Länkning (knutteori)

En multiplicitetslänk $\mu$ är en inbäddning (oftare dess bild ) av en frånkopplad summa av instanser av en cirkel i eller . $\mu$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{3}$

Mångfaldslänken kallas en knut . $\mu=1$

Noderna som utgör en given länk kallas dess komponenter .

Volymisotopiklasser av länkar kallas typer av länkar . Länkar av samma typ kallas likvärdiga .

En länk som består av några av komponenterna i länken kallas dess partiella länk . $L$

En länk sägs dela (eller dela ) om dess två dellänkar är åtskilda av en tvådimensionell sfär. $S^{3}$

Vissa typer av länkar

Länken som ligger i planet kallas " " trivial . $0,\;0,\;\ldots ,\;0$ $\mathbb {R} ^{3}$
En länk kallas Brunnian om var och en av dess dellänkar bryts ned, förutom sig själv.
De mest studerade är bitvis linjära länkar. Övervägande av jämna eller lokalt plana topologiska inbäddningar i leder till att en teori sammanfaller med den bitvis linjära. $\mathbb {R} ^{3}$
Utöver planet kan vilken länk som helst placeras på en standard kapad yta i en sluten yta. Till exempel kan en länk placeras på en oknuten torus eller kringla, då kommer en sådan länk att kallas torisk , eller kringla . $\mathbb {R} ^{3}$
Länken som ligger på gränsen för nodens rörformiga grannskap kallas nodens lindning . Ingreppet, som kan erhållas genom att upprepade gånger ta lindningarna, utgående från en trivial knut, kallas rörformig eller komplex kabel . $k$

Definiera länkar

Vanligtvis definieras länkar med hjälp av så kallade knut- och länkdiagram . Denna metod är nära besläktad med begreppet flätor . Om vi i en fläta av trådar ansluter i toppen och botten av par av intilliggande ändar med segment, får vi en länk som kallas plexus. $2n$ $n$ $2n$

Ett annat sätt att konstruera länkar från flätor är att stänga flätorna. Om vi mellan två parallella plan och in tar segment vinkelräta mot dem och kopplar ihop deras ändar i par med bågar in och bågar in utan skärningspunkter, så kommer summan av alla bågar och segment att ge en länk. En länk som tillåter en sådan representation kallas en brygglänk . $\Pi_{1}$ $\Pi _{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $2m$ $m$ $\Pi_{1}$ $m$ $\Pi _{2}$ $m$

Exempel på länkar

Hopf-länken är den enklaste icke-triviala länken med två eller flera komponenter [1] , består av två cirklar länkade en gång [2] och är uppkallad efter Heinz Hopf [3] .

Salomons knut , två dubbeltandade ringar
Borromeiska ringar [4] är en länk som består av tre topologiska cirklar , som är sammanlänkade och bildar en brunnisk länk (det vill säga att avlägsnandet av någon ring kommer att leda till separationen av de två återstående ringarna). Med andra ord, inga två av de tre ringarna är länkade som i Hopf-länken , men de är alla sammanlänkade.

Anteckningar

↑ Adams, 2004 , sid. 151.
↑ Kusner och Sullivan 1998 , sid. 67–78.
↑ Prasolov, Sosinsky, 1997 , sid. 12.
↑ Namnet härstammar från den borromeiska familjens vapensköld , på vilken dessa ringar finns.

Litteratur

Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. - 1996. - V. 82. - (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). - doi : 10.1007/978-1-4612-4066-2_4 .
PG Tait. vetenskapliga artiklar. - Cambridge University Press, 1898. - V. 1.
C.A. Adams. The Knot Book: En elementär introduktion till den matematiska teorin om knutar. - American Mathematical Society, 2004. - ISBN 9780821836781 .
Crowell R., Fox R. Introduktion till knutteori / Per. från engelska. - Cherepovets: Mercury-Press, 2000. - 348 sid. — ISBN 5-1148-0112-0 . .
Manturov V. O. Knotteori . - M. : RHD, 2005. - 512 sid. — ISBN 5-93972-404-3 . .
Manturov V. O. Föreläsningar om teorin om knutar och deras invarianter. — M. : Redaktionell URSS, 2001. — 204 sid. — ISBN 5-8360-0287-8 . .
Milnor J. Singular punkter av komplexa hyperytor / Per. från engelska. — M .: Mir, 1971. — 127 sid.
Mandelbaum R. Fyrdimensionell topologi / Per. från engelska. — M .: Mir, 1981. — 286 sid.
Hillman JA Alexander ideals of links B. - Hdlb. — NY, 1981.
Jones, Vaughan F. R. Knot Theory and Statistical Mechanics // Scientific American (rysk upplaga). - Nr 1. - 1991. - S. 44-50.
Prasolov V. V., Sosinsky A. B. . Knutar, länkar, flätor och tredimensionella grenrör. - M. : MTSNMO, 1997. - ISBN 5-900916-10-3 .
Sosinsky, A. B. Knots and Braids . - M. : MTsNMO , 2001. - T. 10. - 24 sid. - (Biblioteket "Matematisk utbildning"). - ISBN 5-900916-76-6 . .
Artiklar "Knutteori i slutet av 1900-talet" // Matematisk utbildning . - Nr 3. - 1999.
Manturov V. O. Excursus in theory of knots // Network Educational journal . - 2004. - T. 8 , nr 1 . - S. 122-127 .
H. Gruber. Uppskattningar för minsta antal korsningar . - 2003. - arXiv : math/0303273 . * Kusner R.B., Sullivan J.M.. Topologi och geometri inom polymervetenskap (Minneapolis, MN, 1996). - New York: Springer, 1998. - Vol. 103.- (IMA Vol. Math. Appl.). - doi : 10.1007/978-1-4612-1712-1_7 .
Yuan Diao. Additiviteten hos korsningstal // Journal of Knot Theory and its Ramifications. - 2004. - T. 13 , nr. 7 . - doi : 10.1142/S0218216504003524 .
Marc Lackenby. Det korsande antalet sammansatta knop // Journal of Topology. - 2009. - Vol. 2 , nummer. 4 . - doi : 10.1112/jtopol/jtp028 .
Honda K. 3-dimensionella metoder i kontaktgeometri . (Engelsk)
Etnyre JB Legendrian and Transversal Knots . (Engelsk)
Birman JS Flätor, knutar och kontaktstrukturer . (Engelsk)
Weisstein, Eric W. Knot Theory (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Teori om knutar och länkar
Hyperbolisk	Åtta (4 1 ) Tre halva varv (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par percos (10 161 ) Spets (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromeanska ringar (63 2) L10a140
satellit	Sammansättning ( babiy ) hetero Summan av knop
torisk	Trivialt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Olänkad (02 1) Hopp (22 1) Salomo (42 1)
Invarianter	alternerande Arfa invariant Antal broar ( 2-broar ) Brunnisk länk Chiralitet ( reversibel ) Antal filmer Antal korsningar Vasiliev invariant Hyperbolisk volym Khovanovs homologi Släkte Nodgrupp Kugghjulsgrupp Utväxling Polynom ( Alexander Kauffman fäste HEMLIGT Jones Kaufman ) Spetsförlovning Enkel knut ( lista ) Antal segment Antal trefärgade färger Antalet och uppgiften att avbinda
Notation och operationer	Alexander–Briggs notation Conway notation Docker notation Mutation Reidemeisterrörelsen Skene förhållande
Övrig	Alexanders teorem Berge knut fläta teori Conway sfär Nodslutförande Dubbel torusknut Skiktad knut Tejp Skära Summan av knop Tates hypoteser Vriden Vild Twist nummer Seifert yta