Utväxling

Länkningskoefficienten är ett heltal eller bråktal associerat med två disjunkta cykler och i ett orienterbart mångfald av dimension , vars homologiklasser tillhör torsionsundergrupperna i heltalshomologi resp . ${\displaystyle z^{k-1))$ $z^{nk}$ $M$ $n$ $H_{k-1}(M,\mathbb {Z} )$ $H_{nk}(M,\mathbb {Z} )$

Det enklaste exemplet är kopplingskoefficienten för två icke-korsande slutna kurvor i rummet , den är lika med graden av mappning definierad som $L_{1},\ L_{2}$ $\mathbb R^3$ $\phi \colon L_{1}\times L_{2}\to S^{2}$

{\displaystyle \phi (x,y)=(yx)/|yx|,\ x\in L_{1},\ y\in L_{2))

Länkningskoefficienten ändras inte under kontinuerliga deformationer av kurvorna, om kurvorna under denna deformation inte skär varandra - det vill säga det är en invariant av denna länkning. Om vi sträcker en orienterad yta på en kurva, kommer skärningsindexet att vara lika med antalet skärningspunkter för den första kurvan med denna yta, taget med motsvarande tecken.

Kopplingskoefficienten definieras på liknande sätt i fallet med slutna orienterade grenrör och placerade i utrymmet . $M^{k-1}$ $M^{nk}$ $\mathbb {R} ^{n}$

I det allmänna fallet bestäms länkkoefficienten genom skärningsindexet enligt följande:

Om det finns en dimensionell kedja för vilken , och är skärningsindexet med , så är länkindexet . Detta nummer beror inte på valet av film . $C^k$ $k$ ${\displaystyle \partial C^{k}=az^{k-1))$ $b$ $C^k$ $z^{nk}$ $b/a$ $C^k$

Populär definition

Länkningskoefficienten för två orienterade konturer x och y som inte skär varandra definieras som summan av länkkoefficienterna över alla dubbla punkter i konturprojektionen på konturen och på något plan. För varje dubbelpunkt är länkkoefficienten , om konturen skär den från vänster till höger när den rör sig längs konturens riktning och , om konturen skär den från höger till vänster. Om två sektioner av samma kontur skär varandra eller om x-konturen passerar över y-konturen, tilldelas dubbelpunkten en länkfaktor [1] . $y$ $x$ $ett$ $x$ $y$ $-ett$ $y$ $0$

Egenskaper

Om vi vänder om rollerna för cykler och , då kommer länkkoefficienten att multipliceras med . ${\displaystyle z^{k-1))$ $z^{nk}$ ${\displaystyle (-1)^{k(nk)))$
Om vi ersätter någon av cyklerna med en homolog utöver den andra, ändras inte länkkoefficienten. Detta faktum är grunden för tolkningen av Alexanders dualitet i termer av länkar.
När en av cyklerna ersätts med någon homolog med den, ändras länkkoefficienten med ett heltal, på grund av vilket parningen av torsionsundergrupper i och med värden i kvotgruppen definieras . Denna sammankoppling etablerar Pontryagin-dualitet mellan dem . $H_{k-1}(M,Z)$ $H_{nk}(M,Z)$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$
- I synnerhet för torsionsundergruppen i fallet definierar detta
en bilinjär självlänkande form med värden i vilken är en homotopi invariant av mångfalden. $H_{m}(M,\mathbb {Z} )$ $n=2m+l$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

Anteckningar

↑ Boltyansky, 1982 , sid. 92.

Litteratur

Boltjanskij V.G. , Efremovich V.A. Visuell topologi. - M . : Nauka, 1982. - 160 sid.

Teori om knutar och länkar
Hyperbolisk	Åtta (4 1 ) Tre halva varv (5 2 ) Stevedoring (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Par percos (10 161 ) Spets (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromeanska ringar (63 2) L10a140
satellit	Sammansättning ( babiy ) hetero Summan av knop
torisk	Trivialt (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Olänkad (02 1) Hopp (22 1) Salomo (42 1)
Invarianter	alternerande Arfa invariant Antal broar ( 2-broar ) Brunnisk länk Chiralitet ( reversibel ) Antal filmer Antal korsningar Vasiliev invariant Hyperbolisk volym Khovanovs homologi Släkte Nodgrupp Kugghjulsgrupp Utväxling Polynom ( Alexander Kauffman fäste HEMLIGT Jones Kaufman ) Spetsförlovning Enkel knut ( lista ) Antal segment Antal trefärgade färger Antalet och uppgiften att avbinda
Notation och operationer	Alexander–Briggs notation Conway notation Docker notation Mutation Reidemeisterrörelsen Skene förhållande
Övrig	Alexanders teorem Berge knut fläta teori Conway sfär Nodslutförande Dubbel torusknut Skiktad knut Tejp Skära Summan av knop Tates hypoteser Vriden Vild Twist nummer Seifert yta