Matte

Vetenskapen
Matte
 Mediafiler på Wikimedia Commons

Matematik ( antikgrekiska μᾰθημᾰτικά [1] < μάθημα "studie; vetenskap") är en exakt ( formell ) vetenskap [2] som ursprungligen studerade kvantitativa relationer och rumsliga former [3] . I en mer modern mening är detta vetenskapen om relationer mellan objekt , om vilken ingenting är känt, förutom några egenskaper som beskriver dem, just de som sätts som axiom till grund för en eller annan matematisk teori [4] .

Matematik har historiskt utvecklats på basis av operationerna att räkna, mäta och beskriva formen på föremål [5] . Matematiska objekt skapas genom att idealisera egenskaperna hos verkliga eller andra matematiska objekt och skriva dessa egenskaper på ett formellt språk .

Matematik tillhör inte naturvetenskaperna , men används i stor utsträckning inom dem både för att exakt formulera innehållet och för att få nya resultat. Det är en grundläggande vetenskap som tillhandahåller (gemensamma) språkliga medel till andra vetenskaper; sålunda avslöjar det deras strukturella förhållande och bidrar till att hitta de mest allmänna naturlagarna [6] .

Grundläggande information

De idealiserade egenskaperna hos objekten som studeras är antingen formulerade som axiom eller listade i definitionen av motsvarande matematiska objekt. Sedan, enligt strikta inferensregler, härleds andra sanna egenskaper ( satser ) från dessa egenskaper. Denna teori bildar tillsammans en matematisk modell av objektet som studeras. Således, initialt baserat på rumsliga och kvantitativa samband, får matematiken mer abstrakta samband, vars studie också är ämnet för modern matematik [7] .

Traditionellt är matematik uppdelad i teoretisk, som utför en djupgående analys av intramatematiska strukturer, och tillämpad , som tillhandahåller sina modeller till andra vetenskaper och ingenjörsdiscipliner, och några av dem intar en gränsposition till matematik. I synnerhet kan formell logik betraktas både som en del av de filosofiska vetenskaperna och som en del av de matematiska vetenskaperna; mekanik  - både fysik och matematik; informatik , datateknik och algoritmik avser både ingenjörsvetenskap och matematisk vetenskap m.m.

Etymologi

Ordet "matematik" kommer från andra grekiska. μάθημα , som betyder "studie, kunskap, vetenskap", etc. grekiska. μαθηματικός , som ursprungligen betyder "receptiv, framgångsrik" [8] , senare - "relaterad till studien", som senare blev "relaterad till matematik". I synnerhet betyder μαθηματικὴ τέχνη , på latin - ars mathematica , "matematikens konst". Termen annan grekisk. μᾰθημᾰτικά i modern mening av ordet "matematik" finns redan i Aristoteles skrifter (300-talet f.Kr.). Enligt Fasmer kom ordet in i det ryska språket antingen genom polska. matematyka , eller genom lat.  mathematica [9] .

I texter på ryska har ordet "matematik", eller mathematica , hittats åtminstone sedan 1600-talet - till exempel i Nikolai Spafariys "The Book of Selected Briely on the Nine Muses and on the Seven Free Arts" ( 1672) [10] .

Definitioner

Aristoteles definierade matematik som "vetenskapen om kvantitet", och denna definition rådde fram till 1700-talet.

En av de första definitionerna av ämnet matematik gavs av Descartes [11] :

Matematikområdet omfattar endast de vetenskaper där antingen ordning eller mått beaktas, och det spelar ingen roll om det är siffror, siffror, stjärnor, ljud eller något annat där detta mått eftersträvas. Sålunda måste det finnas någon allmän vetenskap som förklarar allt som hör till ordning och mått, utan att gå in på studiet av några speciella ämnen, och denna vetenskap måste inte kallas med det främmande, utan med det gamla, redan vanliga namnet Allmän matematik.

Originaltext  (lat.)[ visaDölj] …illa omnia tantum, in quibus ordo vel mensura examinature, ad Mathesim referri, nec intresse utrum in numeris, vel figuris, vel astris, vel sonis, aliove quovis obiecto talis mensura quaerenda sit; ac proinde generalem quamdam esse debere scientiam, quae id omne explicet, quod circa ordinem et mensuram nulli speciali materiae addicta quaeri potest, eamdemque, non ascititio vocabulo, sed iam inveterato atque usu recepto, Mathesim nominari [12lim nominari] .

Under sovjettiden ansågs definitionen från TSB [13] :464 från A. N. Kolmogorov vara klassisk :

Matematik ... vetenskapen om kvantitativa relationer och rumsliga former av den verkliga världen.

Detta är definitionen av Engels [14] ; Kolmogorov förklarar dock vidare att alla termer som används måste förstås i den mest utvidgade och abstrakta betydelsen [13] :476,477 .

Bourbakis formulering [4] :

Matematikens väsen ... presenteras nu som en lära om relationer mellan objekt, om vilken ingenting är känt, förutom vissa egenskaper som beskriver dem - just de som sätts som axiom till grund för teorin ... Matematik är en uppsättning abstrakta former - matematiska strukturer.

Hermann Weyl var pessimistisk om möjligheten att ge en allmänt accepterad definition av ämnet matematik:

Frågan om matematikens grunder och vad matematik i slutändan är förblir öppen. Vi vet inte någon riktning som så småningom kommer att tillåta oss att hitta ett definitivt svar på denna fråga, och om vi ens kan förvänta oss att ett sådant "slutligt" svar någonsin kommer att tas emot och accepteras av alla matematiker.

"Matematisering" kan förbli en av manifestationerna av mänsklig kreativ aktivitet, som musikskapande eller litterär kreativitet, ljus och originell, men att förutsäga dess historiska öden kan inte rationaliseras och kan inte vara objektivt [15] .

Matematikens grenar

1. Matematik som en akademisk disciplin är uppdelad i Ryska federationen i elementär matematik , studerade i gymnasieskolan och bildas av följande discipliner:

och högre matematik , studerade i icke-matematiska specialiteter vid universitet. De discipliner som utgör högre matematik varierar beroende på specialitet.

Läroplanen i matematikens specialitet [16] bildas av följande akademiska discipliner:

2. Matematik som en specialitet för forskare av Ryska federationens utbildnings- och vetenskapsministerium [17] är uppdelad i specialiteter:

3. För systematisering av vetenskapliga arbeten används avsnittet "Matematik" [18] i den universella decimalklassificeringen (UDC).

4. American Mathematical Society ( AMS ) har utvecklat en egen standard för att klassificera grenar av matematik. Det heter Matematik Ämnesklassificering . Denna standard uppdateras regelbundet. Den nuvarande versionen är MSC 2020 . Den tidigare versionen är MSC 2010 .

Notation

Eftersom matematiken handlar om extremt olika och ganska komplexa strukturer är dess notation också mycket komplex. Det moderna systemet med skrivformler bildades på grundval av den europeiska algebraiska traditionen, såväl som behoven av senare avsnitt av matematiken - matematisk analys , matematisk logik , mängdlära , etc. Geometri har använt en visuell (geometrisk) representation från tiden urminnes tid. Komplexa grafiska notationer (som kommutativa diagram ) är också vanliga i modern matematik, och grafbaserad notation används ofta också .

Kort historia

Akademiker A. N. Kolmogorov föreslog följande struktur för matematikens historia:

  1. Perioden för matematikens födelse, under vilken en ganska stor mängd faktamaterial samlades;
  2. Perioden för elementär matematik, som börjar i VI - V århundradena f.Kr. e. och slutar i slutet av 1500-talet ("Beståndet av begrepp som matematiken behandlade före början av 1600-talet utgör än i dag grunden för" elementär matematik "som lärs ut i grund- och gymnasieskolor");
  3. Perioden för variablers matematik, som täcker 1600- och 1700 - talen , "som också konventionellt kan kallas perioden för 'högre matematik'";
  4. Den moderna matematikens period - matematiken under 1800- och 1900-talen , under vilken matematiker var tvungna att "behandla processen att utvidga ämnet matematisk forskning medvetet och sätta sig i uppgift att systematiskt studera möjliga typer av kvantitativa relationer och rumsliga former från en ganska allmän synpunkt."

Matematikens utveckling började med det faktum att människan började använda abstraktioner på vilken hög nivå som helst. Enkel abstraktion - siffror ; att förstå att två äpplen och två apelsiner, trots alla deras skillnader, har något gemensamt, nämligen att de upptar båda händerna på en person, är en kvalitativ prestation av mänskligt tänkande. Förutom att lära sig att räkna konkreta föremål, förstod forntida människor också hur man beräknar abstrakta kvantiteter, såsom tid : dagar , årstider , år . Från ett elementärt konto började aritmetiken naturligtvis utvecklas : addition , subtraktion , multiplikation och division av tal.

Matematikens utveckling bygger på skrivning och förmågan att skriva ner siffror. Förmodligen uttryckte forntida människor först kvantitet genom att rita linjer på marken eller skrapa dem på trä. De forntida inkaorna , som inte hade något annat skriftsystem, representerade och lagrade numeriska data med hjälp av ett komplext system av repknutar, den så kallade quipuen . Det fanns många olika nummersystem . De första kända registreringarna av siffror hittades i Ahmes Papyrus , producerad av egyptierna i Mellanriket . Den indiska civilisationen utvecklade det moderna decimaltalssystemet , som införlivade begreppet noll .

Historiskt sett uppstod de stora matematiska disciplinerna under inflytande av behovet av att göra beräkningar inom det kommersiella området, vid mätning av marken och för att förutsäga astronomiska fenomen och, senare, för att lösa nya fysiska problem. Vart och ett av dessa områden spelar en stor roll i den breda utvecklingen av matematik, som består i studiet av strukturer , utrymmen och förändringar.

Matematikens filosofi

Mål och metoder

Matematik studerar imaginära, idealiska objekt och relationerna mellan dem med hjälp av ett formellt språk. I allmänhet motsvarar matematiska begrepp och teorem inte nödvändigtvis någonting i den fysiska världen. Huvuduppgiften för den tillämpade delen av matematik är att skapa en matematisk modell som är tillräcklig nog för det verkliga objektet som studeras. Den teoretiska matematikerns uppgift är att tillhandahålla en tillräcklig uppsättning bekväma medel för att uppnå detta mål.

Matematikens innehåll kan definieras som ett system av matematiska modeller och verktyg för att skapa dem. Objektmodellen tar inte hänsyn till alla dess egenskaper, utan endast de mest nödvändiga för studieändamålen (idealiserade). Till exempel, när vi studerar de fysiska egenskaperna hos en apelsin, kan vi abstrahera från dess färg och smak och representera den (om än inte helt korrekt) som en boll. Om vi ​​behöver förstå hur många apelsiner vi får om vi lägger till två och tre tillsammans, kan vi abstrahera bort från formen och lämna modellen med bara en egenskap - kvantitet. Abstraktion och upprättande av relationer mellan objekt i den mest allmänna formen är en av huvudriktningarna för matematisk kreativitet.

En annan riktning, tillsammans med abstraktion, är generalisering . Till exempel genom att generalisera begreppet " rymd " till ett rum med n-dimensioner. “ Utrymmet vid är en matematisk uppfinning. Men en mycket genial uppfinning, som hjälper till att matematiskt förstå komplexa fenomen " [19] .

Studiet av intramatematiska objekt sker som regel med hjälp av den axiomatiska metoden : först, för de föremål som studeras, formuleras en lista över grundläggande begrepp och axiom , och sedan erhålls meningsfulla satser från axiomen med hjälp av inferensregler , som tillsammans bildar en matematisk modell.

Grunder

Frågan om matematikens väsen och grunder har diskuterats sedan Platons tid . Sedan 1900-talet har det funnits en jämförande enighet om vad som ska anses vara ett rigoröst matematiskt bevis , men det har inte funnits någon enighet om vad som anses vara sant i matematik. Detta ger upphov till meningsskiljaktigheter både i frågor om axiomatik och sammankopplingen av grenar av matematik, och i valet av logiska system , som bör användas i bevis.

Förutom de skeptiska är följande tillvägagångssätt för denna fråga kända.

Mängdteoretisk ansats

Det föreslås att alla matematiska objekt beaktas inom ramen för mängdläran, oftast med Zermelo-Fraenkels axiomatik (även om det finns många andra som är likvärdiga med det). Detta tillvägagångssätt har ansetts råda sedan mitten av 1900-talet, men i verkligheten ställer de flesta matematiska verk inte till uppgiften att strikt översätta sina uttalanden till mängdlärans språk, utan arbetar med begrepp och fakta etablerade inom vissa områden av matematik. Således, om en motsägelse hittas i mängdteorin, kommer detta inte att innebära att de flesta av resultaten ogiltigförklaras.

logicism

Detta tillvägagångssätt förutsätter strikt typning av matematiska objekt. Många paradoxer som undviks i mängdteorin endast genom speciella knep visar sig i princip vara omöjliga.

Formalism

Detta tillvägagångssätt innefattar studiet av formella system baserade på klassisk logik .

intuitionism

Intuitionism förutsätter i grunden för matematiken intuitionistisk logik , som är mer begränsad när det gäller bevismedel (men, som man tror, ​​också mer tillförlitlig). Intuitionismen avvisar bevis genom motsägelse , många icke-konstruktiva bevis blir omöjliga och många problem i mängdteorin blir meningslösa (icke-formaliserbara).

Konstruktiv matematik

Konstruktiv matematik är en trend inom matematiken nära intuitionismen som studerar konstruktiva konstruktioner.[ förtydliga ] . Enligt kriteriet för byggbarhet - "att existera betyder att byggas " [20] . Konstruktivitetskriteriet är ett starkare krav än konsekvenskriteriet [21] .

Huvudämnen

Nummer (antal)

Huvuddelen som handlar om abstraktionen av kvantitet är algebra . Begreppet "tal" härstammar ursprungligen från aritmetiska representationer och hänvisade till naturliga tal . Senare, med hjälp av algebra, utökades det gradvis till heltal , rationella , reella , komplexa och andra tal.

Heltal
Heltal
Rationella nummer
Riktiga nummer
Komplexa tal Kvaternioner

Tal  - Naturliga tal  - Heltal  - Rationala tal  - Irrationella tal  - Algebraiska tal  - Transcendentala tal  - Reella tal  - Komplexa tal  - Hyperkomplexa tal  - Kvaternioner  - Oktonioner  - Sedenioner  - Hyperreala tal  - Surrealistiska tal  - p - adiska tal  - Matematiska konstanter  - Namn Tal  - Infinity  - Baser

Transformationer

Fenomenen transformationer och förändringar betraktas i den mest allmänna formen genom analys .

Aritmetisk Differential- och integralkalkyl Vektoranalys Analys
Differentialekvationer Dynamiska system Kaosteori

Aritmetik  — Vektoranalys  — Analys  — Måttlära  — Differentialekvationer  — Dynamiska system  — Kaosteori

strukturer

Mängdlära  - Linjär algebra  - Allmän algebra (inkluderar särskilt gruppteori , universell algebra , kategoriteori ) - Algebraisk geometri  - Talteori  - Topologi .

Rumsliga relationer

Grunderna för rumsliga relationer beaktas av geometrin . Trigonometri beaktar egenskaperna hos trigonometriska funktioner . Studiet av geometriska objekt genom matematisk analys handlar om differentialgeometri . Egenskaperna hos utrymmen som förblir oförändrade under kontinuerliga deformationer och själva fenomenet kontinuitet studeras av topologi .

Geometri Trigonometri Differentialgeometri Topologi fraktaler måttteori

Geometri  - Trigonometri  - Algebraisk geometri  - Topologi  - Differentialgeometri  - Algebraisk topologi  - Linjär algebra  - Fraktaler  - Måttlära .

Diskret matematik

Diskret matematik inkluderar metoder för att studera objekt som bara kan anta separata (diskreta) värden (det vill säga objekt som inte kan förändras smidigt) [22] .

matematisk logik Beräkningsbarhetsteori Kryptografi grafteori

Kombinatorik  - Mängdlära  - Gitterteori  - Matematisk logik  - Beräkningsbarhetsteori - Kryptografi  - Teori om funktionella system  - Grafteori  - Algoritmerteori  - Logisk kalkyl - Datavetenskap .

Utmärkelser

Det mest prestigefyllda priset för prestationer i matematik, ibland kallat "Nobelpriset för matematiker", är Fields -medaljen , som grundades 1924 och delas ut vart fjärde år, tillsammans med en kontantutmärkelse på 15 000 kanadensiska dollar . Vid öppningsceremonin för International Congress of Mathematicians tillkännages namnen på vinnarna av fyra priser för prestationer inom matematik:

Sedan 2010 har Lilavati-priset för popularisering av matematik delats ut vid kongressens avslutningsceremonin.

År 2000 tillkännagav Clay Mathematical Institute en lista med sju matematiska problem , vart och ett med ett pris på 1 miljon dollar [23] .

Koder i kunskapsklassificeringssystem

Online tjänster

Det finns ett stort antal sajter som tillhandahåller tjänster för matematiska beräkningar. De flesta av dem är på engelska [25] .

programvara

Matematisk programvara är mångfacetterad:

  • Paket fokuserade på att skriva matematiska texter och deras efterföljande layout ( TeX ).
  • Paket fokuserade på att lösa matematiska problem, numerisk modellering och plottning ( GNU Octave , Maple , Mathcad , MATLAB , Scilab ).
  • Kalkylblad .
  • Separata program eller mjukvarupaket som aktivt använder matematiska metoder ( kalkylatorer , arkiverare, krypterings-/dekrypteringsprotokoll, bildigenkänningssystem, ljud- och videokodning).
 Matematisk programvara
Symboliska beräkningar
Numeriska beräkningar
 Datoralgebrasystem
Proprietär
Fri
Gratis/shareware
Stöds inte

se även

Populariserare av vetenskap

Anteckningar

  1. ↑ μαθηματικα, μαθηματικα translation . www.classes.ru Hämtad 20 september 2017. Arkiverad från originalet 9 augusti 2018.
  2. ↑ matematik | Definition, historia och betydelse | Britannica  (engelska) . www.britannica.com . Hämtad 13 januari 2022. Arkiverad från originalet 3 januari 2018.
  3. ↑ Matematik  // Stora ryska encyklopedin  : [i 35 volymer]  / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M .  : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
  4. ↑ 1 2 Bourbaki N. Arkitektur av matematik. Uppsatser om matematikens historia / Översatt av I. G. Bashmakova, red. K. A. Rybnikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
  5. ↑ matematik | Definition & History  (engelska) , Encyclopedia Britannica . Arkiverad från originalet den 3 juli 2008. Hämtad 20 september 2017.
  6. ↑ Kapitel 2. Matematik som vetenskapens språk (otillgänglig länk) . Siberian Open University. Tillträdesdatum: 5 oktober 2010. Arkiverad från originalet 24 januari 2012. 
  7. ↑ Panov V.F. Forntida och ung matematik. - Ed. 2:a, korrigerad. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 581-582. — 648 sid. — ISBN 5-7038-2890-2 .
  8. ↑ Stor antik grekisk ordbok (αω) (otillgänglig länk) . slovarus.info. Hämtad 20 september 2017. Arkiverad från originalet 12 februari 2013. 
  9. ↑ Matematik . classes.ru. Hämtad 20 september 2017. Arkiverad från originalet 15 september 2017.
  10. ↑ Ordbok för det ryska språket under XI-XVII-talen. Nummer 9 / Kap. ed. F. P. Filin . — M .: Nauka , 1982. — S. 41.
  11. ↑ Descartes R. Regler för ledning av sinnet. M.-L.: Sotsekgiz, 1936.
  12. ↑ René Descartes' Regulae ad directionem ingenii. Nach der Original-Ausgabe von 1701 herausgegeben von Artur Buchenau . - Leipzig , 1907. - S. 13.
  13. ↑ 1 2 Matematik / A. N. Kolmogorov  // Stora sovjetiska encyklopedin  / kap. ed. B. A. Vvedensky . - 2:a uppl. - M .  : State Scientific Publishing House "Great Soviet Encyclopedia", 1954. - T. 26: Magnitogorsk - Medusa. - S. 464-483. — 300 000 exemplar.
  14. ↑ "Ren matematik har som föremål den verkliga världens rumsliga former och kvantitativa relationer" i källan: Marx K., Engels F. Anti-Dühring // Works. - 2:a uppl. - M . : Statens förlag för politisk litteratur, 1961. - T. 20. - S. 37. - 130 000 exemplar.
    Originalcitat (tyska) - "Die reine Mathematik hat zum Gegenstand die Raumformen und Quantitätsverhältnisse der wirklichen Welt" - källa: Friedrich Engels. Herrn Eugen Dührings Umwälzung der Wissenschaft . - Leipzig , 1878. - S. 20.
  15. ↑ Hermann Weyl // Kline M. Mathematics. Förlust av säkerhet . - M . : Mir, 1984. - S. 16. Arkiverad kopia (otillgänglig länk) . Tillträdesdatum: 12 januari 2009. Arkiverad från originalet den 12 februari 2007. 
  16. ↑ Statlig utbildningsstandard för högre yrkesutbildning. Specialitet 01.01.00. "Matte". Behörighet - Matematiker. Moskva, 2000 (Sammanställd under ledning av O.B. Lupanov )
  17. ↑ Nomenklatur över vetenskapsmäns specialiteter , godkänd på order av Rysslands utbildnings- och vetenskapsministerium daterad 25 februari 2009 nr 59
  18. ↑ UDC 51 Matematik . Hämtad 7 september 2009. Arkiverad från originalet 26 augusti 2009.
  19. ↑ Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky. Element av linjär algebra och analytisk geometri. M.: Nauka, 1988. S. 44.
  20. ↑ N. I. Kondakov. Logisk ordbok-uppslagsbok. M.: Nauka, 1975. S. 259.
  21. ↑ G. I. Ruzavin. Om matematisk kunskaps natur. - M. , 1968.
  22. ↑ Renze, John; Weisstein, Eric W. Discrete Mathematics  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  23. ↑ Matematikpriser . wolfram mathworld . Hämtad 7 juli 2019. Arkiverad från originalet 2 juni 2019.
  24. ↑ LibOk.Net elektroniskt bibliotek - läs online och ladda ner böcker gratis . www.gsnti-norms.ru. Hämtad: 20 september 2017.  (inte tillgänglig länk)
  25. ↑ Till exempel: http://mathworld.wolfram.com Arkiverad 29 februari 2000 på Wayback Machine

Litteratur

uppslagsverk Uppslagsverk
  • A. A. Adamov, A. P. Vilizhanin, N. M. Gunther, A. N. Zakharov, V. M. Melioransky, V. F. Tochinsky, Ya. V. Uspensky. Samling av uppgifter i högre matematik för lärare vid Institutet för kommunikationsingenjörer. - St Petersburg. , 1912.
  • Shakhno K. U. Handbok i elementär matematik. - L. , 1955.
  • G. Korn, T. Korn. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer . - M. , 1973.
Böcker Underhållande matematik
  • Bobrov S. P. Magic bicorn . - M . : Barnlitteratur, 1967. - 496 sid.
  • Dudeney G. E. Canterbury pussel; 200 kända pussel i världen; Femhundratjugo pussel.
  • Carroll L. Historia med knutar; Logisk spel.
  • Townsend Charles Barry. Stjärnpussel; De roligaste pusslen; De svåraste pusslen från vintagetidningar.
  • Perelman Ya. I. Underhållande matematik.

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
 Vetenskapliga riktningar
Humaniora naturlig offentlig Applicerad Teknisk Exakt
Vetenskap om vetenskap
 Matematikens grenar
Portal "Science"
Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra
Talteori ( aritmetik )
  • Portalen "Matematik"
  • Kategori "Matematik"