Oändlighet

Oändlighet är en kategori av mänskligt tänkande som används för att karakterisera gränslösa, gränslösa, outtömliga objekt och fenomen för vilka det är omöjligt att ange gränser eller ett kvantitativt mått [1] . Används i motsats till ändlig, räknebar, med en gräns. Systematiskt forskat i matematik , logik och filosofi frågor om oändlighetens perception, status och natur inom psykologi , teologi , fysik .

Historiskt sett är oändlighetens första problem frågor om rummets och tidens ändlighet, antalet saker i världen, mer komplexa problem - möjligheten till oändlig uppdelning av kontinuumet , möjligheten att arbeta med oändliga objekt (den problem med faktisk oändlighet ), naturen och beteendet hos infinitesimala storheter - infinitesimals , förekomsten av olika typer av oändlighet och förhållandet mellan dem [1] . Den mest djupgående studien av oändligheten genomfördes i den matematiska teorin om , där flera system av mätningar av olika typer av oändliga objekt byggdes, men utan ytterligare konstgjorda begränsningar orsakar sådana konstruktioner många paradoxer , sätt för att övervinna dem är de mängdteoretiska konstruktionernas status, deras generaliseringar och alternativ huvudriktningen för moderna filosofers studier av oändligheten .

Grundläggande begrepp

Potentiell och faktisk oändlighet

Oändlighet kan betraktas som gränsen för en viss process, till exempel när Euklids andra postulat hävdar möjligheten att fortsätta vilken rät linje som helst i oändlighet och kontinuerligt, betyder det att processen kan fortsätta kontinuerligt, men att det finns en sådan oberoende objekt som en oändlig rät linje följer inte av det. Sådana processer och uppsättningar av objekt som beskriver dem karakteriseras som potentiell oändlighet (i skolastik används termen " synkategoriematisk oändlighet "), det potentiellt oändliga innebär inte integrerade oändliga objekt och fenomen, i varje fas av den oändliga processen endast ändliga entiteter betraktas, det vill säga det är bara en partiell negation av det finita [1] .

Ett alternativ är begreppet faktisk oändlighet (i skolastik - " kategoriserad oändlighet "), vilket innebär att betrakta ändligt omätliga objekt som ett givet, som verkligen existerande, men samtidigt som enhetligt och integrerat, med vilket det är möjligt att arbeta [ 1] . I denna anda används det faktiska oändliga - som en direkt och fullständig negation av det ändliga - av mystiker för att karakterisera olika gudomliga kategorier, dagens matematiker arbetar med faktiskt oändliga och faktiskt oändliga dimensionella rum . Idéerna om tillåtligheten och innehållet i den faktiska oändligheten inom filosofi, teologi, logik, matematik och naturvetenskap har förändrats avsevärt under hela frågans behandlingsperiod.

Kvalitativ och kvantitativ oändlighet

Kvalitativ oändlighet är en kategori som bestämmer den universella, outtömliga, universella karaktären av kopplingarna mellan objekt och fenomen [2] , eftersom kvalitativt oändliga betraktas vid olika tidpunkter i olika filosofiska skolor såsom kategorier som Absolut , Kosmos , Gud , Sinne och andra.

Kvantitativ oändlighet kännetecknar processer och objekt, vars mätning är omöjlig med ändliga storheter; matematiker arbetar med kvantitativ oändlighet, studerar till exempel egenskaperna hos oändliga serier, oändliga dimensionella rum, uppsättningar av ett oändligt antal element; inom logik och filosofi utforskas möjligheter och begränsningar för sådant arbete med kvantitativ oändlighet.

Kontinuum

Kontinuum ( lat. kontinuum ) är en form av oändlighet, som syftar på idén om kontinuitet, objekts integritet i betydelsen möjligheten av deras oändliga uppdelning i beståndsdelar och den potentiella oändligheten av denna process. Kontinuitet står i motsats till diskretitet , diskontinuitet, närvaron av odelbara (atomära) komponenter. Kontinuumet representerar segment av talaxeln ( kontinuum i mängdlära ), en viss typ av avgränsade och separerbara utrymmen, i en mening som liknar segment av talaxeln ( kontinuum i topologi ), baserat på studiet av det oändligas egenskaper delbarhet av kontinuumet i matematik har begreppet kontinuitet bildats . Frågor om kontinuumets ontologiska natur, kontinuumets status inom naturvetenskapen har återspeglas i många filosofers verk sedan antiken [3] .

Infinitesimal

Infinitesimals är infinitesimals som uppträder i potentiellt oändliga processer som kännetecknas av en successiv minskning av värden, särskilt när kontinuumet delas in i dess beståndsdelar, i minskande numeriska sekvenser, ibland i idén om universums eller medvetandes atomära struktur. Den matematiska beskrivningen av infinitesimaler skapad av Newton och Leibniz i infinitesimalkalkylen blev grunden för matematisk analys [4] .

I matematik

Talteori

En av de viktigaste källorna till tidiga idéer om oändlighet var de naturliga talen och den potentiella oändligheten av den naturliga serien . Ett av de första icke-triviala resultaten om oändlighet i talteorin anses vara det motsatta beviset på oändligheten av primtalsmängden i Euklids " principer " [5] : om vi antar att mängden primtal är ändlig, då är talet lika med summan av ett och produkten av alla tal från denna mängd inte delbart ingen av dem, men samtidigt är det antingen primtal i sig eller så är det delbart med något primtal som inte ingår i originalset; båda motsäger den ursprungliga premissen. Den talteoretiska bedömningen av oändligheten representerar Galileos paradox : varje tal kan associeras med sin kvadrat , det vill säga det finns minst lika många kvadrater som alla tal, men inte alla tal kan rotas, det vill säga kvadrater är bara en del av uppsättningen av alla nummer [6] .

I talteorin krävs inte användning av någon abstraktion av faktisk oändlighet, men många av dess problem är förknippade med formuleringen av villkor för oändlighet, till exempel, från och med 2019, frågor om oändligheten av uppsättningen primtal modulo där ett givet heltal är primitiv rot ( Artins hypotes ), oändligheten av uppsättningen av tvillingprimtal , oändlighet för vilket jämnt tal av uppsättningen av par av angränsande primtal, vars skillnad är lika med den ( Polignacs hypotes ), oändlighet av uppsättning perfekta siffror .

Ändlösa rader

Det första beviset på användningen av en oändlig serie finns i Arkimedes i parabelns kvadratur, där för att bevisa påståendet om förhållandet 4:3 av områdena i segmentet som är inneslutet mellan linjen och parabeln , och triangel , som har samma bas och lika höjd med sig, summerar han den oändliga serien :

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n))}=1+{\frac {1}{4^{1))}+{\frac {1 }{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={4 \över 3}

och kontrollerar sedan resultatet på nytt med motsägelsemetoden [7] .

På 1340 -talet hittar Swainshead först summan av en oändlig serie som inte är en enkel avtagande geometrisk progression :

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3 } + \frac{4}{2^4} +\cdots = 2

Också på 1300-talet arbetar Oresme med oändliga serier , med hjälp av tydliga geometriska bevis, får han summor av ganska icke-triviala numeriska serier, hittar (utan bevis) formeln för summan av en oändlig geometrisk progression och bevisar divergensen av övertonsserie [7] .

På 1500-talet, med hjälp av resultaten från Orem, hittar Tomas summorna av några oändliga progressioner som bildas av komplexa lagar [7] . I Indien, på 1400-talet, erhölls expansioner av trigonometriska funktioner till oändliga potensserier [7] , det mest betydande bidraget gjordes av Madhava från Sangamagrama [8] .

Mengoli i en avhandling publicerad 1650 fastställer ett antal viktiga egenskaper hos serier, introducerar begreppet resten av en serie, och betraktar därigenom implicit serier som integralobjekt, och bevisar också divergensen hos en generaliserad harmonisk serie [9] . Mercator upptäckte 1668 expansionen av den logaritmiska funktionen i en potensserie [10] , och 1667 Gregory - expansionen av trigonometriska funktioner , och slutligen Taylor , som generaliserade resultaten av Mercator, Gregory och även Newton , 1715 visar möjlighet att expandera till en oändlig serie vilken analytisk funktion som helst vid en given punkt, och därigenom etablera möjligheten att representera värdena för en omfattande klass av funktioner med oändliga summor.

Infinitesimal kalkyl

Även om metoden för utmattning , känd sedan antiken, och metoden för odelbara , formulerad av Cavalieri 1635, använder reduktion till infinitesimals i viss utsträckning, gjordes de första försöken att algebraisera operationer med infinitesimals av Wallis , Barrow och Gregory i mitten av 1600-talet, I en explicit form skapades den matematiska abstraktionen av infinitesimals på 1680-talet nästan samtidigt av Newton i hans "metod för flöden" (oändligt små steg ) och Leibniz (som definierade differentialen ) [4] .

Strikta definitioner av infinitesimals med begreppen gräns , konvergens och kontinuitet gavs på 1800-talet av Cauchy och Weierstrass , den mest traditionella i dessa definitioner var den så kallade -formuleringen (det anses till exempel vara Cauchy-gränsen av en funktion vid en punkt om för någon det finns sådan att för någon som uppfyller villkoret , ). Nyare definitioner av infinitesimals använder tekniken för grannskap - öppna delmängder ( Heine ), som är naturligt generaliserade i en allmän topologi (som abstraherar begreppet en öppen mängd ). $\alfa$ $f$ $x_{0}$ $\varepsilon >0$ $\delta > 0$ $x$ $0 < \left| x - x_0 \right| < \delta$ $\vänster| f \left( x \right) - \alpha \right| < \varepsilon$ $\mathbb {R}$

I Robinsons icke-standardiserade analys (1960-talet) introduceras infinitesimals som ett slags generaliserade tal som inte överskrider för någon , klassen av alla sådana tal aktualiseras av "nollmonaden" [11] . $1/n$ $n \in \mathbb N$ $\mu (0)$

Matematisk analys

I matematisk analys , skapad på grundval av infinitesimalkalkyl , introduceras också uttryckligen abstraktionen av oändligt stora kvantiteter : symboler för oändligt avlägsna punkter och läggs till mängden reella tal ( en utökad tallinje byggs ), som används för att bestämma gränsvärden och konvergens. Det är möjligt att arbeta med symboler (här är ett reellt tal): $+\infty$ $-\infty$ ${\overline {\mathbb {R} }}=\{-\infty \}\cup \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ $\alfa$

\pm \infty +\alpha =\pm \infty

(+\infty )+(+\infty )=+\infty

(-\infty )+(-\infty )=-\infty

\pm \infty \cdot 1=\pm \infty

\pm \infty \cdot -1=\mp \infty

\pm \infty \cdot +\infty =\pm \infty

\pm \infty \cdot \alpha =\operatörsnamn {sgn} \alpha \cdot \pm {\infty }\,(\alpha \neq 0)

\pm \infty {\big /}\alpha =\operatörsnamn {sgn} \alpha \cdot \pm \infty \,(\alpha \neq 0)

\alpha {\big /}\pm \infty =0\,(\alpha \neq \pm \infty )

\left(\left\vert {\frac {\alpha }{0}}\right\vert =+\infty \right)\,(\alpha \neq 0)

\left(\left\vert {\frac {\pm \infty }{0))\right\vert =+\infty \right)

dock med vissa begränsningar: vid osäkra situationer

\left(\pm \infty -\pm \infty \right),\ \left({\frac {\infty }{\infty }}\right),\ \left({\frac {0}{ 0}}\right),\ \left(~0^{0}\right),\ \left(1^{\infty}\right),\ \left(\infty ^{0}\right),\ (0\cdot \infty )

reglerna för att avslöja osäkerheter tillämpas (till exempel L'Hopitals regel ) enligt principen att klargöra innehållet i det begränsande uttrycket som ledde till uppkomsten av oändlighet, det vill säga i denna mening, i analysen används symboler som en generaliserad förkortning för att registrera begränsande uttryck, men inte som ett fullfjädrat objekt (i vissa didaktiska material används en punkt i oändligheten , inte kopplad av en ordningsrelation med reella tal [12] ). $\pm \infty$ $\pm \infty$

I Robinsons icke-standardiserade analys aktualiseras oändligt stora och oändligt små kvantiteter med inblandning av modellteoretiska medel, och på grund av detta överträffar uttryckssätt och bevismetoder i icke-standardiserad analys i många fall de klassiska, och ett antal av nya resultat erhålls som kunde erhållas i klassisk analys, men som inte upptäcktes på grund av otydlighet [13] .

Projektiv geometri

Viktigt för att uppdatera begreppet oändlighet i matematik var skapandet av projektiv geometri av Poncelet 1822 , vars en av nyckelidéerna är att vika det oändligt avlägset till "ideala punkter" och "ideala linjer" när man projicerar. Så, för att förvandla ett oändligt plan i det euklidiska rymden till ett projektivt plan , är det nödvändigt att lägga till en idealpunkt för varje klass av parallella linjer , och alla dessa idealpunkter (och bara dem) kollapsar till en ideal linje . Den verkliga projektiva linjen i dessa konstruktioner är förlängningen av tallinjen med en idealpunkt ( ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb{R} P^{2}$ $\RP^1 = \R \cup \{ \infty \}$

Precis som i analys kan man arbeta med den resulterande oändligheten i projektiv geometri (i projektiv geometri, till skillnad från i analys, har oändlighet inget tecken, ): $\alpha \in \mathbb{R}$

\infty \pm \alpha = \infty

\infty \cdot \alpha = \infty, \, \alpha \ne 0

\infty \cdot \infty = \infty

\alpha \big / \infty = 0

\infty \big / \alpha = \infty

\alpha \big / 0 = \infty, \, \alpha \ne 0

men uttrycken är inte definierade. $\infty + \infty, \, \infty - \infty, \, \infty \cdot 0, \, \infty / \infty, \, 0/0$

Riemann skapade en geometrisk tolkning av komplexa tal och använde 1851 medel för projektiv geometri och byggde ett projektivt utrymme för det komplexa planet - en komplex generalisering av den numeriska projektiva linjen, känd som Riemann-sfären : sfärens poler är punkter och , och den stereografiska projektionen (med en utstansad punkt ) översätter den till det komplexa planet . Till skillnad från verklig analys, där förtecknad oändlighet används, i komplex analys är det den projektiva formen av oändlighet ( ) som används. $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} P^{1}$ $0$ $\infty$ $\infty$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

Mängdteori

Huvudbidraget till begreppet oändlighet i matematik gjordes av mängdteori : idén om faktisk oändlighet och olika typer av oändlighet upptar en väsentlig del av denna teori.

För att mäta olika typer av oändlighet i mängdteorin introduceras begreppet potens (kardinaltal), som sammanfaller med antalet element för ändliga mängder och för oändliga mängder, med hjälp av bijektionsprincipen : om det är möjligt att fastställa en en- mot-en överensstämmelse mellan uppsättningar, då är de likvärdiga. Så det visar sig att mängden naturliga tal är ekvivalent med mängden heltal ( ), jämna naturliga tal, alla rationella tal ( ), och segmentet av tallinjen ( , kontinuum ) visar sig vara i bijektiv överensstämmelse med hela tallinjen ( ), samt med -dimensionellt euklidiskt rum ( ). Kardinaliteten för mängden naturliga tal och ekvivalenta ( räknebara mängder ) [ ⇨ betecknas , och kontinuumets kardinalitet är . Vidare är det fastställt att mellan mängden av alla delmängder av naturliga tal ( ) och kontinuumet finns det en en-till-en-överensstämmelse, alltså , och att en räknebar mängd är den minst kraftfulla av alla oändliga mängder. Enligt kontinuumhypotesen , mellan och det finns inga mellankrafter ( ), dessutom, som Cohen visade 1962 , är varken det eller dess negation obevisbara i mängdteorins grundläggande axiomatik . Den generaliserade kontinuumhypotesen antar att alla kardinaltal lyder förhållandet , med andra ord, alla möjliga oändliga kardinaltal representerar exakt kraften i att successivt ta Boolean av mängden naturliga tal: [14] . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb I = [0,1]$ $\mathbb {R}$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\aleph_0$ $\mathfrak c$ $2^{\mathbb{N} }$ $\mathfrak c = 2^{\aleph_0}$ $\aleph_0$ $\mathfrak c$ $\mathfrak c = \aleph_1$ $2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$ $\#\mathbb{N} ,\#{\mathcal P}(\mathbb{N} ),\#{\mathcal P}({\mathcal P}(\mathbb{N} )),\dots$

En annan typ av oändlighet som introduceras av mängdteorin är ordningstal (ordningstal), tillsammans med den tillhörande principen om transfinit induktion, de orsakade den största diskussionen bland matematiker, logiker och filosofer. Om kardinaltal karakteriserar en ekvivalensklass med avseende på en en-till-en-korrespondens, så uppstår ett ordningstal som en egenskap för en ekvivalensklass över välordnade mängder , med avseende på bijektiva överensstämmelser som bevarar hela ordningsrelationen. För finita mängder sammanfaller ordningsföljd och kardinal, men för oändliga mängder är detta inte alltid fallet, alla mängder med samma ordningstal är ekvivalenta, men det omvända är inte sant i det allmänna fallet. Ordinaler är konstruerade på ett sådant sätt att de konsekvent fortsätter den naturliga serien bortom oändligheten [15] :

0 = \varnothing

1 = \varnothing \cup \{0\} = \{\varnothing \}

, …

n+1 = n \cup \{n\}

varefter, efter att ha betraktat mängden av alla ändliga ordningstal som , introduceras aritmetiken för ordningstal baserat på operationerna för addition av ordnade mängder (genom att införa en ordning över en separat union sekventiellt över elementen i den första summan av mängden , sedan den andra) och produkten (över den kartesiska produkten av välordnade uppsättningar med den lexikografiska ordningen ), och processen fortsätter: $\omega$

\omega + 1 = \omega \cup \{ \omega \}

\omega + 2 = (\omega + 1) \cup \{ \omega + 1 \}

, …

\omega \cdot 2 = \omega + \omega

\omega \cdot 2 + 1

, …

Nästa byggs , sedan - , sedan - siffror : $\omega ^2 = \omega \cdot \omega$ $\omega ^3, \dots, \omega ^\omega, \dots, \omega^{\omega^\omega}, \cdots,$ $\varepsilon_{0}$

\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot)))) = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega ^{\omega)), \omega^{\omega^{\omega^\omega)), \dots \}

Det är bevisat att mängden av alla räknebara ordinaler (alla och ) har en kardinalitet som följer kardinaliteten för den räknebara mängden , då konstrueras högre ordningsordningar. Transfinit induktion är en generalisering av principen om matematisk induktion som gör att man kan bevisa påståenden om vilken välordnad mängd som helst med hjälp av idén om ordningstal. Burali-Forti-paradoxen visar att mängden av alla ordningstal är inkonsekvent, men i många axiomatiseringar av mängdteorin är konstruktionen av en sådan mängd förbjuden. $\omega$ $\varepsilon$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Oändliga dimensionella utrymmen

Fraktal geometri

I fysik

Inom fysiken är begreppet oändlighet förknippat med skalan av fenomenen som övervägs och den tillgängliga mätnoggrannheten. I det allmänna fallet förstås oändlighet som ett sådant värde av den aktuella kvantiteten, som på den valda skalan av fenomen kan anses vara så stor att eventuella effekter inom ramen för det aktuella systemet inte kommer att leda till dess betydande förändringar. . Men värdet av en storhet som är oändlig på en skala kan vara ändlig och till och med oändlig på en annan. Ett exempel är jordens massa . När man överväger omloppsbanorna för artificiella satelliter kan den anses vara oändligt stor. Med tanke på jordens omloppsrörelse runt solen kommer massan på vår planet att vara oändligt liten.

Med en ökning av den tillgängliga mätnoggrannheten kan oändliga storheter bli ändliga. Till exempel är relativistiska effekter , även vid kosmiska hastigheter , för små i noggrannhetssystemet som tillhandahålls av mekaniska eller elektroniska klockor. Men när man använder atomklockor , till exempel i satellitnavigeringssystem , måste dessa effekter beaktas. Jordens radie, som anses vara oändlig under konstruktion av relativt små föremål, och ytan är platt, måste ändå beaktas när man bygger radiorelästationer som arbetar med en mycket smal stråle (enheter, bråkdelar av en grad) .

I programmering

Machine infinity är en konstruktion för att representera oändliga numeriska värden i programmeringsspråk och system och operationer med dem. Standard flyttalsaritmetik ( IEEE 754-2008 ) innehåller speciella värden för +∞ och −∞: exponent är alla ettor (11…11), mantissan är alla nollor (00…00). Positiv oändlighet är större än något ändligt tal, negativ oändlighet är mindre än något annat. Oändlighetsoperationer definieras specifikt: (+∞) + x = +∞, +∞ + (+∞) = +∞, +∞ − ∞ = NaN , log (+∞) = +∞, sin (+∞) = NaN och så vidare.

Ett antal programmeringsspråk tillåter att arbeta med potentiellt oändliga datastrukturer ; till exempel, i Haskell kan du deklarera en oändlig lista och manipulera den:

nat = [ 0 .. ] -- lista över alla naturliga tal jämna = map ( * 2 ) nat -- lista över alla jämna naturliga tal fstevens = ta 10 jämna -- första tio jämna talen

, medan körtiden endast kommer att utvärdera de element i den oändliga strukturen för vilka omedelbar utdata begärs (med hjälp av den lata utvärderingsstrategin och applicering av rekursion ).

En speciell manifestation av oändlighet i programmering i betydelsen av exekveringsprocessens potentiella evighet är en oändlig loop : tekniken för deras tillämpning används både medvetet (för möjligheten att avbryta programmet endast av yttre påverkan), och det sker som ett fel (frånvaro eller omöjlighet av villkoret för att lämna loopen: "programmet fastnade") .

I logik

Aporia of Zeno

Zenos aporier - en serie aporier , tillskrivna Zeno av Elea (andra hälften av 400-talet f.Kr.) och överlevde huvudsakligen i presentationen av Aristoteles , vilket var ett av de första exemplen på logiska svårigheter att arbeta med oändliga objekt (även om framför allt , med problem med diskreta och kontinuerliga ). Aporior är formulerade på ett sådant sätt att många av dem är föremål för diskussioner och tolkningar genom hela logikens existens, inklusive moderniteten [16] och anses vara den första formuleringen av problemet med att använda oändligheten i ett vetenskapligt sammanhang [17] . Aporian " Akilles och sköldpaddan " visar på svårigheten att summera oändligt små värden, och denna antinomi är inte så enkel som den ibland tolkas: som Hilbert och Bernays noterar i Mathematics Foundations, för att lösa paradoxen är det nödvändigt att aktualisera en oändlig sekvens av händelser på ett sådant sätt att man accepterar att det fortfarande är fullbordat [18] . " Dikotomi ", även om det kan lösas med begreppet gränsen för en konvergent sekvens , men för det erbjuder Weil en modern tolkning: om en dator är utformad på ett sådant sätt att den utför den första operationen på 0,5 minuter, den andra på 0,25 min, den tredje på 0,125 min och så vidare, sedan kunde hon på en minut räkna om hela den naturliga serien [19] . $1/2 + 1/4 + 1/8 + \prickar$

Paradoxer i mängdteorin

Inom filosofi

Forntida indisk filosofi

I " Isha Upanishad ", daterad till 4:e-3:e århundradena f.Kr., finns tanken att lägga till eller ta bort en del från ett oändligt föremål lämnar det oändligt [20] . I Jain - avhandlingen Surya Prajnapti Sutra ( engelska Sūryaprajñapti ), daterad till 400-talet f.Kr. e. , alla kvantiteter är indelade i tre kategorier och tre underkategorier - uppräknade (liten, medelstor och stor), icke-uppräknbar ("nästan icke-uppräknbar", "verkligen icke-uppräknbar" och "icke-uppräknbar icke-uppräknbar") och oändlig ("nästan oändlig", "verkligen oändlig" och "oändligt oändlig") [21] , denna uppdelning var tydligen det första försöket att inte bara skilja mellan typerna av det oändliga, utan också att mäta förhållandet mellan dem och idén att separera underkategorier av oändliga kvantiteter och beställa dem ligger nära begreppet Cantors transfinita tal .

Forntida grekisk filosofi

Hos forntida grekiska filosofer framstår det oändliga vanligtvis som något oformaterat, ofullkomligt, nära kaos eller till och med identifierat med det [22] , så i den pythagoriska listan över motsatser tilldelas oändligheten det ondas sida. Bland de antika grekiska filosoferna som positivt använder kategorin det oändliga utmärker sig Anaximander , som introducerar den kosmologiska principen som en oändlig behållare - apeiron ( grekiska ἄπειρον ), och atomisterna ( Demokritos , Leucippus ), enligt vilket tal det finns ett oändligt tal. av världar bildade av ett oändligt antal atomer som finns i ett oändligt tomt utrymme [23] . Samtidigt motsatte sig det atomistiska konceptet det kontinuerliga tillvägagångssättet, där rum och tid ansågs vara oändligt delbara, medan atomisterna postulerade primära odelbara element, och Zenos aporier var avsedda att visa den logiska inkonsekvensen i båda synsätten [24] .

Men den dominerande åsikten i den antika grekiska filosofin var förnekandet av den faktiska oändligheten, den mest karakteristiska återspeglingen av dessa åsikter presenteras av Aristoteles i " Fysik ", där han förnekar oändligheten till kosmos, oändligheten av orsakssekvensen, på tal om möjlighet till en oändlig ökning av den naturliga serien och oändligheten av att dela upp ett segment i små komponenter endast som om potentiell oändlighet . Aristoteles tillhör också klassificeringen av oändlighet i omfattande - som härrör från det obegränsade tillägget av objekt till helheten, och intensivt - uppträder från en obegränsad fördjupning i objektets struktur [25] Antika geometrar, i synnerhet Euklid , står också på positionerna att förneka den faktiska oändligheten och endast arbeta med potentiell oändlighet i " principerna " hävdar det andra postulatet möjligheten av en godtyckligt lång förlängning av en rät linje, men de räta linjerna och planen i sig betraktas som ändliga, om än nästan oändligt "stora " [1] .

I neoplatonisternas verk , i första hand Plotinus , i samband med penetrationen av den österländska mystikens idéer och till stor del under inflytande av verken av Philo av Alexandria , som gav den hellenistiska tolkningen av den kristna guden , bildas idén om Sinnes verkliga oändlighet som oändligt kraftfull och förenad, och den potentiella oändligheten av gränslös materia [26] .

Europeisk medeltida filosofi

I den tidiga kristna och tidigmedeltida filosofin ( Origenes , Augustinus , Albert den store , Thomas av Aquino ) ärvde Aristoteles från Aristoteles förnekandet av den faktiska oändligheten i världen, samtidigt som han i en eller annan form för den kristna Guden erkände den faktiska oändligheten [1 ] .

I verk av skolatikerna på 1200-1300-talen ( William av Sherwood , Haytsbury , Gregory av Rimini ) är skillnaden mellan begreppen potentiell och faktisk oändlighet tydligt indikerad (i tidiga skrifter kallas potentiell och faktisk oändlighet syncategorematic och faktisk oändlighet. respektive kategorimatiska oändligheter), men förhållandet till det faktiskt oändliga som gudomligt [1] , eller ett fullständigt förnekande av faktisk oändlighet postuleras ( lat. infinitum actu non datur ). Ockham uppmärksammar dock redan möjligheten att erkänna existensen av kontinuumet och dess delar som faktiskt existerande samtidigt som man bevarar egenskaperna hos det oändliga bakom dem - möjligheten till oändlig uppdelning i beståndsdelar [27] , och Swainshead , till stöd för hans resonemang om kontinuumets oändliga delbarhet, bevisar matematiskt påståendet om summan av en oändlig numerisk rad [28] . Orem , som utvecklar Swinsheads konstruktioner, bygger ett system av geometriska bevis på konvergensen av oändliga serier, bygger ett exempel på en platt figur, oändlig i utsträckning, men med en ändlig area [7] .

På 1400-talet skapar Nicholas av Cusa läran om det "absoluta maximumet", som han betraktar som det oändliga måttet av alla ändliga ting, och ger därigenom en idé som inte alls sammanfaller med det antika: allt ändligt betraktas som en begränsning av den faktiskt existerande gudomliga oändligheten ( latin possest ), i motsats till den rådande idén om existensen av ändliga ting och potentialen hos det oändliga [29] .

Moderna tiders filosofi

Idéerna av Nicholas av Cusa utvecklas av Spinoza , enligt vilka saker tar emot sin varelse inom den oändliga gudomliga substansen genom självbestämmande genom negation [30] . Från dessa idéer kommer erkännandet under 1500- och 1600-talen av idén om universums oändlighet , som etablerades tack vare Copernicus heliocentriska system , Brunos upplysningsverk , studierna av Kepler och Galileo [31] [1] . Kepler och Galileo börjar använda det oändligas metoder i matematisk praktik, så Kepler, som förlitar sig på Nikolaus av Cusas idéer, approximerar cirkeln med en regelbunden polygon med antalet sidor som tenderar mot oändligheten [32] , och Galileo betalar uppmärksamhet på överensstämmelsen mellan siffror och deras kvadrater , noterar omöjligheten att tillämpa avhandlingen "helheten är större än delen" på oändliga objekt [6] .

En betydande roll i begreppet kontinuumets natur och kontinuumets väsen introducerades av en elev till Galileo Cavalieri , som i avhandlingen "Geometri, uttalade på ett nytt sätt med hjälp av det odelbara kontinuerliga" ( 1635 ) betraktade platta figurer som oändliga uppsättningar av segment som fyller dem, och volymetriska kroppar som består av ett oändligt antal parallella platta figurer, med hjälp av sådana metaforer: en linje är gjord av prickar, som ett halsband av pärlor, en platt figur är gjord av linjer, precis som ett tyg är gjort av trådar, är en kropp gjord av plan, som en bok med sidor; genom att använda denna " metod av odelbara " fick Cavalieri betydande matematiska resultat [33] .

Descartes hävdar att det är omöjligt att känna Gud från existensen av den värld som han skapade genom det ändliga och det faktiskt oändligas inkommensurabilitet, vars obegriplighet, enligt hans åsikt, finns i den mycket formella definitionen av oändlighet [34] . Följaktligen erkänner Descartes endast den allsmäktige Guden som verkligen oändlig, och betraktar sådana manifestationer av oändligheten som "den mänskliga viljans oändlighet" som manifestationer av den gudomliga bilden i människan [1] .

Den mest konsekventa anhängaren av existensen av verklig oändlighet var Leibniz , i " Monadologi " håller han konsekvent idén om oändligheten av monader i universum, i var och en av dess delar, uttryckt i form av materia, vilket orsakar stabiliteten av dessa delar av lagen om förutbestämd harmoni och speciella principer för underordning av monader, samtidigt som de betraktar monader, i sin tur, som ett universum oändligt i rum och tid [1] . Dessa idéer av Leibniz återspeglades i hans grundläggande arbeten om infinitesimal kalkyl, som representerar infinitesimals som monader . Differentialkalkylen skapad av Newton och Leibniz , som tydligt aktualiserade infinitesimals, orsakade en bred och lång diskussion bland filosofer på 1600- och 1700-talen, Berkeley var den mest konsekventa motståndaren till metoder som använde oändligt små kvantiteter, dessa diskussioner återspeglades i kulturen i handlingarna av Gullivers resor av Swift och " Micromegas " av Voltaire [35] .

Kant , i Kritiken av det rena förnuftet , förnekar möjligheten att betrakta både oändliga tal och oändliga magnituder; Baserat på analysen av det rena förnuftets antinomier karakteriserar Kant världen varken som ändlig eller oändlig, utan som "obestämd" [1] .

Hegel utvecklar idén om det närmaste sambandet, nästan identitet, oändlig och absolut [36] , betraktar särskilt "dålig oändlighet" som en negation av det ändliga, och introducerar "sann oändlighet" som ett dialektiskt övervinnande av antagonism; Enligt Hegel är endast den Absolute Anden verkligen oändlig [1] . Filosofin om den dialektiska materialismen betonar idén om det oändliga som en dialektisk process [37] [38] , själva begreppet det oändliga i den har olika betydelser: den enklaste, praktiska oändligheten; oändlighet, som absoluthet, universalitet, fullständighet; den intellektuella världens oändlighet; verklig oändlighet. Rummets och tidens oändlighet betraktas av Engels som ett exempel på "ond oändlighet".

1800-talets mest betydelsefulla verk om oändlighet, mer filosofiskt [39] än matematiskt, var Bolzanos monografi Paradoxes of the Infinite (publicerad 1851, efter författarens död) [1] , där oändliga uppsättningar av siffror studeras systematiskt, logiska och matematiska argument ges till förmån för att betrakta den faktiska oändligheten och en verktygslåda föreslås för att studera oändlighetens släkter med hjälp av konceptet en-till-en-korrespondens [39] .

På den ideologiska grunden för Bolzanos arbete, och skapat i slutet av 1800-talet i Cantors verk med ett betydande deltagande av Dedekind , användes mängdteori (termen "uppsättning" i sig är tysk menge , användes först av Bolzano som en beteckning för ett faktiskt oändligt objekt), nämligen i mängdteorin för första gången, var förhållandet mellan olika typer av det oändliga motiverat övervägt, i synnerhet med hjälp av begreppet makt , förhållandet mellan antalet element i den naturliga serien (en räknebar mängd, i Cantors notation) och antalet punkter i kontinuumet ( ) fastställdes, formulerades principen för transfinit induktion . Samtidigt försökte Kantor också ge en filosofisk motivering för sina konstruktioner, och introducerade, förutom transfinita tal, som är begripliga av medvetandet, det obegripliga "oändliga i Gud" [40] . En speciell roll för att förstå det oändliga inom ramen för arbetet med skapandet av mängdlära spelades av definitionen av en oändlig mängd i Dedekinds bok "Vad är tal och vad tjänar de?" [41] som en-till-en med en del av sig själv, medan alla tidigare definitioner av det oändliga var negativa [42] . I slutet av 1800-talet (först och främst tack vare en organiserad serie rapporter vid den första internationella matematikkongressen 1897) var mängdteorin allmänt erkänd och tillämpad i praktiken bland matematiker, men bland teologer och filosofer hade idéer om faktisk oändlighet och kvantitativa skillnader mellan dess typer utvecklade seriös diskussion [42] . $\aleph_0$ $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$

Samtida filosofi

I 1900-talets filosofi är det huvudsakliga innehållet i forskningen om frågor relaterade till oändligheten nära anpassat till matematikens grunder , och framför allt, problemen med mängdteorin [43] .

Russell , i systemet som han byggde ihop med Whitehead i Principia Mathematica för att övervinna paradoxerna inom mängdläran , postulerade existensen av oändlighet genom att introducera oändlighetens axiom , dessutom är det inte tillåtet i det i möjligheten att härleda oändlighet från andra a priori- begrepp, anses inte oändlighetsbegreppet rent analytiskt härledas från principen om icke-medgivande av motsägelser. Russell ansåg inte heller att det var möjligt att hitta en a posteriori motivering för oändligheten, baserad på sunt förnuft och erfarenhet, särskilt med tanke på att det inte finns några skäl att tro på rummets oändlighet, tidens oändlighet eller objektens oändliga delbarhet. Oändlighet är alltså enligt Russell ett hypotetiskt imperativ som kan användas eller inte i olika system, men som inte kan beläggas eller vederläggas [44] .

Genom att implementera ett program för att övervinna mängdteorins paradoxer, bildade Hilbert och Bernays principer identifierade som "Hilberts finitism", enligt vilka uttalanden om egenskaper formulerade för alla element i en oändlig mängd är möjliga endast om de är reproducerbara för varje specifikt element, medan inte begränsar den möjliga abstraktionen av det oändliga, inklusive transfinit induktion . Wittgenstein , som mest radikalt utvecklade begreppet finitism inom analytisk filosofi , ansåg att det var möjligt att betrakta det oändliga endast som ett register över en rekursiv process och avvisade i grunden möjligheten att betrakta olika klasser av oändlighet [45] .

I de skolor som utgick från nykantianismen och fenomenologin studerades också frågor om det oändliga, till exempel introducerar Cassirer , i en diskussion med Heidegger (“Davos Discussion”, 1929), en immanent oändlighet som uppstår som en objektivering av sfären av upplevelser [46] , på 1950-1960-talen skrevs de programmatiska verk som ägnades åt det oändliga av Koyre och Levinas [47] .

Induktion

Induktion är en klassisk logisk metod som låter dig gå från särskilda uttalanden till universella uttalanden, inklusive de som rör en oändlig uppsättning objekt. Induktion med avseende på den naturliga serien utan någon formalisering noteras även i Proclus och Euclid , medan medvetenheten om det som en metod för matematisk induktion tillskrivs Pascal och Gersonides [48] . I modern notation är matematisk induktion syllogismen:

P(1),\forall n\in \mathbb {N} (P(n)\rightarrow P(n+1))\vdash \forall n\in \mathbb {N} (P(n))

det vill säga härledningen av en egenskap för hela uppsättningen av naturliga tal från det faktum att dess uppfyllelse för enhet och härledningen för varje efterföljande tal baserat på uppfyllelsen av egenskapen för det föregående. $P$

Metoden för matematisk induktion anses vara tillförlitlig, men den kan bara utvidgas till räknebara välordnade uppsättningar. Ett försök att utvidga induktion till godtyckliga välordnade mängder var skapandet av Cantors metod för transfinit induktion inom ramen för mängdteorin , med hjälp av idén om transfinita (ordinala) tal.

I intuitionistisk logik används bar induktion [49] för att tillämpa induktivt resonemang på oräkneliga samlingar (beskrivs i intuitionismen som flöden ) .

Symboler

Oändlighetssymbolen dök först upp i avhandlingen "Om koniska sektioner" ( Latin De sectionibus conicis , sidan 5) [50] [51] [52] publicerad 1655 av den engelske matematikern John Wallis . Det antas att symbolen har ett äldre ursprung, och förknippas med ouroboros - en orm som biter sin egen svans [53] ; liknande symboler har hittats bland tibetanska bergstick. I Unicode representeras oändligheten av symbolen ∞ (U+221E). $\infty$

Oändlighetssymbolerna som används för kardinaltal är baserade på den första bokstaven i det hebreiska alfabetet , alef , med en nedsänkt bokstav. Se Hierarchy of Alephs . Alefsystemet introducerades av Cantor 1893 , i tron att alla grekiska och latinska tecken redan är upptagna, och den hebreiska alef är också en symbol för siffran 1; medan det hebreiska alfabetet var tillgängligt i uppsättningar i många tryckerier i Tyskland vid den tiden [54] . I Unicode skrivs alfen som א (U+05D0). $\aleph_0, \aleph_1, \prickar$

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 NFE, 2010 .
↑ Infinity in philosophy / I. S. Alekseev // Bari - Armband. - M . : Soviet Encyclopedia, 1970. - ( Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / chefredaktör A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 3).
↑ Katasonov V. N. Kontinuitet och diskontinuitet // New Philosophical Encyclopedia. — 2:a uppl., rättad. och ytterligare .. - M . : Tanke, 2010. - T. 2. - 2816 sid. - 5000 exemplar. - ISBN 978-5-244-01115-9 .
↑ 1 2 Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , sid. 10-13.
↑ Bok IX, uttalande 20
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , sid. 39.
↑ 1 2 3 4 5 Paplauskas A. B. Förnewtonsk utvecklingsperiod för oändliga serier. I // Yushkevich A.P. (ansvarig redaktör) Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1973. - T. XVIII . - S. 104-131 . (ryska)
↑ Dani SG Forntida indisk matematik - A Conspectus // Resonance. - 2012. - T. 17 , nr 3 . - S. 236-246 .
↑ Paplauskas A. B. Pre-Newtons period av utveckling av oändliga serier. II. Pietro Mengoli // Yushkevich A.P. (chefredaktör) Historisk och matematisk forskning. - M . : Nauka, 1974. - T. XIX . - S. 143-157 . (ryska)
↑ Paplauskas A. B. Pre-Newtons period av utveckling av oändliga serier. III // Yushkevich A.P. (ansvarig redaktör) Historisk och matematisk forskning. - M . : Nauka, 1975. - T. XX . - S. 257-281 . (ryska)
↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , sid. 26.
↑ Kudryavtsev L. D. En kort kurs i matematisk analys. - 3:e uppl. reviderad .. - M . : Fizmatlit, 2005. - T. 1. - S. 19. - 400 sid. — ISBN 5-9221-0184-6 .
↑ Infinity - artikel från Encyclopedia of Mathematics . Dragalin A. G. Med hjälp av N. a. en rad nya fakta upptäcktes. Många klassiska. bevis gynnas märkbart i tydlighet när de presenteras med metoder för icke-standardiserad analys
↑ Ibland för oändliga kardinaltal som representerar kraften i att successivt ta booleaner från en räkningsbar mängd, används betnotation (från andra bokstaven i det hebreiska alfabetet - bet ), i dessa notationer formuleras den generaliserade kontinuumhypotesen som $\aleph_\alpha = \beth_\alpha$
↑ Von Neumann föreslog ett sådant definitionsschema på 1920-talet, Kantor använde initialt en annan metod
↑ Yanovskaya S.A. Har modern vetenskap övervunnit de svårigheter som kallas "Zenos aporias"? // Problems of logic / Tavanets P.V. - M. , 1963. - S. 116-136 .
↑ Gaidenko P. P. Evolution av begreppet vetenskap (bildning och utveckling av de första vetenskapliga programmen). Den eleatiska skolan och det första uttalandet om oändlighetens problem . — M .: Nauka, 1980.
↑ Hilbert D. , Bernays P. Foundations of Mathematics. - M. : Nauka, 1979. - T. 1. Logisk kalkyl och formalisering av aritmetik. - S. 40. - 558 sid.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , sid. 236-238.
↑ Serb. पू पू पू पू पू पू पू पू पू पू पू पू - “Fyll i det, slutför det. Från det fulla tas det fulla. Det kompletta kompletta anländer, det kompletta återstår bara, ”Syrkins översättning
↑ Joseph, GG Påfågelns vapen. Matematiks icke-europeiska rötter . — 3:a. - Princeton : Princeton University Press , 2011. - P. 349-355 . — 562 sid. - ISBN 978-0-691-13526-7 .
↑ NFE, 2010 , Forntida tanke anser i grunden det oändliga som oförformat, som att det inte har blivit och därför ofullkomligt <...> Att vara i forntida tanke är förknippat med kategorin mått och gräns. Det Oändliga framstår som gränslöst, gränslöst, nästan obefintligt - μὴὄν och är därför något nära kaos, och ibland identifieras med det.
↑ NFE, 2010 , ... i antikens filosofi fanns det tänkare som använder kategorin det oändliga mer positivt. Först och främst inkluderar de Anaximander, i vilken apeiron är kosmologins huvudprincip <...> dessutom är det här nödvändigt att namnge atomisterna Leucippus och Demokritos, i vilka det oändliga tomma rummet innehåller ett oändligt antal atomer bildar ett oändligt antal världar.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , sid. 236.
↑ Vilenkin, 1983 , sid. 14-15.
↑ NFE, 2010 , Mind Plotinus kallar det redan oändligt i följande betydelser: i betydelsen av dess oändliga kraft, dess enhet och dess självtillräcklighet. Allt som existerar är alltså mellan två oändligheter: Sinnets faktiska oändlighet och den potentiella oändligheten av meonal materia, utan gränser och form och får sina definitioner endast genom "reflektioner" av det högre väsendets perfektioner.
↑ lat. Sed omne continuum est actualiter existens. Igitur quaelibet pars sua est vere existens in rerum natura. Sed partes continui sunt infinitae quia non tot quin plures, igitur partes infinitae sunt actualiter existentes - "Men varje kontinuum existerar faktiskt. Därför finns dess delar också i naturen. Men kontinuumets delar är oändliga, eftersom det är omöjligt att säga hur många det finns, och därför finns de oändliga delarna faktiskt.
↑ Bogolyubov A. N. Matematik. Mekanik. Biografisk guide. - Kiev: Naukova Dumka, 1983. - 639 s.
↑ NFE, 2010 , ... för Kuzants, tvärtom, fungerar vilken ändlig sak som helst som en potentiell begränsning av den faktiskt oändliga gudomliga möjligheten - att vara (besitta).
↑ NFE, 2010 , ... På liknande sätt, inom ramen för Spinozas panteism, visar det sig att omnis determinatio est negatio (varje definition är en negation): saker får inte sin existens genom gränsen, inte genom begränsningen av formlös materia , men just från den underliggande oändliga gudomliga substansen, inom vilken självbestämmande fungerar som en partiell negation.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , sid. 43-44.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , sid. 43-45.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , sid. 249.
↑ Gartsev M. A. Problemet med absolut frihet i Descartes // Logos . - 1996. - Nr 8 . Arkiverad från originalet den 24 november 2015.
↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , sid. 13-14.
↑ "Det oändliga i sitt enkla koncept kan först och främst betraktas som en ny definition av det absoluta ..." Hegel G. W. F. Logikvetenskap. // Verk, vol. V. - M .: Gosizdat, 1927. - S. 136.
↑ "Apropå det oändligt stora och det oändligt lilla, så introducerar matematiken en sådan kvalitativ skillnad som till och med har karaktären av en oöverstiglig kvalitativ opposition ..." Marx K. , Engels F. Dialectics of nature // Soch., vol. 20 . - M .: Politizdat, 1956 - S. 574.
↑ ”Oändligheten är en motsägelse, och den är full av motsägelser ... Just för att oändligheten är en motsägelse är den en oändlig process som utspelar sig oändligt i tid och rum. Förstörelsen av denna motsägelse skulle vara slutet på oändligheten." Marx K. , Engels F. Anti-Dühring // Soch., vol. 20. - M .: Politizdat, 1956. - S. 51.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , sid. 39-40.
↑ NFE, 2010 , Cantor, skaparen av mängdläran, försökte också ge en teologisk tillämpning av sina konstruktioner med faktisk oändlighet (Kantor ansåg generellt sett att mängdlära var lika mycket relaterad till metafysik som till matematik). Han särskiljde tre typer av det oändliga: det oändliga i Gud ("i Guds sinne") - Absolut, i den skapade världen - Transfinite, i det mänskliga sinnet - transfinita tal (ordningstal).
↑ Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen? . - Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. - 60 sid.
↑ 1 2 F. A. Medvedev . Mängdlärans utveckling på 1800-talet. - M. : Nauka, 1965. - S. 133-137, 144-157. — 232 sid. - 2500 exemplar.
↑ NFE, 2010 , På 1900-talet. filosofiska diskussioner kring oändlighetens problem korrelerar med mängdlära och problemet med matematikens grunder.
↑ Surovtsev V. A. B. Russell om oändligheten // Bulletin of the Tomsk State University. Filosofi. Sociologi. Statsvetenskap. - 2010. - T. 12 , nr 4 . - S. 135-145 .
↑ Rodych, V. Wittgensteins matematikfilosofi . Stanford Encyclopedia of Philosophy . Stanford University Press (21 september 2011). Hämtad 25 maj 2013. Arkiverad från originalet 25 maj 2013.
↑ Weinmeister A. V. Davos diskussion mellan Cassirer och Heidegger // Bulletin of the Orenburg State University. - 2007. - Nr 2 .
↑ Yampolskaya A. V. Idén om det oändliga i Levinas och Koire // Filosofifrågor . - 2009. - Nr nr 8 . - S. 125-134 . (ryska)
↑ Nachum L. Rabinovih. Rabbi Levi ben Gershom och ursprunget till matematisk induktion // Archive for History of Exact Sciences. - 1970. - Utgåva. 6 . - S. 237-248 .
↑ Infinity - artikel från Encyclopedia of Mathematics . Dragalin A.G.
↑ De sectionibus conicis Arkiverad 2 januari 2014 på Wayback Machine
↑ Scott, Joseph Frederick (1981), The matematical work of John Wallis, DD, FRS, (1616-1703) (2 uppl.), AMS Bookstore, sid. 24, ISBN 0-828-40314-7 , < https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C > Arkiverad 25 september 2014 på Wayback Machine , Kapitel 1, sida 24 Arkiverad 18 november 2016 på Wayback Maskin
↑ Martin-Löf, Per & Mints, GE (1990), COLOG-88: International Conference on Computer Logic Tallinn, USSR, December 12–16, 1988: proceedings , Springer, sid. 147, ISBN 3-540-52335-9 , < https://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC > Arkiverad 1 oktober 2014 på Wayback Machine , sida 147 Arkiverad 2 oktober 2014 på Wayback Machine
↑ Robertson, Robin; Kammar, Allan. The Uroboros // Indra's Net: Alchemy and Chao Theory as Models for Transformation. — Quest Books, 2009. — ISBN 978-0-8356-0862-6
↑ Dauben J. Georg Cantor och födelsen av Transfinite Set Theory . Scientific American , rysk upplaga, nr 8 (augusti), sid. 76–86 (1 juli 1983). Hämtad 5 maj 2013. Arkiverad från originalet 10 maj 2013. (ryska)

Litteratur

N. Bourbaki . Grunderna för matematik. Logik. Mängdlära // Uppsatser om matematikens historia / I. G. Bashmakova (översatt från franska). - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1963. - S. 37-53. — 292 sid. — (Matematikens element).
Vilenkin N. Ya. På jakt efter oändligheten. — M .: Nauka, 1983.
Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Infinitesimal analys: utvalda ämnen. — M .: Nauka, 2011. — 398 sid. - ISBN 978-5-02-036137-9 .
Gracien, Enrique. Öppning utan gränser. Oändlighet i matematik. — M. : De Agostini, 2014. — 144 sid. — (Matematikens värld: i 45 band, band 18). — ISBN 978-5-9774-0713-7 .
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Vägar och labyrinter. Essäer om matematikens historia = Routes et dédales / Översatt från franska av A. A. Bryadinskaya, redigerad av I. G. Bashmakova. - M .: Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 sid. — (Modern matematik. Populär serie). — 50 000 exemplar.
Infinity / Katasonov V. N. // "Banquet Campaign" 1904 - Big Irgiz. - M . : Great Russian Encyclopedia, 2005. - S. 413-415. - ( Great Russian Encyclopedia : [i 35 volymer] / chefredaktör Yu. S. Osipov ; 2004-2017, vol. 3). — ISBN 5-85270-331-1 .
Katasonov VN Infinite // New Philosophical Encyclopedia / Institute of Philosophy RAS ; Nationell samhällsvetenskaplig fond; Föreg. vetenskaplig-ed. råd V. S. Stepin , vice ordförande: A. A. Guseynov , G. Yu. Semigin , revisor. hemlighet A.P. Ogurtsov . — 2:a uppl., rättad. och lägg till. - M .: Thought , 2010. - ISBN 978-5-244-01115-9 .
Kline M. Matematik. Förlust av säkerhet. — M .: Mir , 1984. — 446 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Brockhaus och Efron Ortodox Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	NDL : 00576691