Reuleaux triangel

Reuleauxtriangeln [* 1] är skärningsområdet för tre lika stora cirklar med mittpunkter i spetsen av en regelbunden triangel och radier lika med dess sida [1] [2] . Den icke-släta slutna kurvan som begränsar denna figur kallas också Reuleaux-triangeln.

Reuleauxtriangeln är den enklaste figuren med konstant bredd efter cirkeln [1] . Det vill säga, om ett par parallella referenslinjer [* 2] dras till Reuleaux-triangeln , kommer avståndet mellan dem inte att bero på den valda riktningen [3] . Detta avstånd kallas bredden på Reuleaux-triangeln.

Bland andra figurer med konstant bredd kännetecknas Reuleaux-triangeln av ett antal extrema egenskaper: den minsta arean [1] , den minsta möjliga vinkeln i spetsen [4] , den minsta symmetrin kring mitten [5] . Triangeln har blivit utbredd i teknologin, baserad på den, kam- och clamshell - mekanismer, Wankel-rotationskolvmotorn , och till och med borrar skapades som tillåter borrning ( fräsning ) av fyrkantiga hål [6] .

Namnet på figuren kommer från efternamnet på den tyske mekanikern Franz Rehlo . Han var förmodligen den förste som undersökte egenskaperna hos denna så kallade krökta triangel; han använde det också i sina mekanismer [7] .

Historik

Reuleaux är inte upptäckaren av denna figur, även om han studerade den i detalj. Speciellt övervägde han frågan om hur många kontakter (i kinematiska par ) som är nödvändiga för att förhindra rörelsen av en platt figur, och med hjälp av exemplet med en krökt triangel inskriven i en kvadrat , visade han att ens tre kontakter kanske inte räcker. för att förhindra att figuren roterar [8] .

Vissa matematiker tror att Leonhard Euler var den första som demonstrerade idén om en triangel med lika stora cirkelbågar på 1700-talet [9] . Ändå finns en liknande figur tidigare, på 1400-talet: Leonardo da Vinci använde den i sina manuskript . Reuleauxtriangeln finns i hans manuskript A och B, förvarad på Institut de France [10] , såväl som i Codex Madrid [9] .

Runt 1514 skapade Leonardo da Vinci en av de första världskartorna i sitt slag . Jordklotets yta på den delades av ekvatorn och två meridianer (vinkeln mellan dessa meridianers plan är 90°) i åtta sfäriska trianglar , som visades på kartans plan av Reuleaux-trianglar, samlade fyra runt stolpar [11] .

Ännu tidigare, på 1200-talet, använde skaparna av Vårfrukyrkan i Brygge Reuleaux-triangeln som form för några av fönstren [9] .

Egenskaper

Reuleauxtriangeln är en platt konvex geometrisk figur [12] .

Grundläggande geometriska egenskaper

Om bredden på Reuleaux-triangeln är , då är dess area [13]

omkrets

inskriven cirkelradie

och radien för den omskrivna cirkeln

. Symmetri

Reuleauxtriangeln har axiell symmetri . Den har tre symmetriaxlar av andra ordningen, som var och en passerar genom triangelns spets och mitten av den motsatta bågen, samt en symmetriaxel av tredje ordningen, vinkelrät mot triangelns plan och passerar genom dess centrum [* 3] . Således består symmetrigruppen av Reuleaux-triangeln av sex avbildningar (inklusive identiteten ) och är densamma som symmetrigruppen för en vanlig triangel .

Bygga med en kompass

Reuleauxtriangeln kan konstrueras med enbart en kompass , utan att ta till en linjal . Denna konstruktion reduceras till den sekventiella ritningen av tre lika cirklar . Mitten av den första väljs godtyckligt, mitten av den andra kan vara vilken punkt som helst i den första cirkeln, och mitten av den tredje kan vara vilken som helst av de två skärningspunkterna för de två första cirklarna.

Egenskaper som är gemensamma för alla former med konstant bredd

Eftersom Reuleaux-triangeln är en figur med konstant bredd, har den alla de allmänna egenskaperna hos figurerna i denna klass. Särskilt,

  • med var och en av sina stödlinjer har Reuleaux-triangeln endast en gemensam punkt [14] ;
  • avståndet mellan två punkter i Reuleaux-triangelns bredd får inte överstiga [15] ;
  • segmentet som förbinder kontaktpunkterna för två parallella referenslinjer med Reuleaux-triangeln är vinkelrät mot dessa referenslinjer [16] ;
  • genom någon punkt på gränsen för Reuleaux-triangeln passerar åtminstone en referenslinje [17] ;
  • genom varje punkt på gränsen för Reuleauxtriangeln passerar en omslutande cirkel med radie [* 4] , och referenslinjen som dras till Reuleauxtriangeln genom punkten är tangent till denna cirkel [18] ;
  • radien för en cirkel som har minst tre gemensamma punkter med gränsen för breddtriangeln Reuleaux överstiger inte [19] ;
  • enligt Hanfried Lenz sats om mängder av konstant bredd, kan Reuleaux-triangeln inte delas upp i två figurer vars diameter skulle vara mindre än själva triangelns bredd [20] [21] ;
  • Reuleaux-triangeln, som vilken annan figur som helst med konstant bredd, kan inskrivas i en kvadrat [22] , såväl som i en regelbunden hexagon [23] ;
  • av Barbiers sats är formeln för omkretsen av Reuleaux-triangeln giltig för alla figurer med konstant bredd [24] [25] [26] .

Extreme egenskaper

Minsta området

Bland alla figurer med konstant bredd har Reuleaux-triangeln den minsta arean [1] . Detta påstående kallas Blaschke-Lebesgue-satsen [27] [28] (efter namnen på den tyska geometern Wilhelm Blaschke , som publicerade satsen 1915 [29] , och den franske matematikern Henri Lebesgue , som formulerade den 1914 [30 ] ). Vid olika tillfällen föreslogs varianter av dess bevis av Matsusaburo Fujiwara (1927 och 1931) [31] [32] , Anton Mayer (1935) [33] , Harold Eggleston (1952) [34] , Abram Besikovich (1963) [35 ] , Donald Chakerian (1966) [36] , Evans Harrell (2002) [37] och andra matematiker [5] .

För att hitta arean av en Reuleaux-triangel kan du lägga till arean av den inre liksidiga triangeln

och arean av de tre återstående identiska cirkulära segmenten baserat på en vinkel på 60 °

det är

[38]

En figur som har den motsatta extrema egenskapen är en cirkel . Bland alla figurer med en given konstant bredd är dess area

maximalt [39] [* 5] . Arean av motsvarande Reuleaux-triangel är mindre med ≈10,27%. Inom dessa gränser ligger arean för alla andra figurer med en given konstant bredd.

Minsta vinkel

Genom varje vertex av Reuleaux-triangeln, till skillnad från resten av dess gränspunkter, finns det inte en referenslinje , utan ett oändligt antal referenslinjer. Skärande upptill bildar de en "bunt". Vinkeln mellan de extrema raka linjerna i denna "bunt" kallas spetsvinkeln . För siffror med konstant bredd får vinkeln vid hörnen inte vara mindre än 120°. Den enda figuren med konstant bredd som har vinklar exakt 120° är Reuleaux-triangeln [4] .

Minst centrala symmetri

Av alla figurer med konstant bredd har Reuleaux-triangeln den minsta graden av central symmetri [5] [40] [41] [42] [43] . Det finns flera olika sätt att definiera graden av symmetri för en figur. En av dem är Kovner-Besikovich-åtgärden. I det allmänna fallet, för en konvex figur, är den lika med

var  är arean av figuren, är den centralt symmetriska konvexa figuren av maximal area  som finns i . För Reuleaux-triangeln är en sådan figur en hexagon med böjda sidor, som är skärningspunkten mellan denna Reuleaux-triangel och dess bild med central symmetri kring dess centrum [* 3] . Kovner-Besicovich-måttet för Reuleaux-triangeln är

[5] [40]

Ett annat sätt är Estermann-måttet

var  är den centralt symmetriska siffran för minimiarea. För en Reuleaux-triangel  är detta en vanlig hexagon , så Estermann-måttet är

[5] [36]

För centralt symmetriska figurer är måtten Kovner-Besikovich och Estermann lika med ett. Bland figurer med konstant bredd är det bara cirkeln [25] som har central symmetri , vilket (tillsammans med Reuleaux-triangeln) begränsar omfånget av möjliga värden för deras symmetri.

Square rolling

Varje figur med konstant bredd är inskriven i en kvadrat med en sida som är lika med figurens bredd, och riktningen på kvadratens sidor kan väljas godtyckligt [22] [* 6] . Reuleaux-triangeln är inget undantag, den är inskriven i en kvadrat och kan rotera i den, ständigt vidröra alla fyra sidor [44] .

Varje vertex av triangeln under dess rotation "passerar" nästan hela omkretsen av kvadraten, avviker från denna bana endast i hörnen - där beskriver vertexen en ellipsbåge . Mitten av denna ellips är belägen i det motsatta hörnet av kvadraten, och dess stora och små axlar roteras i en vinkel på 45 ° i förhållande till kvadratens sidor och är lika

var  är bredden på triangeln [45] . Var och en av de fyra ellipserna berör två intilliggande sidor av kvadraten på avstånd

från hörnet [38] .

Mitten av Reuleaux-triangeln rör sig under rotation längs en bana som består av fyra identiska ellipsbågar. Centrum för dessa ellipser är belägna vid kvadratens hörn, och axlarna roteras i en vinkel på 45 ° i förhållande till kvadratens sidor och är lika med

[45] .

Ibland, för mekanismer som implementerar en sådan rotation av en triangel i praktiken, väljs inte en limning av fyra bågar av ellipser, utan en cirkel nära den som centrums bana [46] .

Arean av vart och ett av de fyra hörnen som inte påverkas av rotation är lika med

[47]

och subtrahera dem från arean av kvadraten, kan du få arean av figuren som Reuleaux-triangeln bildar när den roterar i den

[38] [47] [48]

Skillnaden med den kvadratiska arean är ≈1,2%, därför skapas, baserat på Reuleaux-triangeln, borrar som gör det möjligt att få nästan fyrkantiga hål [45] .

Applikation

Borra fyrkantiga hål i tvärsnitt mot skärhålens axel

"Vi har alla hört talas om skiftnycklar designade för vänsterhänta muttrar , knutna vattenrör och gjutjärnsbananer. Vi betraktade sådana saker som löjliga prydnadssaker och vägrade ens att tro att vi någonsin skulle träffa dem i verkligheten. Och plötsligt finns det ett verktyg som gör att du kan borra fyrkantiga hål!


Watts Brothers Tool Works flygblad [49] [* 7]

En fräs med en sektion i form av en Reuleaux-triangel och skärblad som sammanfaller med dess hörn gör det möjligt att få nästan fyrkantiga hål. Skillnaden mellan sådana hål från en kvadrat i tvärsnitt är endast i lätt rundade hörn [50] . En annan egenskap hos en sådan fräs är att dess axel under rotation inte ska sitta kvar, som är fallet med traditionella spiralborrar, utan beskriver en kurva i sektionsplanet, bestående av fyra bågar av ellipser . Därför bör chucken , i vilken fräsen är fastklämd, och verktygsfästet inte störa denna rörelse [45] .

För första gången lyckades Harry Watts, en engelsk ingenjör som arbetar i USA , implementera en sådan verktygshållardesign . För att göra detta använde han en styrplatta med ett hål i form av en kvadrat, i vilken en borr kunde röra sig radiellt, fastklämd i en "flytande chuck" [50] . Patenten för chuck [51] och borr [52] erhölls av Watts 1917. De nya borrarna såldes av Watts Brothers Tool Works [53] [54] . Ett annat amerikanskt patent för en liknande uppfinning utfärdades 1978 [55] .

Wankelmotor

Ett annat exempel på användning kan hittas i Wankel-motorn : rotorn på denna motor är gjord i form av en Reuleaux-triangel [6] . Den roterar inuti kammaren, vars yta är gjord enligt epitrokoiden [56] . Rotoraxeln är fast förbunden med kugghjulet som är i ingrepp med ett fast kugghjul . En sådan trihedral rotor rullar runt växeln, hela tiden vidrör motorns innerväggar med topparna och bildar tre regioner med variabel volym , som var och en i sin tur är en förbränningskammare [6] . Tack vare detta utför motorn tre kompletta arbetscykler på ett varv.

Wankelmotorn gör att alla termodynamiska fyrtaktscykler kan utföras utan användning av en gasdistributionsmekanism . Blandningens bildning, antändning , smörjning, kylning och start i den är i grunden desamma som i konventionella kolvmotorer för förbränning [56] .

Clamshell-mekanism

En annan tillämpning av Reuleaux-triangeln inom mekanik är en kopplingsmekanism som flyttar film ruta för ruta i filmprojektorer . Greppen på Luch-2-projektorn, till exempel, är baserad på Reuleaux-triangeln, som är inskriven i en kvadratisk ram fixerad på ett dubbelt parallellogram . Triangeln roterar runt drivaxeln och flyttar ramen med tanden placerad på den . Tanden går in i filmens perforering , drar ner den en bildruta och går tillbaka och stiger sedan till början av cykeln. Dess bana är ju närmare kvadraten, desto närmare toppen av triangeln är axeln fixerad (helst skulle kvadratisk bana tillåta att projicera ramen under ¾ av cykeln) [6] [57] [58] .

Det finns en annan gripdesign, också baserad på Reuleaux-triangeln. Som i det första fallet utför ramen för denna grip en fram- och återgående rörelse, men den flyttas inte av en, utan av två kammar , vars funktion synkroniseras med hjälp av en kugghjulståg [28] .

Brunnslock

Brunnslock kan göras i form av Reuleaux-triangeln  - på grund av den konstanta bredden kan de inte falla in i luckan [59] .

I San Francisco , för ett vattenåtervinningssystem , är brunnskroppar formade som en Reuleaux-triangel, men deras lock är formade som liksidiga trianglar.

Kammekanism

Reuleaux-triangeln användes i kammekanismerna i några ångmaskiner från början av 1800-talet . I dessa mekanismer roterar vevens rotationsrörelse Reuleaux-triangeln som är fäst vid tryckstången med transmissionsspakar, vilket gör att tryckstången rör sig fram och tillbaka [63] . Enligt Reuleauxs terminologi bildar denna anslutning ett "högre" kinematiskt par , eftersom kontakten mellan länkarna sker längs linjen och inte längs ytan [64] . I sådana kammekanismer förblir påskjutaren, när den når det extrema högra eller vänstra läget, orörlig under en begränsad tid [63] [10] .

Reuleauxtriangeln användes tidigare i stor utsträckning i kammekanismerna i sicksacksymaskiner .

Reuleaux-triangeln användes som en kam av tyska urmakare i A. Lange & Söhne "Lange 31" [65] armbandsurrörelsen .

Skridskobana

För att flytta tunga föremål över korta avstånd kan du använda inte bara hjul, utan även enklare strukturer, till exempel cylindriska rullar [66] . För att göra detta måste lasten placeras på ett platt stativ monterat på rullar och sedan skjutas. När de bakre rullarna blir fria måste de bäras och placeras framför [67] [66] . Mänskligheten använde denna transportmetod före uppfinningen av hjulet .

I denna rörelse är det viktigt att lasten inte rör sig upp och ner, eftersom skakning kommer att kräva ytterligare ansträngning från påskjutaren [67] . För att rörelsen längs rullarna ska vara rätlinjig måste deras tvärsnitt vara en siffra med konstant bredd [67] [68] . Oftast var avsnittet en cirkel , eftersom vanliga stockar fungerade som rullar . En sektion i form av en Reuleaux-triangel kommer dock att vara lika bra [ clarify ] och kommer att tillåta att föremål flyttas i samma räta linje [6] [67] .

Även om Reuleaux triangelformade rullar tillåter smidig rörelse av föremål, är denna form inte lämplig för tillverkning av hjul, eftersom Reuleaux-triangeln inte har en fast rotationsaxel [69] .

Plectrum

Reuleaux-triangeln är en vanlig form av plektrum (plock): en tunn platta designad för att spela på strängarna av plockade musikinstrument .

I design

Reuleauxtriangeln används som ett element i företags och organisationers logotyper, till exempel: FINA ( Petrofina ) [70] , Bavaria [71] , Colorado School of Mines [72] .

I USA är det nationella spårsystemet och cykelruttsystemet dekorerade med Reuleaux-trianglar [73] .

Formen på den centrala knappen på Samsung Corby- smarttelefonen är en Reuleaux-triangel inkapslad i en silverram med samma form. Den centrala knappen, enligt experter, är huvuddesignelementet på framsidan av Corby [74] [75] .

Reuleaux-triangeln i konsten

Arkitektur

Formen på Reuleaux-triangeln används också för arkitektoniska ändamål. Konstruktionen av dess två bågar bildar en spetsig båge som är karakteristisk för den gotiska stilen , men den är ganska sällsynt i sin helhet i gotiska byggnader [76] [77] . Fönster i form av Reuleaux-triangeln finns i Our Lady Church i Brygge [9] såväl som i den skotska kyrkan i Adelaide [77] . Som ett prydnadselement finns det på fönsterspärrarna i cistercienserklostret i den schweiziska kommunen Hauterives [76] .

Reuleaux-triangeln används också i icke-gotisk arkitektur. Till exempel, byggt 2006 i Köln , ett 103 meter långt torn som kallas " Cologne Triangle " i tvärsnitt är exakt denna figur [78] .

Vissa användningsfall
Fönster av Our Lady Church i Brygge Fönster av Saint Salvators katedral i Brygge Notre Dame-katedralens fönster " Kölntriangeln "
Fönster av Saint Michael Church i Luxemburg Fönster av Our Lady Church i Brygge Fönster av katedralen av Saints Michael och Gudula i Bryssel Fönster av Saint Bavos katedral i Gent
Se även kategorin " Reuleaux-trianglar i arkitektur " på Wikimedia Commons

Form och färg

Enligt Johannes Ittens förkurs , i den "ideala" korrespondensmodellen , är en del av spektrumet för varje färg i det - med en form (geometrisk figur). Den gröna färgen är en "derivata": resultatet av att blanda transparent blått och ljusgult (utan att inkludera akromatiska ), och eftersom de i denna modell motsvarar en cirkel och en vanlig triangel, är det den figur som kallas av I. Itten a sfärisk triangel, Reuleaux-triangeln, som motsvarar grön.

Litteratur

I Poul Andersons sci-fi- novell "The Triangular Wheel" [79] kraschlandade en besättning jordbor på en planet vars befolkning inte använde hjul , eftersom allt runtomkring var under ett religiöst förbud. Hundratals kilometer från landningsplatsen lämnade den tidigare terrestra expeditionen ett lager med reservdelar, men det var omöjligt att överföra den två ton tunga kärnkraftsgeneratorn som var nödvändig för fartyget därifrån utan några mekanismer. Som ett resultat lyckades jordborna observera tabut och transportera generatorn med hjälp av rullar med en sektion i form av en Reuleaux-triangel.

Variationer och generaliseringar

Reuleaux polygon

Den underliggande idén med Reuleaux-triangeln kan generaliseras genom att använda för att skapa en kurva med konstant bredd , inte en liksidig triangel , utan en stellerad polygon som bildas av linjesegment av lika längd [80] . Om vi ​​från varje vertex i en stjärnformad polygon ritar en cirkelbåge som förbinder två angränsande hörn, kommer den resulterande slutna kurvan med konstant bredd att bestå av ett ändligt antal bågar med samma radie [80] . Sådana kurvor (liksom de figurer som avgränsas av dem) kallas Reuleaux-polygoner [81] [82] .

En familj av Reuleaux-polygoner med en viss bredd bildar en överallt tät delmängd i uppsättningen av alla kurvor med konstant bredd (med Hausdorff-metriken ) [81] . Med andra ord, med deras hjälp är det möjligt att approximera vilken kurva som helst med konstant bredd godtyckligt noggrant [83] [82] .

Bland Reuleaux-polygonerna finns det en klass av kurvor som är konstruerade på basis av regelbundna stellerade polygoner. Denna klass kallas vanliga Reuleaux-polygoner . Alla bågar som utgör en sådan polygon har inte bara samma radie, utan också samma längd [84] [* 8] . Reuleaux-triangeln är till exempel korrekt. Bland alla Reuleaux-polygoner med ett fast antal sidor och samma bredd omsluter regelbundna polygoner det största området [84] [85] .

Formen av sådana polygoner används i mynt : mynt från ett antal länder (särskilt 20 [86] och 50 pence [87] Storbritannien ) är gjorda i form av en vanlig Reuleaux-heptagon. Det finns en cykel gjord av en kinesisk officer , vars hjul är i form av en vanlig triangel och en Reuleaux femhörning [88] .

3D-analoger

Den tredimensionella analogen av Reuleaux-triangeln som skärningspunkten mellan tre cirklar är Reuleaux-tetraedern  - skärningspunkten mellan fyra identiska kulor , vars centra är belägna vid hörn av en vanlig tetraeder , och radierna är lika med sidan av denna tetraeder. Reuleaux-tetraedern är dock inte ett fast ämne med konstant bredd : avståndet mellan mittpunkterna på motsatta krökta gränskanter som förbinder dess hörn är

gånger större än kanten på den ursprungliga regelbundna tetraedern [89] [90] .

Reuleaux-tetraedern kan emellertid modifieras så att den resulterande kroppen är en kropp med konstant bredd. För att göra detta, i vart och ett av de tre paren av motsatta kurvlinjära kanter, "utjämnas" en kant på ett visst sätt [90] [91] . Två olika fasta ämnen som erhålls på detta sätt (de tre kanter på vilka utbyten sker kan tas antingen utgående från samma vertex eller bilda en triangel [91] ) kallas Meissner solids , eller Meissner tetrahedra [89] . Hypotesen formulerad av Tommy Bonnesen och Werner Fenchel 1934 [92] säger att det är dessa kroppar som minimerar volymen bland alla kroppar med en given konstant bredd, men (från 2011) har denna hypotes inte bevisats [93 ] [94] .

Slutligen är rotationskroppen som erhålls genom att rotera Reuleaux-triangeln runt en av dess symmetriaxlar av andra ordningen en kropp med konstant bredd. Den har den minsta volymen bland alla rotationskroppar med konstant bredd [90] [95] [96] .

Kommentarer

  1. ↑ Det finns andra varianter av transkriptionen av efternamnet Reuleaux. Till exempel, I. M. Yaglom och V. G. Boltyansky i boken "Convex Figures" kallar det "Rello-triangeln".
  2. ↑ Referenslinjen går genom en punkt på figurens kant utan att dela upp figuren i delar.
  3. ↑ 1 2 Mitten av en Reuleaux-triangel är skärningspunkten för alla medianer , bisektrar och höjder i dess regelbundna triangel.
  4. ↑ För en Reuleaux-triangel sammanfaller denna cirkel med en av de tre cirklarna som bildar dess gräns.
  5. ↑ Detta uttalande följer av kombinationen av två satser - det klassiska isoperimetriska problemet med Dido och Barbiers sats .
  6. ↑ Denna egenskap karakteriserar helt figurer med konstant bredd. Med andra ord kommer varje figur runt vilken den beskrivna kvadraten kan "roteras" att vara en figur med konstant bredd.
  7. ↑ Original - "Vi har alla hört talas om vänsterhänta apskiftnycklar, pälsfodrade badkar, gjutjärnsbananer. Vi har alla klassat dessa saker med det löjliga och vägrat tro att något sådant någonsin skulle kunna hända, och precis då kommer ett verktyg som borrar fyrkantiga hål!"
  8. ↑ Med andra ord, de centrala vinklarna för dessa bågar är lika.

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 3 4 Sokolov D. D. En kurva med konstant bredd // Mathematical Encyclopedia / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 519. - 608 sid. — 150 000 exemplar.
  2. ↑ Yaglom, Boltjanskij. Konvexa figurer, 1951 , sid. 91.
  3. ↑ Yaglom, Boltjanskij. Konvexa figurer, 1951 , sid. 90.
  4. ↑ 1 2 Rademacher, Toeplitz, 1962 , sid. 206-207.
  5. ↑ 1 2 3 4 5 Finch SR Reuleaux Triangelkonstanter // Matematiska konstanter . - Cambridge : Cambridge University Press, 2003. - P.  513-515 . — 624 sid. - (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 94). - ISBN 0-5218-1805-2 .  (Engelsk)
  6. ↑ 1 2 3 4 5 Andreev N. N. Rund Reuleaux-triangel . Matematiska studier . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 23 maj 2012.
  7. ↑ Pickover CA Reuleaux Triangle // Matematikboken: Från Pythagoras till den 57:e dimensionen, 250 milstolpar i matematikens historia . — New York ; London : Sterling, 2009. - P.  266-267 . — 528 sid. — ISBN 1-4027-5796-4 .  (Engelsk)
  8. ↑ Måne. The Machines of Leonardo Da Vinci och Franz Reuleaux, 2007 , sid. 240.
  9. ↑ 1 2 3 4 Taimina D. , Henderson D.W. Reuleaux Triangle  . Kinematiska modeller för design digitalt bibliotek . Cornell University . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 10 maj 2012.
  10. ↑ 12 Måne . The Machines of Leonardo Da Vinci och Franz Reuleaux, 2007 , sid. 241.
  11. ↑ Snyder Uppkomsten av kartprojektioner: Klassiskt genom renässansen // Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections. — Chicago ; London : University Of Chicago Press, 1997. - S. 40. - 384 s. — ISBN 0-2267-6747-7 .  (Engelsk)
  12. ↑ Kurva med konstant bredd // Mathematical Encyclopedic Dictionary / Kap. ed. Yu. V. Prokhorov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1988. - S.  478 . — 847 sid. — 150 000 exemplar.
  13. ↑ WolframAlpha : Reuleaux Triangel  . wolframalpha . Wolfram Research. Hämtad: 18 november 2011.  (otillgänglig länk)
  14. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , sid. 201.
  15. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , sid. 201-202.
  16. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , sid. 202-203.
  17. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , sid. 203.
  18. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , sid. 203-204.
  19. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , sid. 204-206.
  20. ↑ Lenz H. Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers  (tyska)  // Archiv der Mathematik. - Basel : Birkhäuser Verlag, 1955. - Bd. 6 , nr. 5 . - S. 413-416 . — ISSN 0003-889X . - doi : 10.1007/BF01900515 .
  21. ↑ Raigorodsky A. M. Borsuks problem. Universaldäck  // Matematisk utbildning . - M . : MTSNMO , 2008. - Utgåva. 12 . - S. 216 . — ISBN 978-5-94057-354-8 . Arkiverad från originalet den 16 september 2011.
  22. ↑ 1 2 Yaglom, Boltjanskij. Konvexa figurer, 1951 , sid. 92.
  23. ↑ Eggleston. Convexity, 1958 , sid. 127-128.
  24. ↑ Barbier E. Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert  (franska)  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - Paris : Imprimerie de Mallet-Hachelier, 1860. - Vol. 5 . - s. 273-286 . — ISSN 0021-7824 .  (inte tillgänglig länk)
  25. ↑ 1 2 Bogomolny A. Barbiers  sats . Klipp av knuten . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 23 maj 2012.
  26. ↑ Eggleston. Convexity, 1958 , sid. 127.
  27. ↑ Eggleston. Convexity, 1958 , sid. 128-129.
  28. ↑ 1 2 Berger M. Geometry = Géométrie / Per. från franska Yu. N. Sudareva, A. V. Pajitnova, S. V. Chmutova. - M .: Mir , 1984. - T. 1. - S. 529-531. — 560 sid.
  29. ↑ Blaschke W. Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts  (tyska)  // Mathematische Annalen . - Leipzig : Druck und Verlag von BG Teubner, 1915. - Bd. 76 , nr. 4 . - S. 504-513 . — ISSN 0025-5831 . - doi : 10.1007/BF01458221 .
  30. ↑ Lebesgue H. Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constant  (franska)  // Bulletin de la Société Mathématique de France, Comptes Rendus des Séances. - 1914. - Vol. 42 . - S. 72-76 . Arkiverad från originalet den 28 november 2016.
  31. ↑ Fujiwara M. Analytiskt bevis på Blaschkes sats om kurvan av konstant bredd med minsta area  //  Imperial Academys handlingar. - Tokyo : Japan Academy, 1927. - Vol. 3 , nr. 6 . - S. 307-309 . — ISSN 0369-9846 . doi : 10.2183 /pjab1912.3.307 .
  32. ↑ Fujiwara M. Analytiskt bevis för Blaschkes sats om kurvan för konstant bredd med minsta area, II  //  Imperial Academys handlingar. - Tokyo : Japan Academy, 1931. - Vol. 7 , nr. 8 . - S. 300-302 . — ISSN 0369-9846 . doi : 10.2183 /pjab1912.7.300 .
  33. ↑ Mayer A.E. Der Inhalt der Gleichdicke: Abschätzungen für ebene Gleichdicke  (tyska)  // Mathematische Annalen . - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1935. - Bd. 110 , nr. 1 . - S. 97-127 . — ISSN 0025-5831 . - doi : 10.1007/BF01448020 .
  34. ↑ Eggleston HG Ett bevis på Blaschkes sats om Reuleauxtriangeln  //  Quarterly Journal of Mathematics. - London : Oxford University Press , 1952. - Vol. 3 , nr. 1 . - S. 296-297 . — ISSN 0033-5606 . - doi : 10.1093/qmath/3.1.296 .
  35. ↑ Besicovitch AS Minimiarea av en uppsättning konstant bredd  //  Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - Providence : American Mathematical Society , 1963. - Vol. 7 (Konvexitet) . - S. 13-14 . - ISBN 0-8218-1407-9 . — ISSN 0082-0717 .
  36. ↑ 1 2 Chakerian GD- uppsättningar av konstant bredd  // Pacific  Journal of Mathematics . - Berkeley : Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1966. - Vol. 19 , nr. 1 . - S. 13-21 . — ISSN 0030-8730 . Arkiverad från originalet den 4 mars 2016.
  37. ↑ Harrell EM Ett direkt bevis på en teorem av Blaschke och Lebesgue  //  Journal of Geometric Analysis. —St . Louis : Mathematica Josephina, 2002. - Vol. 12 , nr. 1 . - S. 81-88 . — ISSN 1050-6926 . - doi : 10.1007/BF02930861 . arXiv : math.MG/0009137
  38. ↑ 1 2 3 Weisstein E.W. Reuleaux Triangel  . wolfram mathworld . Hämtad 6 november 2011. Arkiverad från originalet 2 april 2019.
  39. ↑ Boltyansky V. G. Om ett segments rotation  // Kvant . - M . : Nauka , 1973. - Nr 4 . - S. 29 . — ISSN 0130-2221 . Arkiverad från originalet den 26 november 2007.
  40. ↑ 1 2 Besicovitch AS Mått på asymmetri hos konvexa kurvor (II): Curves of Constant Width  //  Journal of the London Mathematical Society. - Oxford : Oxford University Press , 1951. - Vol. 26 , nr. 2 . - S. 81-93 . — ISSN 0024-6107 . - doi : 10.1112/jlms/s1-26.2.81 .
  41. ↑ Eggleston HG Mått på asymmetri hos konvexa kurvor med konstant bredd och begränsade krökningsradier  //  Quarterly Journal of Mathematics. - London : Oxford University Press , 1952. - Vol. 3 , nr. 1 . - S. 63-72 . — ISSN 0033-5606 . - doi : 10.1093/qmath/3.1.63 .
  42. ↑ Grünbaum B. Mätningar av symmetri för konvexa uppsättningar  //  Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - Providence : American Mathematical Society , 1963. - Vol. 7 (Konvexitet) . - S. 233-270 . - ISBN 0-8218-1407-9 . — ISSN 0082-0717 .
  43. ↑ Groemer H., Wallen LJ Ett mått på asymmetri för domäner med konstant bredd  //  Beiträge zur Algebra und Geometry / Bidrag till algebra och geometri. - Lemgo : Heldermann Verlag, 2001. - Vol. 42 , nr. 2 . - s. 517-521 . — ISSN 0138-4821 . Arkiverad från originalet den 21 september 2015.
  44. ↑ Andreev N. N. Uppfinna hjulet . Matematiska studier . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 23 maj 2012.
  45. ↑ 1 2 3 4 Andreev N. N. Borra fyrkantiga hål . Matematiska studier . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 23 maj 2012.
  46. ↑ Beliltsev V. Plus geometri! // Teknik och vetenskap. - M . : Profizdat, 1982. - Nr 7 . - S. 14 . — ISSN 0321-3269 .
  47. ↑ 1 2 Klee V. , Wagon S. Gamla och nya olösta problem i plangeometri och talteori. - Washington DC : Mathematical Association of America , 1996. - P. 22. - 356 sid. - (Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 11). — ISBN 0-8838-5315-9 .  (Engelsk)
  48. ↑ Wilson RG A066666: Decimalexpansion av arean utskuren av en roterande Reuleaux-  triangel . OEIS . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 23 maj 2012.
  49. ↑ Citat ur boken Gardner M. Matematisk fritid / Per. från engelska. Yu. A. Danilova. Ed. A. Ya Smorodinsky. - M .: Mir , 1972. - S. 292. - 496 sid.
  50. ↑ 1 2 Yegupova M. Är det möjligt att borra ett fyrkantigt hål?  // Vetenskap och liv . - M . : ANO "Redaktionen för tidskriften" Science and Life "", 2010. - Nr 5 . - S. 84-85 . — ISSN 0028-1263 .
  51. ↑ Watts HJ US patent 1 241 175 (Floating Tool-Chuck  ) . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 29 november 2015.
  52. ↑ Watts HJ US-patent 1 241 176 (Drill or Boring Member  ) . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 29 december 2011.
  53. ↑ Smith. Borra fyrkantiga hål, 1993 .
  54. ↑ Darling DJ Reuleaux Triangle // The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra till Zenos paradoxer . - Hoboken : Wiley, 2004. -  S. 272 — 400p. — ISBN 0-4712-7047-4 .  (Engelsk)
  55. ↑ Morrell RJ, Gunn JA, Gore GD US patent 4 074 778 (Square Hole Drill  ) . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 28 december 2011.
  56. ↑ 1 2 Wankelmotor // Yrkeshögskolelexikon / Redaktionsråd: A. Yu. Ishlinsky (chefredaktör) m.fl. - 3:e upplagan, reviderad. och ytterligare - M .: Soviet Encyclopedia , 1989. - S. 72. - 656 sid. — ISBN 5-8527-0003-7 .
  57. ↑ Yaglom, Boltjanskij. Konvexa figurer, 1951 , sid. 93-94.
  58. ↑ Kulagin S.V. Clamshell-mekanism // Photokinotechnics / Ch. ed. E. A. Iofis . - M .: Soviet Encyclopedia , 1981. - S. 71. - 447 sid. — 100 000 exemplar.
  59. ↑ Vit HS Leonhard Eulers geometri  //  Leonhard Euler: Liv, arbete och arv / Eds. RE Bradley, C.E. Sandifer. - Amsterdam : Elsevier , 2007. - S. 309 . — ISBN 0-4445-2728-1 .
  60. ↑ Modell: L01 Positiv returmekanism med krökt triangel (Modell Metadata  ) . Kinematiska modeller för design digitalt bibliotek . Cornell University . Hämtad 18 november 2011. Arkiverad från originalet 23 maj 2012.
  61. ↑ Modell: L02 Positive Return Cam (Model Metadata  ) . Kinematiska modeller för design digitalt bibliotek . Cornell University . Hämtad 18 november 2011. Arkiverad från originalet 23 maj 2012.
  62. ↑ Modell: L06 Positive Return Cam (Model Metadata  ) . Kinematiska modeller för design digitalt bibliotek . Cornell University . Hämtad 18 november 2011. Arkiverad från originalet 23 maj 2012.
  63. ↑ 1 2 Modell : L01 Positiv returmekanism med krökt triangel  . Kinematiska modeller för design digitalt bibliotek . Cornell University . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 23 maj 2012.
  64. ↑ Modell : L06 Positive Return Cam  . Kinematiska modeller för design digitalt bibliotek . Cornell University . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 23 maj 2012.
  65. ↑ Gopey I. A. Lange & Söhne Lange 31  // Min klocka. - M . : Titta på litteratur, 2010. - Nr 1 . - S. 39 . — ISSN 1681-5998 . Arkiverad från originalet den 13 februari 2011.
  66. ↑ 12 Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991 , sid. 212.
  67. ↑ 1 2 3 4 Butuzov V. F. et al. Cirkel // Planimetri. Handbok för fördjupning i matematik . — M .: Fizmatlit , 2005. — S. 265. — 488 sid. — ISBN 5-9221-0635-X . Arkiverad 18 september 2012 på Wayback Machine
  68. ↑ Kogan B. Yu. Fantastiska rullar  // Kvant . - M . : Nauka , 1971. - Nr 3 . - S. 21-24 . — ISSN 0130-2221 . Arkiverad från originalet den 28 mars 2012.
  69. ↑ Peterson. Mathematical Treks, 2002 , sid. 143.
  70. ↑ Fina Logo Historia: från Petrofina till Fina . total.com. Arkiverad från originalet den 26 december 2012.
  71. ↑ Bayern . Tillträdesdatum: 7 maj 2019.
  72. ↑ Roland B. Fischer. M-Blems: Explaining the logo (PDF) 29. Mines: The Magazine of Colorado School of Mines. Volym 92 nummer 2 (våren 2002). Hämtad 7 maj 2019. Arkiverad från originalet 10 juli 2010.
  73. ↑ Interimistiskt godkännande för valfri användning av en alternativ design för den amerikanska cykelvägen (M1-9) skylt (IA-15) - Interimistiska godkännanden utfärdade av FHWA - FHWA MUTCD . mutcd.fhwa.dot.gov. Hämtad 7 maj 2019. Arkiverad från originalet 5 mars 2020.
  74. ↑ Alexey Goncharov. Flyg in, det är billigare: Samsung S3650 Corby (inte tillgänglig länk) . Nomobile (28 september 2009). Hämtad 7 maj 2019. Arkiverad från originalet 14 februari 2019. 
  75. ↑ Pavel Urusov. Recension av mobiltelefon Samsung S3650 Corby . GaGadget (18 januari 2010). Hämtad 2 mars 2019. Arkiverad från originalet 14 februari 2019.
  76. ↑ 1 2 Brinkworth P., Scott P. Fancy Gothic of Hauterive  . Matematikens plats . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 5 april 2013.
  77. ↑ 1 2 Scott P. Reuleaux Triangelfönster  . Matematiskt fotogalleri . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 1 maj 2013.
  78. ↑ KölnTriangle: Architecture  (engelska)  (länk ej tillgänglig) . KölnTriangles officiella webbplats . Hämtad 11 oktober 2011. Arkiverad från originalet 22 juni 2013.
  79. ↑ Anderson P. Det trehörna hjulet  // Analog vetenskapsfakta - science fiction  . — New York : Condé Nast Publications, 1963/10. — Vol. LXXII , nr. 2 . - S. 50-69 .
  80. ↑ 12 Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991 , sid. 215-216.
  81. ↑ 1 2 Bezdek M. Om en generalisering av Blaschke-Lebesgue-satsen för skivpolygoner  //  Bidrag till diskret matematik. - 2011. - Vol. 6 , nr. 1 . - S. 77-85 . — ISSN 1715-0868 .  (inte tillgänglig länk)
  82. ↑ 12 Eggleston . Convexity, 1958 , sid. 128.
  83. ↑ Yaglom, Boltjanskij. Konvexa figurer, 1951 , sid. 98-102.
  84. ↑ 1 2 Firey WJ Isoperimetriska förhållanden av Reuleaux polygoner  // Pacific Journal of  Mathematics . - Berkeley : Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1960. - Vol. 10 , nej. 3 . - s. 823-829 . — ISSN 0030-8730 . Arkiverad från originalet den 13 augusti 2016.
  85. ↑ Sallee GT Maximala områden av Reuleaux-polygoner   // Kanadensisk matematisk bulletin. - Ottawa : Canadian Mathematical Society, 1970. - Vol. 13 , nr. 2 . - S. 175-179 . — ISSN 0008-4395 . - doi : 10.4153/CMB-1970-037-1 .  (inte tillgänglig länk)
  86. ↑ Storbritannien 20p Coin  (eng.)  (ej tillgänglig länk) . Officiell webbplats för Royal Mint of Great Britain . Hämtad 6 november 2011. Arkiverad från originalet 12 februari 2012.
  87. ↑ Storbritannien 50p  mynt . Officiell webbplats för Royal Mint of Great Britain . Hämtad 6 november 2011. Arkiverad från originalet 23 maj 2012.
  88. ↑ Hjul med hörn: återuppfinna hjulet . Popular Mechanics webbplats ( 29 maj 2009). Hämtad 6 november 2011. Arkiverad från originalet 18 oktober 2010.
  89. ↑ 1 2 Weisstein E.W. Reuleaux Tetrahedron  . wolfram mathworld . Hämtad 6 november 2011. Arkiverad från originalet 3 september 2011.
  90. ↑ 1 2 3 Kawohl B., Weber C. Meissners mystiska kroppar  //  Mathematical Intelligencer. - New York : Springer , 2011. - Vol. 33 , nr. 3 . - S. 94-101 . — ISSN 0343-6993 . - doi : 10.1007/s00283-011-9239-y . Arkiverad från originalet den 13 juli 2012.
  91. ↑ 12 Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991 , sid. 218.
  92. ↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1934. - S. 127-139. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1).  (Tysk)
  93. ↑ Kawohl B. Konvexa uppsättningar av konstant bredd  //  Oberwolfach-rapporter. - Zürich : European Mathematical Society Publishing House, 2009. - Vol. 6 , nr. 1 . - s. 390-393 . Arkiverad från originalet den 2 juni 2013.
  94. ↑ Anciaux H., Guilfoyle B. Om det tredimensionella Blaschke-Lebesgue-problemet  //  Proceedings of the American Mathematical Society. - Providence : American Mathematical Society , 2011. - Vol. 139 , nr. 5 . - P. 1831-1839 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 . arXiv : 0906.3217
  95. ↑ Campi S., Colesanti A., Gronchi P. Minimumproblem för volymer av konvexa kroppar  //  Partiella differentialekvationer och tillämpningar / Eds. P. Marcellini, G. Talenti, E. Visintin. - New York : Marcel Dekker, 1996. - S. 43-55 . - ISBN 0-8247-9698-5 .
  96. ↑ Anciaux H., Georgiou N. Blaschke-Lebesgue-problemet för  revolutionens kroppar med konstant bredd . arXiv : 0903.4284

Litteratur

På ryska

På engelska

  • Eggleston HG Sets of Constant Width // Konvexitet. - London : Cambridge University Press, 1958. - S. 122-131. — 136 sid. - (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47). - ISBN 0-5210-7734-6 .
  • Gardner M. Curves of Constant Width // The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. — Chicago ; London : University of Chicago Press, 1991. - S. 212-221. — 264 sid. - ISBN 978-0-2262-8256-5 .
  • Gleißner W., Zeitler H. Reuleauxtriangeln och dess masscentrum  // Results in Mathematics. - 2000. - Vol. 37, nr 3-4 . - s. 335-344. — ISSN 1422-6383 . Arkiverad från originalet den 4 december 2007.
  • Moon FC Curves of Constant Breadth // The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century. - Dordrecht : Springer , 2007. - P. 239-241. — 451 sid. - (History of Mechanism and Machine Science, Vol. 2). - ISBN 978-1-4020-5598-0 .
  • Peterson I. Rolling with Reuleaux // Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. - Washington DC : Mathematical Association of America , 2002. - P. 141-144. — 180p. - (Spectrum Series). - ISBN 0-8838-5537-2 .
  • Reuleaux F. Par av element // Maskinernas kinematik. Outlines of a Theory of Machines / Tr. och ed. av Alexander BW Kennedy . - London : Macmillan and Co, 1876. - S. 86-168. — 622 sid.
  • Smith S. Borra fyrkantiga hål  // Matematiklärare. - Reston : National Council of Teachers of Mathematics, 1993. - Vol. 86, nr 7 . - s. 579-583. — ISSN 0025-5769 . Arkiverad från originalet den 4 april 2005.

Länkar