rapinchuk, 1991 , sid. 316, sats 4.
↑ Platonov, Rapinchuk, 1991 , sid. 404 §6.8.

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri. - Moskva: Mir, 1981.
Armand Borel. Linjära algebraiska grupper. — 2:a. - New York: Springer Nature , 1991. - ISBN 0-387-97370-2 . - doi : 10.1007/978-1-4612-0941-6 .
- Borel A. Linjära algebraiska grupper. - Moskva: Mir, 1972.
Armand Borel Element unipotents et sous-groupes paraboliques de groupes réductifs. I. // Inventiones Mathematicae . - 1971. - T. 12 . — S. 95–104 . - doi : 10.1007/BF01404653 . — .
Claude Chevalley. Klassificering des groupes algebriques semi-enkla. - Springer Nature , 2005. - (Collected Works, Vol. 3). — ISBN 3-540-23031-9 .
Brian Conrad. Reduktiva gruppscheman // Autour des schémas en groups . - Paris: Société Mathématique de France , 2014. - Vol 1. - S. 93–444. - ISBN 978-2-85629-794-0 .
Michel Demazure, Pierre Gabriel. Grupper algebriker. Volym I: Géométrie algébrique, generalités, groupes commutatifs. - Paris: Masson, 1970. - ISBN 978-2225616662 .
Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes (SGA 3), I: Propriétés générales des schémas en groupes / Gille P., Polo P.. - Société Mathématique de France , 2011. - ISBN 978-2-85629-323- 2 . Reviderad och kommenterad utgåva av originalet från 1970.
Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux. — Berlin; New York: Springer-Verlag , 1970. - ISBN 978-3540051800 . - doi : 10.1007/BFb0059005 .
Demazure M., Grothendieck A. Schémas en groupes (SGA 3), III: Structure des schémas en groupes réductifs / Gille P., Polo P.. - Société Mathématique de France , 2011. - ISBN 978-2-85629-324- 9 . Reviderad och kommenterad utgåva av originalet från 1970.

Philip Gille. Le problème de Kneser-Tits // Séminaire Bourbaki. Vol. 2007/2008 . - Société Mathématique de France , 2009. - T. 326. - S. 39–81. - (Asterisk). — ISBN 978-285629-269-3 .
Jens Carsten Jantzen. Representationer av algebraiska grupper . — 2:a. - American Mathematical Society , 2003. - ISBN 978-0-8218-3527-2 .
Milne JS Algebraic Groups: Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field. - Cambridge University Press , 2017. - ISBN 978-1107167483 . - doi : 10.1017/9781316711736 .
Platonov V.P., Rapinchuk A.S. Algebraiska grupper och talteori. - M . : "Science" kap. ed. Fysisk matematik. Lit., 1991.
VL Popov (2001), R/r080440 , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Simon Riche, Geordie Williamson. Tiltmoduler och p -Canonical Basis . - Société Mathématique de France , 2018. - T. 397. - (Asterisque). - ISBN 978-2-85629-880-0 .
Tony A. Springer. Reduktiva grupper // Automorfa former, representationer och L -funktioner . - American Mathematical Society , 1979. - V. 1. - S. 3-27. - ISBN 0-8218-3347-2 .
Tony A. Springer. Linjära algebraiska grupper. — 2:a. - Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1998. - Vol. 9. - (Progress in Mathematics). — ISBN 978-0-8176-4021-7 . - doi : 10.1007/978-0-8176-4840-4 .
- I boken Springer T.A. Linjära algebraiska grupper // Algebraisk geometri - 4. - 1989. - V. 55. - (Itogi nauki i tekhniki VINITI. Sovr. Prob. Math. Fundam. Direction).

Robert Steinberg. Regelbundna element i halvenkla algebraiska grupper // Publications Mathématiques de l'IHÉS . - 1965. - T. 25 . — s. 49–80 . - doi : 10.1007/bf02684397 .
Robert Steinberg. Föreläsningar om Chevalley-grupper. - American Mathematical Society , 2016. - ISBN 978-1-4704-3105-1 . - doi : 10.1090/ulect/066 .
- Steinberg R. Föreläsningar om Chevalley-grupper. - Moskva: "Mir", 1975. - (Bibliotek i samlingen "Matematik").
Jacques Tits. Algebraiska och abstrakta enkla grupper // Annals of Mathematics . - 1964. - T. 80 . — S. 313–329 . - doi : 10.2307/1970394 .

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform