Trigonometrins historia

Trigonometrins historia som en vetenskap om förhållandet mellan vinklarna och sidorna av en triangel och andra geometriska figurer omfattar mer än två årtusenden. De flesta av dessa relationer kan inte uttryckas med vanliga algebraiska operationer , och därför var det nödvändigt att införa speciella trigonometriska funktioner , som ursprungligen presenterades i form av numeriska tabeller.

Historiker tror att forntida astronomer skapade trigonometri ; lite senare började den användas inom geodesi och arkitektur . Med tiden har omfattningen av trigonometri ständigt utökats, och den omfattar idag nästan all naturvetenskap, teknik och en rad andra verksamhetsområden [1] . Trigonometriska funktioner visade sig vara särskilt användbara vid studiet av oscillerande processer ; Övertonsanalys av funktioner och andra analysverktyg baseras också på dem . Thomas Paine kallade i sin Age of Reason (1794) trigonometri "vetenskapens själ" [2] .

Tidig period

Början av trigonometri kan hittas i de matematiska manuskripten från det antika Egypten , Babylon och det forntida Kina . Det 56:e problemet från papyrusen Rinda (II årtusende f.Kr.) föreslår att man ska hitta lutningen på pyramiden, vars höjd är 250 alnar och längden på sidan av basen är 360 alnar [3] .

Från babylonisk matematik är vi vana vid att mäta vinklar i grader, minuter och sekunder (införandet av dessa enheter i den antika grekiska matematiken tillskrivs vanligtvis Hypsicles , 2:a århundradet f.Kr.). Bland de satser som babylonierna kände till fanns till exempel följande: en inskriven vinkel baserad på diametern på en cirkel är en rät linje [4] . Den huvudsakliga bedriften av denna period var förhållandet, som senare fick namnet på Pythagoras sats ; Van der Waerden tror att babylonierna upptäckte det mellan 2000 och 1786 f.Kr. e. [5] Det är möjligt att kineserna upptäckte det självständigt (se " Matematik i nio böcker "); det är oklart om de forntida egyptierna kände till den allmänna formuleringen av satsen, men den rätvinkliga " egyptiska triangeln " med sidorna 3, 4 och 5 var välkänd och användes flitigt där [6] [7] .

Antikens Grekland

En allmän och logiskt sammanhängande presentation av trigonometriska relationer dök upp i antik grekisk geometri [8] . Grekiska matematiker pekade ännu inte ut trigonometri som en separat vetenskap – för dem var den en del av astronomi [9] .

Plan trigonometri

Flera satser av trigonometrisk karaktär innehåller Euklids element (300-talet f.Kr.). I grundämnenas första bok slår satser 18 och 19 fast att den större sidan av en triangel motsvarar den större motsatta vinkeln - och vice versa, den större vinkeln motsvarar den större sidan. Satserna 20 och 22 formulerar " triangelolikheten ": tre segment kan bilda en triangel om och bara om längden på var och en är mindre än summan av längderna av de andra två. Sats 32 bevisar att summan av vinklarna i en triangel är 180°.

I den andra boken av "Beginnings" är sats 12 en verbal analog till cosinussatsen [10] :

I trubbiga trianglar är kvadraten på den sida som täcker den trubbiga vinkeln större än [summan] av kvadraterna på sidorna som innehåller den trubbiga vinkeln av den dubbeltagna rektangeln som är omsluten mellan en av sidorna i en trubbig vinkel, på vilken vinkelrät faller, och segmentet avskuret av denna vinkelrät från utsidan vid ett trubbigt hörn.

Sats 13 efter det är en variant av cosinussatsen för spetsiga trianglar. Grekerna hade ingen analog till sinussatsen , denna viktigaste upptäckt gjordes mycket senare [11] .

Den fortsatta utvecklingen av trigonometri är förknippad med namnet på astronomen Aristarchus från Samos (3:e århundradet f.Kr.). I hans avhandling "Om solens och månens magnituder och avstånd" var problemet att bestämma avstånden till himlakroppar; denna uppgift krävde att man beräknade förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel givet värdet på en av vinklarna. Aristarchos betraktade som en rätvinklig triangel som bildas av solen, månen och jorden under kvadraturen . Han behövde beräkna värdet av hypotenusan (avståndet från jorden till solen) genom benet (avståndet från jorden till månen) med ett känt värde på den inkluderade vinkeln (87°), vilket motsvarar beräkningen värdet av . Enligt Aristarchus ligger detta värde i intervallet från 1/20 till 1/18, det vill säga avståndet till solen är 20 gånger större än till månen [12] ; i själva verket är solen nästan 400 gånger längre bort än månen, ett fel på grund av en felaktig vinkelmätning. Längs vägen bevisade Aristarchus ojämlikheten, som i moderna termer förmedlas av formeln:

Samma ojämlikhet finns i "Beräkning av sandkorn" av Archimedes [13] . I Arkimedes skrifter (3:e århundradet f.Kr.) finns en viktig ackorddelningssats, i huvudsak ekvivalent med formeln för sinus för en halv vinkel [14] [15] :

Under hela perioden av utvecklingen av antik vetenskap förblev astronomi det huvudsakliga fältet för att tillämpa resultaten av plan trigonometri bland grekerna. Förutom uppgiften att beräkna avstånd, krävde involveringen av trigonometri bestämningen av parametrarna för systemet av epicykler och/eller excenter som representerar stjärnans rörelse i rymden. Enligt den utbredda åsikten formulerades och löstes detta problem först av Hipparchus (mitten av 2:a århundradet f.Kr.) när man bestämde elementen i solens och månens banor; det är möjligt att astronomer från en tidigare tid också var sysselsatta med liknande uppgifter. Han tillskrivs också ofta författarskapet till de första trigonometriska tabellerna som inte har kommit till oss [16] . Men enligt vissa rekonstruktioner sammanställdes de första trigonometriska tabellerna redan på 300-talet f.Kr. e., möjligen av Apollonius av Perga [17] .

Istället för den moderna sinusfunktionen ansåg Hipparchus och andra forntida grekiska matematiker vanligtvis beroendet av en cirkels ackordlängd på en given mittvinkel (eller, motsvarande, på en given cirkelbåge uttryckt i vinkelmått). I modern terminologi är längden på ackordet som täcker bågen θ av enhetscirkeln lika med två gånger sinus för den centrala vinkeln θ/2. Denna överensstämmelse är giltig för alla vinklar: 0° < θ < 360°. De första trigonometriska relationerna som upptäcktes av grekerna formulerades i ackordspråket [1] . Till exempel den moderna formeln:

satsen [18] motsvarade bland grekerna :

där  är kordan för den centrala vinkeln ,  är cirkelns diameter.

Samtidigt ansågs cirkelns radie inte vara lika med en, som den är nu. Till exempel, i Hipparchus, antogs radien för en cirkel vara lika med R = 3438 enheter - med denna definition var längden på en cirkelbåge lika med vinkelmåttet för denna båge, uttryckt i minuter: , och detta underlättade beräkningar. Ptolemaios har R = 60 enheter. Enligt moderna rekonstruktioner [16] [19] tabellerades Hipparchos ackord med intervaller på 7°30'. Det är möjligt att beräkningen av Hipparchus-tabellen baserades på den metod som utvecklats av Arkimedes och går tillbaka till Aristarchus [20] .

Senare, 2: a århundradet astronomen Claudius Ptolemaios , i Almagest , kompletterade resultaten av Hipparchus. De tretton böckerna i Almagest är det mest betydande trigonometriska verket under hela antiken. Speciellt innehåller Almagest omfattande femsiffriga ackordtabeller för spetsiga och trubbiga vinklar, med ett steg på 30 bågminuter [1] . För att beräkna ackord använde Ptolemaios (i kapitel X) Ptolemaios' teorem (dock känd för Arkimedes), som säger: summan av produkterna av längderna av motsatta sidor av en konvex inskriven i en cirkelfyrkant är lika med produkten av längden på dess diagonaler. Från denna sats är det lätt att härleda två formler för sinus och cosinus för vinklarna och ytterligare två för sinus och cosinus för vinkelskillnaden, men grekerna har ingen generell formulering av dessa satser [21] .

Huvudprestationen för den antika trigonometriska teorin var lösningen i en allmän form av problemet med att "lösa trianglar" , det vill säga att hitta de okända elementen i en triangel, baserat på dess tre givna element (varav minst en är en sida ) [8] . Därefter blev detta problem och dess generaliseringar trigonometrins huvudproblem [1] : givet flera (vanligtvis tre) kända element i en triangel, krävs det att man hittar de återstående kvantiteterna som är associerade med den. Ursprungligen inkluderade elementen i en triangel (känd eller okänd) sidor och vinklar vid hörnen, senare medianer , höjder , bisektrar , radien för den inskrivna eller omskrivna cirkeln, tyngdpunktens position etc. lades till dem Tillämpade trigonometriska problem är mycket olika - till exempel kan mätbara resultat av åtgärder på de listade kvantiteterna (till exempel summan av vinklar eller förhållandet mellan längderna på sidorna) specificeras.

Sfärisk trigonometri

Parallellt med utvecklingen av plan trigonometri utvecklade grekerna, under inflytande av astronomi, sfärisk trigonometri långt . I Euklids "Principer" om detta ämne finns det bara ett teorem om förhållandet mellan volymerna av bollar med olika diametrar, men behoven för astronomi och kartografi orsakade den snabba utvecklingen av sfärisk trigonometri och relaterade områden - himmelska koordinatsystem , teorin av kartografiska projektioner , teknologin för astronomiska instrument (i synnerhet var det astrolabiet [22] ).

Historiker har inte nått en konsensus om graden av utveckling av himmelssfärens geometri bland de gamla grekerna . Vissa forskare hävdar att det ekliptiska eller ekvatoriala koordinatsystemet användes för att registrera resultaten av astronomiska observationer åtminstone så tidigt som vid Hipparchos tid [23] . Kanske, då var några satser av sfärisk trigonometri kända, som kunde användas för att sammanställa stjärnkataloger [24] och i geodesi .

De första verken som vi känner till om "sfären" (det vill säga sfärisk geometri, med en tydlig astronomisk bias) skrev [25] :

(4:e århundradet f.Kr.) Autolycus av Pitana och Euklid ("Fenomen"). (2:a århundradet f.Kr.) Theodosius och Hypsikler .

Vissa av problemen som analyseras i dessa verk är av trigonometrisk karaktär, men på grund av teorins dåliga utveckling använder författarna fortfarande lösningar. Till exempel, uppgiften "att hitta tidpunkten för full soluppgång (nedgång) för zodiakens stjärnbild " Hypsikel löser ungefär med hjälp av polygonala tal [25] .

Det avgörande skedet i utvecklingen av teorin var monografin "Sfären" i tre böcker, som skrevs av Menelaos av Alexandria (cirka 100 e.Kr.). I den första boken beskrev han satser om sfäriska trianglar , liknande Euklids satser om plana trianglar (se bok I av början). Historiker tror att Menelaos tillvägagångssätt bygger mycket på Theodosius skrifter , som Menelaos kraftigt utvidgar och kodifierar. Enligt Pappus var Menelaos den första som introducerade begreppet en sfärisk triangel som en figur som bildas av segment av storcirklar [26] . Menelaos bevisade ett teorem för vilket Euklid inte har någon platt analog: två sfäriska trianglar är kongruenta (kompatibla) om motsvarande vinklar är lika. Ett annat teorem av hans påstår att summan av vinklarna i en sfärisk triangel alltid är större än 180° [26] .

Den andra boken av Sfärerna beskriver tillämpningen av sfärisk geometri på astronomi. Den tredje boken innehåller Menelaos' teorem , viktig för praktisk astronomi , känd som "regeln om sex kvantiteter" [27] . Två andra grundläggande satser som upptäcktes av Menelaos fick därefter namnen "regel om fyra kvantiteter" och "regel för tangenter" [26] .

Några decennier senare ger Claudius Ptolemaios i sin Geography, Analemma och Planisferium en detaljerad beskrivning av trigonometriska tillämpningar för kartografi, astronomi och mekanik. Bland annat beskrivs en stereografisk projektion , flera praktiska problem undersöks, till exempel: att bestämma en himlakropps höjd och azimut utifrån dess deklination och timvinkel . Ur trigonometrisk synvinkel betyder det att du måste hitta sidan av en sfärisk triangel givet de andra två sidorna och den motsatta vinkeln [28] .

Ptolemaios ägnade också kapitel XIII åt sfärisk geometri i Almagests första bok; till skillnad från Menelaos gav Ptolemaios inga bevis för många av påståendena, men han ägnade mycket uppmärksamhet åt algoritmer som är lämpliga för praktiska beräkningar inom astronomi. Den stödjande strukturen, istället för platta ackord, i Almagest är den "fyrsidiga Menelaos". För att "lösa" en rätvinklig sfärisk triangel, det vill säga för att beräkna dess egenskaper, citerade Ptolemaios 4 satser i verbal notation; i modern notation har de formen ( rät vinkel ) [29] :

(ett specialfall av den sfäriska sinussatsen ) (ett specialfall av den sfäriska cosinussatsen )

Låt oss förklara att i sfärisk geometri är det vanligt att mäta sidorna av en triangel inte i linjära enheter, utan med värdet av de centrala vinklarna baserat på dem . I modern sfärisk trigonometri ges ytterligare två samband:

(följer också av den sfäriska cosinussatsen)

Ptolemaios har dem inte, eftersom de inte kan härledas från Menelaos teorem [29] .

Medeltiden

Indien

Under IV-talet, efter nedgången av antik vetenskap, flyttade centrum för utveckling av matematik till Indien. Indiska matematikers ( siddhantas ) skrifter visar att deras författare var väl förtrogna med grekiska astronomers och geometrars verk [30] . Indianerna var lite intresserade av ren geometri, men deras bidrag till tillämpad astronomi och beräkningsaspekterna av trigonometri är mycket betydande.

Först och främst ändrade indianerna några av begreppen trigonometri och förde dem närmare moderna. De ersatte gamla ackord med sinus (namnet "sinus" går tillbaka till ordet "sträng" på sanskrit [31] ) i en rätvinklig triangel . Således lades trigonometri i Indien som en allmän doktrin om relationer i en triangel, även om, till skillnad från de grekiska ackorden, det indiska tillvägagångssättet endast var begränsat till funktionerna i en spetsig vinkel [32] .

Indianerna definierade sinusen något annorlunda än i modern matematik (se figuren till höger): sinus förstods som längden på segmentet AD, baserat på bågen AC för en cirkel med radien R = 3438 enheter (som i Hipparchus ). Således är vinkelns "indiska sinus" 3438 gånger större än den moderna sinusen och hade dimensionen längd [31] . Det fanns undantag från denna regel; till exempel antog Brahmagupta , av oklara skäl, en radie på 3270 enheter [33] .

Indianerna var de första som introducerade användningen av cosinus . Den så kallade inverterade sinusen, eller sinus-versus , användes också, lika med längden på segmentet DC i figuren till höger [34] .

Liksom grekerna utvecklades indisk trigonometri huvudsakligen i samband med dess astronomiska tillämpningar, främst för användning i teorin om planetrörelser och för studiet av himmelssfären. Detta indikerar en god kunskap om den sfäriska trigonometrin i "Almagest" och "Analemma", men inte ett enda eget verk som utvecklade teorin för denna sektion av trigonometri hittades [35] . Ändå har indianerna nått stora framgångar i utvecklingen av tillämpade algoritmer för att lösa astronomiska problem [30] . Till exempel, i "Pancha-siddhantika" av Varahamihira (600-talet) ges en originell lösning på det astronomiska problemet som beskrevs av Ptolemaios: att hitta solens höjd över horisonten, om områdets latitud , deklinationen av solen och dess timvinkel är kända . Författaren använder en analog av cosinussatsen [36] för lösningen , han var den första som gav en formel för sinus för en halv vinkel [37] .

Ett antal trigonometriska tabeller sammanställdes för astronomiska beräkningar. De första (fyrasiffriga) tabellerna över sinus ges i den gamla "Surya-siddhanta" och i Aryabhata ("Aryabhatiya", V-talet). Tabellerna i Aryabhata innehåller 24 värden på sinus och sinus-versus med ett intervall på 3 ° 45' (halva steget av tabellerna av Hipparchus).

Ett viktigt bidrag till utvecklingen av trigonometri gjordes av Brahmagupta (VII-talet), som upptäckte interpolationsformeln , som gjorde det möjligt för honom att erhålla sinusvärdena baserat på ett litet antal kända värden för denna funktion [38 ] . Dessutom kände indianerna formlerna för flera vinklar , för . I Surya-siddhanta och i verk av Brahmagupta, när man löser problem, används faktiskt den sfäriska versionen av sinussatsen , men den allmänna formuleringen av denna sats har inte förekommit i Indien [39] . Historiker har funnit i indiska skrifter en implicit användning av tangenter , men betydelsen av detta begrepp insågs först senare, av matematiker i islamiska länder [30] .

I verk av en annan framstående vetenskapsman, Bhaskara II (XII-talet), ges formler för sinus och cosinus för summan och skillnaden mellan vinklar:

samt formeln för ett litet steg av sinus:

(at ), motsvarande det moderna uttrycket för sinusdifferentialen. Baserat på formeln för summans sinus publicerade Bhaskara mer exakta och detaljerade trigonometriska tabeller med ett steg på 1° än de för Aryabhata [40] .

På 1000-talet tog muslimerna ( Mahmud av Ghaznevi ) över och härjade norra Indien. Kulturcentra flyttade till södra Indien, där den så kallade " Kerala School of Astronomy and Mathematics " (efter namnet på den moderna delstaten Kerala i södra Indien) bildades [41] . Under XV-XVI århundraden uppnådde matematiker i Kerala under astronomisk forskning stor framgång inom området för summering av oändliga talserier, inklusive för trigonometriska funktioner [39] . Den anonyma avhandlingen "Karanapaddhati" ("Beräkningsteknik") ger reglerna för att expandera sinus och cosinus till oändliga potensserier [42] , troligen tillbaka till grundaren av denna skola, astronomen Madhava från Sangamagrama (första halvan av 1400-talet) [43] . Madhava och hans anhängare Nilakanta (i avhandlingen " Tantpasanrpaha ") ger också reglerna för att expandera bågtangensen till en oändlig potensserie. I Europa närmade man sig liknande resultat först på 1600- och 1700-talen. Således härleddes serien för sinus och cosinus av Isaac Newton omkring 1666, och bågtangensserien hittades av J. Gregory 1671 och G. W. Leibniz 1673 [44] .

Islamiska länder

På 800-talet bekantade sig forskare från länderna i Nära och Mellanöstern med verk av antika grekiska och indiska matematiker och astronomer. De översattes till arabiska av sådana framstående vetenskapsmän från 800-talet som Ibrahim Al-Fazari och Yakub ibn Tariq . Sedan började de och deras anhängare aktivt kommentera och utveckla dessa teorier. Den stödjande strukturen för islamiska vetenskapsmän, såväl som indianer, var en sinus i en triangel, eller, vad är samma sak, ett halvackord i en cirkel [35] .

Deras astronomiska avhandlingar, liknande de indiska Siddhantas, kallades " zijis "; en typisk zij var en samling av astronomiska och trigonometriska tabeller, försedda med en guide till deras användning och (inte alltid) en sammanfattning av den allmänna teorin [45] . Jämförelse av zijs från perioden 8-13-talen visar den snabba utvecklingen av trigonometrisk kunskap. Sfärisk trigonometri, vars metoder användes för att lösa problem med astronomi och geodesi [46] , var föremål för särskild uppmärksamhet av forskare från islams länder . Bland de viktigaste problemen som skulle lösas var följande [47] [45] .

 - Exakt bestämning av tiden på dygnet.  - Beräkning av den framtida placeringen av himmelkropparna, ögonblicken för deras soluppgång och solnedgång, solförmörkelser och månförmörkelser .  — Hitta de geografiska koordinaterna för den aktuella platsen.  - Beräkning av avståndet mellan städer med kända geografiska koordinater .  - Bestämma riktningen till Mecka ( qibla ) från en given plats.

De tidigaste bevarade verken tillhör al-Khwarizmi och al-Marvazi (IX-talet), som ansåg, tillsammans med sinus och cosinus som indianerna kände till, nya trigonometriska funktioner: tangent , cotangens , sekant och cosekant [34] . Till en början definierades dessa funktioner annorlunda än i modern matematik. Således förstods cotangenten som längden på skuggan från en vertikal gnomon med en höjd av 12 (ibland 7) enheter; ursprungligen användes dessa begrepp för att beräkna solur . Tangenten var skuggan från den horisontella gnomonen. Kosekanten och sekanten var hypotenuserna för motsvarande rätvinkliga trianglar (segment AO i figuren till höger) [48] . Först på 1000-talet introducerade filosofen och matematikern al-Farabi , i sina kommentarer om Almagest, definitioner av dessa fyra funktioner oberoende av gnomonics, och definierade dem genom sinus och cosinus i den trigonometriska cirkeln av den ptolemaiska radien (60 enheter) . De grundläggande korrelationerna mellan alla sex funktionerna kom med av al-Battani under samma århundrade. Den slutliga föreningen uppnåddes av Abu-l-Vafa under andra hälften av 900-talet, som för första gången använde en cirkel med enhetsradie för att bestämma trigonometriska funktioner, vilket görs i modern matematik.

Thabit ibn Qurra (800-talet) och al-Battani (900-talet) var de första som upptäckte den grundläggande sinussatsen för specialfallet med en rätvinklig sfärisk triangel . För en godtycklig sfärisk triangel hittades beviset (på olika sätt och förmodligen oberoende av varandra) av Abu-l-Vafa, al-Khujandi och ibn Irak i slutet av 900-talet [11] . I en annan avhandling formulerade och bevisade ibn Irak sinussatsen för en platt triangel [49] .

Den sfäriska cosinussatsen formulerades inte allmänt i islams länder, men i verk av Sabit ibn Kurra, al-Battani och andra astronomer finns det uttalanden som motsvarar det. Det är förmodligen därför Regiomontanus , som först gav en allmän formulering av detta viktiga förhållande (XV-talet), kallade det "Albategnius-teorem" (som al-Battani då kallades i Europa) [50] .

Ibn Yunis (X-talet) upptäckte omvandlingen av produkten av trigonometriska funktioner till en summa [51] , till exempel:

Transformationsformler gjorde det möjligt att ersätta tidskrävande multiplikation med enklare addition eller subtraktion. Därefter, i Europa, användes samma formler för det motsatta syftet - att ersätta addition och subtraktion med multiplikation, för att sedan tillämpa logaritmiska tabeller för att beräkna resultatet [52] .

En av vetenskapens viktigaste uppgifter vid den tiden var sammanställningen av trigonometriska tabeller med minsta möjliga steg. På 800-talet sammanställde al-Khwarizmi tabeller av sinus med steget 1°, hans samtida Khabbash al-Khasib (al-Marwazi) lade till dem de första tabellerna med tangenter, cotangenter och cosecanter (med samma steg) [34 ] . I början av 900-talet publicerade al-Battani tabeller med steget 30', i slutet av samma århundrade sammanställde Ibn Yunis tabeller med steget 1' [53] . Vid sammanställningen av tabellerna var nyckeln beräkningen av värdet . Skickliga metoder för att beräkna detta värde uppfanns av Ibn Yunis, Abu-l-Wafa , al-Biruni . Den största framgången uppnåddes på 1400-talet av al-Kashi ; i ett av sina papper räknade han ut det (alla tecken är korrekta). I de "astronomiska tabellerna" av Ulugbeks Samarkand-observatorium , sammanställda med hans deltagande, beräknades tabellerna över sinus med sex sexagesimala siffror [54] , med ett steg på 1'. Sultan Ulugbek deltog personligen i detta arbete: han skrev en speciell avhandling om beräkning av sinus för en vinkel på 1°.

Den första specialiserade avhandlingen om trigonometri var verk av den centralasiatiska vetenskapsmannen al-Biruni (X-XI-talet) "The Book of the Keys of the Science of Astronomy" (995-996). En hel kurs av trigonometri innehöll al-Birunis huvudverk, The Canon of Mas'ud (bok III). Förutom sinustabellerna (med ett steg på 15') gav Al-Biruni tabeller med tangenter (med ett steg på 1°). Ideologiskt ligger Birunis verk nära Ptolemaios - på ackordspråket formulerar han satser om sinus för en dubbel och en halv vinkel, sinus för summan och vinklars skillnad [55] . Bland applikationerna visar Al-Birunis bok konstruktionen av en vanlig inskriven nonagon och en ungefärlig beräkning av längden på dess sida; han använder den här algoritmen för att hitta . I ett annat verk, Geodesy, rapporterade Biruni resultaten av sina egna mätningar av längden på jordens meridian , från vilken en uppskattning av jordens radie nära den sanna följer (i termer av det metriska systemet fick Biruni 6340 km) [56 ] .

Den grundläggande presentationen av trigonometri som en oberoende vetenskap (både platt och sfärisk) gavs av den persiske matematikern och astronomen Nasir ad-Din at-Tusi 1260 [57] . Hans "Treatise on the complete quadrilateral" innehåller praktiska metoder för att lösa typiska problem, inklusive de svåraste, lösta av at-Tusi själv - till exempel att bygga sidorna av en sfärisk triangel i givna tre vinklar [58] . Tangentsatsen för sfäriska trianglar ges, det viktiga begreppet polartriangeln (används först på 1000-talet av Ibn Irak och al-Jayani ) beskrivs. At-Tusis arbete blev allmänt känt i Europa och påverkade avsevärt utvecklingen av trigonometri.

Sålunda, i slutet av 1200-talet, upptäcktes de grundläggande satserna som utgör innehållet i trigonometri:

 - Uttryck av valfri trigonometrisk funktion genom någon annan.  — Formler för sinus och cosinus av multipla och halva vinklar, samt för summan och skillnaden av vinklar.  — Satser om sinus och cosinus.  — Lösning av platta och sfäriska trianglar

På grund av bristen på algebraisk symbolik uttrycktes alla ovanstående satser i besvärlig verbal form, men i huvudsak var de helt likvärdiga med deras moderna förståelse.

Europa

Efter att de arabiska avhandlingarna översatts till latin på tolfte och trettonde århundradena blev många idéer från indiska och persiska matematiker den europeiska vetenskapens egendom. Tydligen ägde européernas första bekantskap med trigonometri rum tack vare zij al-Khwarizmi , varav två översättningar gjordes på 1100-talet. Till en början gavs information om trigonometri (regler för dess användning, tabeller över vissa trigonometriska funktioner) i skrifter om astronomi, men i Fibonaccis verk "The Practice of Geometry", skrivet omkring 1220, beskrivs trigonometri som en del av geometrin. Det första europeiska verk som helt ägnas åt trigonometri kallas ofta Four Treatises on Direct and Reversed Chords av den engelske astronomen Richard of Wallingford (cirka 1320). Boken innehåller ett bevis på ett antal trigonometriska identiteter och en originalmetod för att beräkna sinus. Ungefär samma år skrevs den judiske matematikern Levi ben Gershoms (Gersonides) avhandling "Om sinus, ackord och bågar", översatt till latin 1342 [59] . Boken innehåller ett bevis på sinussatsen och femsiffriga tabeller över sinus [60] . Trigonometri berörs i The Theoretical Geometry av den engelske matematikern Thomas Bradwardine (skriven under första hälften av 1300-talet, publicerad 1495). Trigonometriska tabeller, ofta översatta från arabiska, men ibland original, finns i verk av ett antal andra författare från 1300- och 1400-talen. Sedan tog trigonometri sin plats bland universitetskurserna.

En stor bedrift var Regiomontanus monografi Fem böcker om trianglar av alla slag (publicerad 1462-1464), som sammanfattade all kunskap som var känd vid den tiden om plan och sfärisk trigonometri och bifogade sjusiffriga tabeller av sinus (i steg om 1 ') och tangenter (med ett steg på 1°). Det är också viktigt att i Regiomontanus tabeller, i strid med astronomisk tradition, användes decimalsystemet för första gången (och inte det arkaiska sexagesimal ). Regiomontanus tog radien för den trigonometriska cirkeln lika med , så att tabellvärdena representerades av heltal (decimalbråk kom till användning något senare, och det var trigonometriska beräkningar som blev ett kraftfullt incitament för deras användning [61] ).

Jämfört med avhandlingen om at-Tusi är Regiomontanus arbete mycket mer komplett, det innehåller ett antal nya problem lösta med ursprungliga metoder. Till exempel visar den hur man konstruerar en triangel om en av dess sidor, längden på höjden sänkt till den och den motsatta vinkeln är kända [62] .

Ny tid

1500-1600-talen

Utvecklingen av trigonometri i modern tid blev oerhört viktig, inte bara för astronomi och astrologi, utan också för andra tillämpningar, framför allt artilleri , optik och långväga sjöresanavigering . Därför, efter 1500-talet, behandlade många framstående vetenskapsmän detta ämne, inklusive Nicolaus Copernicus , Johannes Kepler , Francois Viet [63] . Copernicus ägnade två kapitel åt trigonometri i sin avhandling On the Celestial Spheres revolutions (1543). Snart (1551) dök upp 15-siffriga trigonometriska tabeller av Rheticus , en elev av Copernicus, med ett steg på 10 " [64] . Kepler publicerade verket "The Optical Part of Astronomy" (1604).

Behovet av komplexa trigonometriska beräkningar orsakade upptäckten av logaritmer i början av 1600-talet , och John Napiers första logaritmiska tabeller innehöll endast logaritmerna för trigonometriska funktioner. Bland Napiers andra upptäckter finns en effektiv algoritm för att lösa sfäriska trianglar , kallad " Napers analogiformler " [65] .

Termen "trigonometri" som namn på en matematisk disciplin introducerades av den tyske matematikern B. Pitiscus , som 1595 publicerade boken "Trigonometri, eller en kort och tydlig avhandling om att lösa trianglar " ( lat.  Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus ). I slutet av 1600-talet dök moderna namn för trigonometriska funktioner upp. Termen "sinus" användes först omkring 1145 av den engelske matematikern och arabisten Robert av Chester [31] . Regiomontanus kallade i sin bok cosinus "komplementets sinus" ( lat.  sinus complementi ), eftersom ; hans anhängare på 1600-talet förkortade denna beteckning till co-sinus (Edmund Gunther) [63] , och senare till cos ( William Oughtred ). Namnen på tangent och sekant föreslogs 1583 av den danske matematikern Thomas Fincke [63] , och Edmund Gunter, som nämns ovan, introducerade namnen cotangens och cosecant . Termen "trigonometriska funktioner" användes först i hans Analytical Trigonometry (1770) av Georg Simon Klugel [66] .

Thomas Fincke föreslog en ursprunglig lösning på det geodetiska problemet: hitta vinklarna på en triangel om deras summa och förhållandet mellan motsatta sidor är kända . För att lösa Fincke använde Regiomontan-formeln (se figur) [67] :

Vieta placerade i första delen av sin "Mathematical Canon" (1579) olika tabeller, inklusive trigonometriska, och i den andra delen gav han en detaljerad och systematisk, om än utan bevis, presentation av plan och sfärisk trigonometri. År 1593 förberedde Vieta en utökad upplaga av detta huvudverk. "Det råder ingen tvekan om att hans intresse för algebra ursprungligen berodde på möjligheten till tillämpningar för trigonometri och astronomi" [68] . En annan viktig förtjänst av Vieta var användningen i trigonometrin av den allmänna algebraiska symboliken som utvecklats av honom; om lösningen av problemet tidigare förstods som en geometrisk konstruktion, så börjar prioritet från Vietas verk att skifta till algebraiska beräkningar [69] . Symbolismens utseende gjorde det möjligt att skriva trigonometriska identiteter i en kompakt och allmän form, till exempel formler för flera vinklar [70] :

Det bör noteras att Viet själv gav dessa formler delvis i en verbal beskrivning, men samtidigt påpekade han tydligt sambandet mellan formlernas koefficienter och binomialkoefficienterna och gav en tabell över deras värden för små värden [68] .

Bland andra prestationer av Vieta [71] : i verket "Supplement to Geometry" angav Vieta en trigonometrisk metod för att lösa en kubikekvation för det svåraste fallet vid den tiden - irreducible  - case (standardformeln kräver förmågan att arbeta med rötter från komplexa tal ). Viet gav det första oändliga verket någonsin:

Förutom artilleri och navigering utvecklades trigonometri också snabbt i sådana klassiska områden av dess tillämpning som geodesi . Den utbredda användningen av tangenter förklarades i synnerhet av enkelheten att mäta höjden på ett berg eller en byggnad med deras hjälp (se figur):

År 1615 hittade Snellius en lösning på "Snellius-Potenot-problemet" : hitta en punkt från vilken sidorna av en given (platt) triangel är synliga i givna vinklar. Han upptäckte ljusets brytningslag : för ett givet initialt och brytningsmedium är förhållandet mellan sinusen för infallsvinkeln och brytningsvinkeln konstant. Således öppnade Snell vägen för nya tillämpningar av trigonometriska funktioner inom optik, och uppfinningen av de första teleskopen under samma år gjorde denna upptäckt av särskild betydelse.

Den första grafen av en sinusform dök upp i Albrecht Dürers bok "Guide för att mäta med kompass och linjal" ( tyska:  Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt , 1525) [72] . På 1630 -talet ritade Gilles Roberval , under sina studier av cykloiden , självständigt en sinusform [73] , han publicerade också formeln för tangenten för en dubbel vinkel [52] . John Wallis , i sin Mechanics (1670), var före sin tid genom att korrekt ange tecknen för sinus i alla kvadranter och indikera att en sinusoid har oändligt många "varv". Tangentplotten för den första kvadranten ritades först av James Gregory (1668) [74] .

Under andra hälften av 1600-talet började den snabba utvecklingen av den allmänna teorin om kvadraturer (det vill säga beräkningen av området), som kulminerade med utseendet av matematisk analys i slutet av seklet . För trigonometriska funktioner erhölls viktiga resultat i början av denna period av Blaise Pascal (publicerad i hans bok Letters from A. Dettonville om några av hans geometriska upptäckter, 1659). I modern terminologi beräknade Pascal integraler av de naturliga krafterna sinus och cosinus och några relaterade [75] , och noterade också att . Arbete inom trigonometrin utfördes av sådana stora matematiker från 1600-talet som Otred , Huygens , Ozanam , Wallis . En märkbar process under andra hälften av 1600-talet var den gradvisa algebraiseringen av trigonometrin, förbättringen och förenklingen av dess symbolik (även om symboliken före Euler fortfarande var mycket mer besvärlig än modern) [76] .

1700-talet

Efter upptäckten av matematisk analys fick först James Gregory och sedan Isaac Newton expansionen av trigonometriska funktioner (liksom deras inverser ) till oändliga serier . Newton ägnade 10 problem åt problemen med geometri och trigonometri i sin bok " Universal Arithmetic " [77] . Till exempel, i problem X, krävs det att "lösa en triangel" om en av dess sidor, den motsatta vinkeln och summan av de andra två sidorna är kända. Lösningsmetoden som Newton föreslagit är en av Mollweides formler [78] .

Leibniz bevisade rigoröst att det generellt sett inte kan uttryckas algebraiskt i termer av , det vill säga i modern terminologi är trigonometriska funktioner transcendentala [79] .

Viktiga upptäckter i början av 1700-talet var:

 — Upptäckt och utbredd användning av radianmåttet för vinklar [80] ( Roger Cotes , 1714). Själva termen "radian" dök upp senare, den föreslogs 1873 av den engelske ingenjören James Thomson [81] .  — Trigonometrisk representation av ett komplext tal och De Moivres formel .  - Början av användningen ( Newton och Gregory ) av det polära koordinatsystemet associerat med kartesiska trigonometriska relationer; Euler (1748) [82] införde dessa koordinater i allmänt bruk .

År 1706 publicerade den schweiziske matematikern Jakob Hermann formler för tangensen av en summa och tangensen av flera vinklar, och Johann Lambert fann 1765 extremt användbara formler som uttrycker olika trigonometriska funktioner i termer av tangenten till en halv vinkel [83] . Lambert undersökte hyperboliska funktioner (1761) och visade att deras egenskaper liknar de för trigonometriska funktioner; orsaken till detta upptäcktes redan 1707 av De Moivre : när det verkliga argumentet ersätts av en imaginär cirkel, övergår det till en hyperbel och trigonometriska funktioner till motsvarande hyperboliska [84] .

Den tyske matematikern Friedrich Wilhelm von Oppeli sin bok Analysis of Triangles (1746) publicerade båda Mollweides formler i modern notation [85] .

I boken "Polygonometry" (1789) generaliserade Simon Lhuillier trigonometriska relationer för trianglar, och gav deras analoger för godtyckliga polygoner, inklusive rumsliga. I arbeten om detta ämne citerade Luillier polygonometrins grundläggande sats : arean av en polyeders strandyta är lika med summan av produkterna av ytorna på de återstående ytorna och cosinus för vinklarna de bildar med det första ansiktet . Han övervägde metoder för att "lösa polygoner" med sidor för olika problemdefinitioner: givet en sida och en vinkel, eller alla vinklar och sidor, eller alla sidor och en vinkel [86] .

År 1798 bevisade Legendre att om dimensionerna för en sfärisk triangel är små jämfört med sfärens radie, då när man löser trigonometriska problem, kan formlerna för plan trigonometri tillämpas genom att subtrahera en tredjedel av det sfäriska överskottet från varje vinkel [87 ] .

Sättet att beteckna inversa trigonometriska funktioner med prefixet båge (från latin  arcus - båge) dök upp hos den österrikiske matematikern Karl Scherfer ( Karl Scherffer , 1716-1783) och fixades tack vare Lagrange . Det var menat att till exempel den vanliga sinusen låter dig hitta ackordet genom att spänna det längs cirkelbågen, och den omvända funktionen löser det motsatta problemet. Fram till slutet av 1800-talet erbjöd de engelska och tyska matematiska skolorna andra notationer: , men de slog inte rot [88] .

Leonhard Eulers reformer

Den moderna formen av trigonometri gavs av Leonhard Euler . I sin avhandling Introduction to the Analysis of Infinites (1748) gav Euler en definition av trigonometriska funktioner som motsvarar den moderna [77] och definierade inversa funktioner i enlighet därmed . Om hans föregångare förstod sinus och andra begrepp geometriskt, det vill säga som linjer i en cirkel eller triangel, började de efter Eulers arbete etc. betraktas som dimensionslösa analytiska funktioner för en reell och komplex variabel. För det komplexa fallet etablerade han ett samband mellan trigonometriska funktioner och exponentialfunktionen ( Eulers formel ). Eulers tillvägagångssätt har sedan dess blivit allmänt accepterat och kommit in i läroböckerna.

Euler ansåg negativa vinklar och vinklar större än 360° som tillåtna, vilket gjorde det möjligt att bestämma trigonometriska funktioner på hela den reella tallinjen och sedan utöka dem till det komplexa planet . När frågan uppstod om att utvidga trigonometriska funktioner till trubbiga vinklar, valdes ofta tecknen för dessa funktioner före Euler felaktigt; många matematiker ansåg till exempel cosinus och tangens för en trubbig vinkel vara positiva [73] . Euler bestämde dessa tecken för vinklar i olika koordinatkvadranter baserat på reduktionsformler [89] .

Euler introducerade först expansionen av trigonometriska funktioner till oändliga produkter (1734), från vilka han härledde serier för deras logaritmer [90] .

I andra arbeten, framför allt The Foundations of Spherical Trigonometry Deduced from the Method of Maxima and Minima (1753) och General Spherical Trigonometry Concisely and Clearly Deduced from First Foundations (1779), gav Euler den första fullständiga systematiska beskrivningen av sfärisk trigonometri på en analytisk på grundval av [91] , och många stora resultat beror på Euler själv.

I mitten av 1700-talet blossade "argumentet om strängen" [92] , som var det viktigaste i sina konsekvenser, upp . Euler , i en polemik med d'Alembert , föreslog en mer allmän definition av en funktion än vad som tidigare accepterats; i synnerhet kan funktionen ges av en trigonometrisk serie . I sina skrifter använde Euler flera representationer av algebraiska funktioner som en serie av flera argument för trigonometriska funktioner, till exempel [93] :

Euler studerade inte den allmänna teorin om trigonometriska serier och undersökte inte konvergensen av de erhållna serierna, men han fick flera viktiga resultat. I synnerhet härledde han expansioner av heltalspotenser av sinus och cosinus [93] .

Trigonometri i Ryssland

I Ryssland publicerades den första informationen om trigonometri i samlingen "Tables of logaritms, sins and tangents for the study of wise zealots", publicerad med deltagande av L. F. Magnitsky 1703 [94] . År 1714 kom den informativa handboken "Geometry of Practice", den första ryska läroboken om trigonometri, fokuserad på tillämpade problem med artilleri, navigering och geodesi [95] . Den grundläggande läroboken för akademiker M. E. Golovin (en elev av Euler) "Plan och sfärisk trigonometri med algebraiska bevis" (1789) kan betraktas som fullbordandet av perioden för att behärska trigonometrisk kunskap i Ryssland .

I slutet av 1700-talet uppstod en auktoritativ trigonometrisk skola i S:t Petersburg ( A. I. Leksel , N. I. Fuss , F. I. Schubert ), som gjorde ett stort bidrag till plan och sfärisk trigonometri [66] .

XIX-XXI århundraden

I början av 1800-talet lade N. I. Lobachevsky till en tredje sektion till plan och sfärisk trigonometri - hyperbolisk (för Lobachevsky-geometri publicerades det första verket på detta område av F. A. Taurinus 1826). Lobatsjovskij visade att formlerna för sfärisk trigonometri förvandlas till formler för hyperbolisk trigonometri när längderna på sidorna i en triangel a, b, c ersätts av imaginära storheter: ai, bi, ci  - eller, ekvivalent, när de trigonometriska funktionerna ersätts av motsvarande hyperboliska [96] .

Under 1800- och 1900-talen utvecklades teorin om trigonometriska serier och relaterade områden inom matematiken snabbt : harmonisk analys , teorin om slumpmässiga processer , kodning av ljud- och videoinformation och andra. Även Daniel Bernoulli uttryckte tron ​​att vilken (kontinuerlig) funktion som helst på ett givet intervall kan representeras av en trigonometrisk serie [97] . Diskussionerna fortsatte fram till 1807, då Fourier publicerade en teori för representation av godtyckliga bitvis analytiska funktioner genom trigonometriska serier (den slutliga versionen finns i hans Analytical Theory of Heat, 1822) [92] . Så här utökar du en funktion till en serie:

Fourier gav integralformler för att beräkna koefficienterna [92] :

Fouriers utläggning var inte rigorös i modern mening, men innehöll redan en undersökning av konvergensen av de flesta av serierna han erhöll. För funktioner som ges på hela tallinjen och inte är periodiska, föreslog Fourier en expansion till en Fourierintegral .

Fourieranalysmetodernas mångsidighet och effektivitet har gjort stort intryck på den vetenskapliga världen. Om tidigare trigonometriska serier användes inom matematisk fysik främst för att studera periodiska processer (strängsvängningar, himlamekanik , pendelrörelse etc.), så studerades i Fouriers arbetsprocesser av ett helt annat slag (värmeöverföring), och trigonometriska serier hjälpte till att få värdefulla praktiska resultat. Sedan dess har trigonometriska serier och integraler blivit ett kraftfullt verktyg för att analysera olika funktioner. Fouriers resultat fortsatte och fördjupades av Poisson och Cauchy , frågan om seriekonvergens studerades i detalj av Dirichlet och andra matematiker [98] . Riemann undersökte i sin avhandling godtyckliga trigonometriska serier, inte nödvändigtvis förknippade med expansionen av någon funktion (1853), formulerade "lokaliseringsprincipen" för dem. Frågan om representabiliteten av en godtycklig mätbar och ändlig funktion nästan överallt genom en trigonometrisk serie (som inte nödvändigtvis sammanfaller med dess Fourier-serie) löstes 1941 av Men'shovs teorem .

Genom att utforska uppsättningarna av singulära punkter för trigonometriska serier, utvecklade Georg Cantor den grundläggande mängdteorin för all matematik [99] . Teorin om trigonometriska serier hade en enorm inverkan på utvecklingen av komplex analys , matematisk fysik , elektronik och många andra grenar av vetenskapen [92] . Funktionsteorin för en reell variabel , måttteorin och Lebesgue-integralen dök upp och vidareutvecklades i nära anslutning till teorin om trigonometriska serier [92] [100] . Approximationen av funktioner med finita trigonometriska polynom [101] (används också för interpolation ) har viktiga praktiska tillämpningar .

Historiker av trigonometri

Under 1700-1800-talen ägnade arbeten om matematikens och astronomiens historia stor uppmärksamhet åt trigonometrins historia ( J. E. Montucla , J.B.J. Delambre , G. Hankel , P. Tannery och andra). År 1900, den tyske matematikhistorikern Anton von Braunmühlpublicerade den första monografin i två volymer, specifikt ägnad åt trigonometrins historia [102] . Under 1900-talet publicerades stora verk om detta ämne av I. G. Zeiten , M. B. Kantor , O. Neugebauer , B. A. Rosenfeld , G. P. Matvievskaya och andra.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 4 Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. - M . : Nauka, 1978. - S. 266-268.
  2. ↑ Paine, Thomas. Förnuftets tidsålder . - Dover Publications, 2004. - S. 52.
  3. ↑ Eli Major. Trigonometriska läckerheter . - Princeton University Press, 1998. - S.  20 . — ISBN 0-691-09541-8 .
  4. ↑ Glazer G.I., 1982 , sid. 95.
  5. ↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometri och algebra i antika civilisationer . - Springer, 1983. - ISBN 3-540-12159-5 .
  6. ↑ Van der Waerden, 1959 , sid. 13, fotnot.
  7. ↑ Zverkina G. A. Matematikens historia: Lärobok. - M. : MIIT, 2005. - 108 sid. : "Apropå egyptisk geometri är det naturligt att nämna de "egyptiska trianglarna" - rätvinkliga trianglar med heltalssidor, även kända i Mesopotamien. I lantmäteripraktiken gjorde kunskapen om sådana trianglar det möjligt att markera räta vinklar på landtomter med hjälp av en snöre med knutar knutna på den på lika avstånd.
  8. ↑ 1 2 Glazer G.I., 1982 , sid. 77.
  9. ↑ Zeiten G. G., 1938 , sid. 124-125.
  10. ↑ Glazer G.I., 1982 , sid. 94-95.
  11. ↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 92-96.
  12. ↑ Zeiten G. G., 1932 , sid. 153-154.
  13. ↑ Veselovsky, 1961 , sid. 38.
  14. ↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. femton.
  15. ↑ Boyer, Carl B. A History of Mathematics . — Andra uppl. — John Wiley & Sons, Inc., 1991. —  S. 158–159 . — ISBN 0-471-54397-7 .
  16. ↑ 12 Toomer , 1973 .
  17. ↑ Van der Waerden, 1988 .
  18. ↑ Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , sid. 77.
  19. ↑ Thurston, 1994 .
  20. ↑ Duke, 2011 .
  21. ↑ Läsare om matematikens historia, 1976 , sid. 195-197.
  22. ↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 25-27.
  23. ↑ Duke, 2002 .
  24. ↑ Sidoli, 2004 .
  25. ↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 27-33.
  26. ↑ 1 2 3 Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 33-36.
  27. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 141-142.
  28. ↑ Zeiten G. G., 1932 , sid. 158-162.
  29. ↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 36-39.
  30. ↑ 1 2 3 Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 40-44.
  31. ↑ 1 2 3 Matematikens historia under medeltiden, 1961 , sid. 156-158.
  32. ↑ Glazer G.I., 1982 , sid. 81-82.
  33. ↑ Scott JF, 1958 , sid. femtio.
  34. ↑ 1 2 3 Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , sid. 79.
  35. ↑ 1 2 Scott JF, 1958 , sid. 52.
  36. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 199-201.
  37. ↑ Matematikens historia under medeltiden, 1961 , sid. 157.
  38. ↑ Gupta, RC Andra ordningens interpolation i indisk matematik upp till det femtonde århundradet  //  Indian Journal of History of Science: tidskrift. — Vol. 4 , nr. 1 & 2 . - S. 86-98 .
  39. ↑ 1 2 Matematikens historia under medeltiden, 1961 , sid. 160.
  40. ↑ Matematikens historia under medeltiden, 1961 , sid. 159.
  41. ↑ Bakhmutskaya E. Ya. Power-serie för sint och kostnad i verk av indiska matematiker från 1400- och 1700-talen // Historisk och matematisk forskning . - M. : Fizmatgiz, 1960. - Nr 13 . - S. 325-335 .
  42. ↑ Roy, Ranjan. Discovery of the Series Formula for π av Leibniz, Gregory och Nilakantha // Math. Assoc. amer. Matematik tidning. - 1990. - Utgåva. 63(5) . - S. 291-306 .
  43. ↑ Plofker, 2009 .
  44. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 203.
  45. ↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 51-55.
  46. ↑ Läsare om matematikens historia, 1976 , sid. 204-205.
  47. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 236-238.
  48. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 234-235.
  49. ↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 111.
  50. ↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 96-98.
  51. ↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 69.
  52. ↑ 1 2 Glazer G.I., 1983 , sid. 60.
  53. ↑ Matvievskaya G.P., 2012 , sid. 71-78.
  54. ↑ Läsare om matematikens historia, 1976 , sid. 195-198,.
  55. ↑ Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , sid. 82.
  56. ↑ Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , sid. 88.
  57. ↑ Tusi Nasiruddin . En avhandling om den fullständiga fyrhörningen. Baku, Ed. AN AzSSR, 1952.
  58. ↑ Rybnikov K. A., 1960 , sid. 105.
  59. ↑ Denna avhandling ingick i "Astronomy", en av de sex delarna av den grundläggande teologisk-filosofiska-vetenskapliga avhandlingen "Herrens krig", som Gersonides arbetade med under hela sitt liv.
  60. ↑ Rabinovich, Nachum L. Rabbi Levi ben Gershom och ursprunget till metoden för matematisk induktion. = Rabbi Levi ben Gershom och ursprunget till matematisk induktion // Archive for History of Exact Sciences . - 1970. - V. 6. - S. 237-248.
  61. ↑ Vileitner G., 1960 , sid. 14, 30-31.
  62. ↑ Zeiten G. G., 1932 , sid. 223-224.
  63. ↑ 1 2 3 Glazer G.I., 1982 , sid. 79, 84.
  64. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 320.
  65. ↑ Stepanov N. N. §42. Napiers analogiformler // Sfärisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 87-90. — 154 sid.
  66. ↑ 1 2 Vileitner G., 1960 , sid. 341-343.
  67. ↑ Zeiten G. G., 1938 , sid. 126-127.
  68. ↑ 1 2 Zeiten G. G., 1938 , sid. 129.
  69. ↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 189.
  70. ↑ Rybnikov K. A., 1960 , sid. 125.
  71. ↑ Zeiten G. G., 1938 , sid. 130-132.
  72. ↑ Hairer E., Wanner G. Calculus i ljuset av dess historia . - M . : Scientific world, 2008. - S.  42 . — 396 sid. - ISBN 978-5-89176-485-9 .
  73. ↑ 1 2 Glazer G.I., 1982 , sid. 86.
  74. ↑ Vileitner G., 1960 , sid. 324-325.
  75. ↑ Zeiten G. G., 1938 , sid. 283-288.
  76. ↑ Vileitner G., 1960 , sid. 327-335.
  77. ↑ 1 2 History of Mathematics, Volym III, 1972 , sid. 205-209.
  78. ↑ Vileitner G., 1960 , sid. 331.
  79. ↑ Zeiten G. G., 1938 , sid. 419.
  80. ↑ O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Biografi om Roger Cotes . The MacTutor History of Mathematics (februari 2005). Arkiverad från originalet den 24 september 2012.
  81. ↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 152.
  82. ↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 80-81.
  83. ↑ Vileitner G., 1960 , sid. 322, 329.
  84. ↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 207.
  85. ↑ Vileitner G., 1960 , sid. 334.
  86. ↑ Vileitner G., 1960 , sid. 345.
  87. ↑ Stepanov N. N. Sfärisk trigonometri. - Ed. 2:a. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 139-143. — 154 sid.
  88. ↑ Aleksandrova N. V., 2008 , sid. 211.
  89. ↑ History of Mathematics, Volym III, 1972 , sid. 323.
  90. ↑ Vileitner G., 1960 , sid. 148, 336.
  91. ↑ History of Mathematics, Volym III, 1972 , sid. 209-215.
  92. ↑ 1 2 3 4 5 Trigonometrisk serie // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 5.
  93. ↑ 1 2 Paplauskas A. B., 1966 , sid. 7, 15.
  94. ↑ Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. - M . : Utbildning, 1964. - S. 287. - 376 sid.
  95. ↑ Se: Yushkevich A.P. Kapitel om matematikens historia under medeltiden. - I boken: Naturvetenskapens historia i Ryssland. M.: 1957, vol I, sid 45-48.
  96. ↑ Se artikeln av B. A. Rosenfeld i boken: Kagan V. F. Foundations of Geometry. Volym II, s. 313-321.
  97. ↑ Paplauskas A. B., 1966 , sid. 26-27.
  98. ↑ Paplauskas A. B., 1966 , kapitel IV.
  99. ↑ Dauben, Joseph W. Georg Cantor and the Birth of Transfinite Set Theory  // Scientific American, rysk upplaga. - 1983. - Utgåva. 8 (augusti) . - S. 76-86 .
  100. ↑ Trigonometrisk serie . Datum för åtkomst: 28 oktober 2012. Arkiverad från originalet den 23 november 2012.
  101. ↑ Trigonometriskt polynom // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 5.
  102. ↑ Braunmühl A. Vorlesungen über die Geschichte der Trigonometrie. - Leipzig, 1900-1903.

Litteratur

Böcker
  • Aleksandrova N. V. Historia om matematiska termer, begrepp, beteckningar: Ordbok-referensbok, ed. 3:a. - St Petersburg. : LKI, 2008. - 248 sid. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
  • Van der Waerden B.L. Awakening Science. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland . — M .: GIFML, 1959.
  • Vileitner G. Matematikens historia från Descartes till mitten av 1800-talet . - M. : GIFML, 1960. - 468 sid.
  • Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. VII-VIII klasser. En guide för lärare. - M . : Utbildning, 1982. - S. 76-95. — 240 s.
  • Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. IX-X klasser. En guide för lärare. - M . : Utbildning, 1983. - 352 sid.
  • Matematikens historia, redigerad av A. P. Yushkevich i tre volymer, M .: Nauka.
    • Matematikens historia. Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - 351 sid.
    • 1600-talets matematik // Matematikens historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. II. — 300 s.
    • 1700-talets matematik // Matematikens historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1972. - T. III. — 495 sid.
  • Matvievskaya G.P. Essäer om trigonometrins historia: antikens Grekland. Medeltida öst. Sen medeltid. - Ed. 2:a. - M. : Librokom, 2012. - 160 sid. - (Fysisk-matematiskt arv: matematik (matematikens historia)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .
  • Paplauskas A. B. Trigonometrisk serie. Från Euler till Lebesgue. — M .: Nauka, 1966. — 277 sid.
  • Rozhanskaya M. M. Mekanik i den medeltida öst. - Moskva: Nauka, 1976.
  • Rybnikov K. A. Matematikens historia i två volymer. - M. : Ed. Moscow State University, 1960. - T. I.
  • Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P. Abu Raykhan Beruni och hans matematiska verk. Studiehjälp. - M . : Utbildning, 1978. - 95 sid. — (Vetenskapsmänniskor).
  • Stroik D. Ya. Kort essä om matematikens historia, red. 3:a. — M .: Nauka, 1978. — 336 sid.
    • Stroyk D. Ya (Dirk J. Struik). En kort översikt över matematikens historia, red. 5:a. - M . : Nauka, Ch. ed. Phys.-Matte. Litteratur, 1990. - 256 sid. — ISBN 5-02014329-4 .
  • Läsare om matematikens historia. Aritmetik och algebra. Talteori. Geometri / Ed. A. P. Jusjkevitj . - M . : Utbildning, 1976. - 318 sid.
  • Zeiten GG Matematikens historia under antiken och medeltiden. - M. - L. : GTTI, 1932. - 230 sid.
  • Zeiten G. G. Matematikens historia under 1500- och 1600-talen. - M. - L. : ONTI, 1938. - 456 sid.
  • Yushkevich A.P. Matematikens historia under medeltiden. - M. : GIFML, 1961. - 448 sid.
  • Plofker K. Matematik i Indien. — Princeton: Princeton University Press, 2009.
  • Scott JF En historia av matematik från antiken till början av 1800-talet. - London: Tailor & Francis Ltd, 1958. - 266 sid.
  • Thurston H. Tidig astronomi. — New York: Springer-Verlag, 1994.
  • Van Brummelen G. The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry. — Princeton University Press, 2009.
Artiklar

Länkar

  • Fedosova M. Trigonometri . Encyclopedia Around the World. Hämtad 5 juni 2012. Arkiverad från originalet 24 september 2012.
  • O'Connor, JJ; Robertson EF Trigonometriska funktioner  . MacTutor History of Mathematics Archive (1996). Hämtad 5 juni 2012. Arkiverad från originalet 24 september 2012.
  • Leo Rogers. Trigonometrins  historia . Hämtad 19 oktober 2012. Arkiverad från originalet 28 oktober 2012.
 Matematikens historia
Länder och epoker
Tematiska
avsnitt
se även
 Trigonometri
Allmän
Katalog
Lagar och satser
Matematisk analys