Vild knut

En vild knut  är en patologisk inbäddning av en cirkel i rymden.

Vilda knutar kan hittas i vissa keltiska mönster.

Definition

En knut kallas tam om den kan "förtjockas", det vill säga om det finns en förlängning av den solida torusen S  1  ×  D  2 som kan bäddas in i en 3-sfär . I knutteorin och i teorin om 3-manifolds , utelämnas ofta ordet "manuell".

Noder som inte är tama kallas vilda och kan ha patologiskt beteende.

Exempel

De vilda noderna är de som innehåller de så kallade Fox-Artin-bågarna  — några enkla bågar som erhålls genom vild inbäddning i . Till exempel, för en båge är den fundamentala gruppen ( ) icke-trivial, för en båge är gruppen trivial, men den är inte i sig homeomorf till komplementet till en punkt [1] .

Figuren ovan visar en vild nod med en vild (patologisk) punkt. Det är lätt att konstruera en vild knut som innehåller flera patologiska punkter, ett oändligt antal sådana punkter och till och med en oräknelig uppsättning patologiska punkter. I Sosinskys bok [2] ges konstruktionen av en vild knut, vars patologiska punkter bildar Cantor-uppsättningen . Det är också möjligt att föreställa sig en vild knut som innehåller en mer komplex uppsättning - Antoines halsband [2] .

Egenskaper

• En knut är tam om och bara om den kan representeras som en finit polylinje .
• Släta knutar är tama.

Variationer och generaliseringar

• Icke-triviala vilda knutar förekommer också i sfärer av högre dimensioner. Till exempel, genom den dubbla suspensionssatsen , är den dubbla suspensionen över Poincaré-sfären homeomorphic till standardsfären . Den dubbla överbyggnadens ekvator bildar en knut i det vilda, och dess komplement har en icke-trivial fundamental grupp .

Se även

• vild sfär

Anteckningar

1. ↑ Voitsekhovsky M.I. Wild knot // Mathematical Encyclopedia / Kap. ed. I. M. Vinogradov. - M . : Soviet Encyclopedia, 1979. - T. 2. - S. [69] (stb. 137-138).
2. ↑ 1 2 Sosinsky, 2005 , sid. 22.

Litteratur

• LH Kauffman. En invariant av vanlig isotopi  // Transactions of the American Mathematical Society. - American Mathematical Society, 1990. - Vol. 318, nr 2 .
• A. B. Sosinsky. Knutpunkter. Kronologi för en matematisk teori. - Moskva: MTSNMO, 2005. - ISBN 5-94057-220-0 .