Algebraisk geometri

Algebraisk geometri  är en gren av matematiken som kombinerar algebra och geometri . Huvudämnet för studier av klassisk algebraisk geometri, såväl som i den breda betydelsen av modern algebraisk geometri, är uppsättningarna av lösningar till system av algebraiska ekvationer . Modern algebraisk geometri är till stor del baserad på generell algebras metoder (särskilt kommutativ algebra ) för att lösa problem som uppstår inom geometrin.

Huvudobjektet för studier av algebraisk geometri är algebraiska varianter , det vill säga geometriska objekt specificerade som uppsättningar av lösningar till system av algebraiska ekvationer. De mest väl studerade är algebraiska kurvor : raka linjer , koniska sektioner , kuber (som en elliptisk kurva ) och kurvor av högre ordning ( lemniskater är exempel på sådana kurvor ). Grundläggande frågor i teorin om algebraiska kurvor gäller studiet av "speciella" punkter på en kurva, såsom singulära punkter eller böjningspunkter . Mer avancerade frågor rör topologin för en kurva och relationerna mellan kurvor som ges av differentialekvationer .

Modern algebraisk geometri har flera samband med vitt skilda områden inom matematiken såsom komplex analys , topologi eller talteori . Studiet av specifika ekvationssystem med flera variabler ledde till en förståelse för vikten av att studera de allmänna interna egenskaperna hos uppsättningarna av lösningar av ett godtyckligt system av algebraiska ekvationer och, som ett resultat, till djupa resultat inom många grenar av matematiken.

På 1900-talet delades algebraisk geometri upp i flera (sammanhängande) discipliner:

Huvudflödet av forskning inom algebraisk geometri på 1900-talet fortsatte med den aktiva användningen av begreppen allmän algebra, med betoning på de "inre" egenskaperna hos algebraiska varieteter som inte är beroende av ett specifikt sätt att bädda in en sort i en visst utrymme. Hennes viktigaste prestation var teorin om scheman av Alexander Grothendieck , som gjorde det möjligt att tillämpa teorin om kärvar på studiet av algebraiska sorter med metoder som liknar studien av differentierbara och komplexa sorter. Detta ledde till en utvidgning av begreppet en punkt: i klassisk algebraisk geometri kan en punkt av en affin variation definieras som det maximala idealet för en koordinatring, medan alla punkter i det motsvarande affina schemat är primideal för den givna ringen . En punkt i ett sådant schema kan betraktas både som en vanlig punkt och som en delmanifold , vilket gjorde det möjligt att förena språket och verktygen för klassisk algebraisk geometri. Andrew Wiles bevis på Fermats sista teorem var ett av de tydligaste exemplen på kraften i detta tillvägagångssätt.

Grundläggande begrepp

Affina sorter

Först och främst måste vi fixa huvudfältet k . I klassisk algebraisk geometri används som regel fältet med komplexa tal, men resultatuppsättningen förblir giltig för alla algebraiskt stängda fält (i det följande antas algebraisk stängning). Betrakta ett n - dimensionellt affint rymd (Skälet till att inte beakta ett vektorrum över k är att betona oberoendet av egenskaperna hos grenröret från strukturen i vektorrummet. Elementen i basrummet behandlas som punkter, inte som punkter. vektorer). Vi fixar någon grund i det affina utrymmet (i synnerhet väljer vi ursprunget för koordinater). Sedan kan varje familj S av polynom från ringen k [ x 1 ,..., x n ] associeras med en mängd V ( S ) av punkter vars koordinater uppfyller alla polynom från mängden:

Faktum är att egenskapen för en funktion att vara polynom inte beror på valet av bas, så man kan helt enkelt tala om polynomfunktioner på och uppsättningen av gemensamma nollor i en familj av sådana funktioner. Mängder representerade som V ( S ) kallas algebraiska mängder .

Vilken delmängd som helst av ett affint utrymme U kan associeras med en uppsättning I(U) av polynom lika med noll vid alla punkter i denna uppsättning. Det är lätt att kontrollera att denna uppsättning är ett ideal i polynomringen. Två naturliga frågor uppstår:

Uppenbarligen, för att den första likheten ska gälla, är det nödvändigt att U är en algebraisk mängd; det är också lätt att kontrollera att detta villkor är tillräckligt. Sökandet efter ett svar på den andra frågan orsakar stora svårigheter, David Hilbert bevisade Hilberts välkända nollsats , enligt vilken I ( V ( S )) sammanfaller med radikalen av idealet i ringen av polynom som genereras av elementen S ; detta betyder att det finns en bijektiv överensstämmelse mellan algebraiska mängder och radikalideal för en polynomring. Hilberts grundsats säger att alla ideal i en polynomring är ändligt genererade , det vill säga vilken algebraisk uppsättning som helst kan definieras av ett ändligt antal ekvationer.

En algebraisk mängd sägs vara irreducerbar om den inte kan representeras som föreningen av två mindre algebraiska mängder. En affin algebraisk variant [1]  är en irreducerbar algebraisk mängd; i algebraiskt språk motsvarar de primära idealen för polynomringar affina varianter. Vilken algebraisk mängd som helst kan representeras som en förening av ett ändligt antal algebraiska varianter (av vilka ingen är en delmängd av den andra), och dessutom på ett unikt sätt [2] .

Vissa författare gör inte någon terminologisk skillnad mellan "algebraiska uppsättningar" och "algebraiska varianter" och använder istället termen "irreducible algebraic set" (eller "irreducible variation").

Vanliga funktioner

En vanlig funktion på en algebraisk mängd  är en funktion som är en begränsning av V för någon polynomfunktion. Reguljära funktioner på V bildar en ring k [ V ], som kallas koordinatringen för denna uppsättning. Denna ring är isomorf till faktorringen av polynomringen i I ( V ) (om f och g har samma begränsning på V , så hör f − g till I ( V ).

Regelbundna mappningar mellan algebraiska uppsättningar definieras på ett naturligt sätt. Den vanliga mappningen har nämligen formen , där  finns vanliga funktioner. En vanlig mappning till en algebraisk mängd  är en vanlig funktion i sådan att .

Med en vanlig mappning kan vilken vanlig funktion som helst mappas till en vanlig funktion på av regeln . En kartläggning är en ringhomomorfism , precis som varje homomorfism av koordinatringar definierar en regelbunden kartläggning av algebraiska uppsättningar (omvänt). Från dessa överensstämmelser kan vi sluta oss till att kategorin av algebraiska mängder (vars morfismer är reguljära funktioner) är dubbel till kategorin ändligt genererade k - algebror utan nilpotenter . Upptäckten av denna ekvivalens var utgångspunkten för kretsteorin.

Rationella funktioner

Till skillnad från föregående underavsnitt kommer endast (icke reducerbara) algebraiska varianter att beaktas här. Å andra sidan kan dessa definitioner utvidgas till projektiva varieteter .

Om V  är en affin sort är dess koordinatring integral , och har därför ett fält av kvoter . Detta fält betecknas k ( V ) och kallas fältet för rationella funktioner på V. En rationell funktions domän är inte nödvändigtvis lika med hela V , utan är lika med komplementet till mängden där dess nämnare är lika med noll. På samma sätt som fallet med vanliga funktioner definieras en rationell mappning mellan varieteter, på samma sätt motsvarar rationella mappningar en-till-en homomorfismer av fält av rationella funktioner.

Två affina varianter sägs vara birationellt ekvivalenta om det finns två rationella mappningar mellan dem som är ömsesidigt inversa på deras domäner (motsvarande är de rationella funktionsfälten för dessa varieteter isomorfa).

En affin variant kallas en rationell variant om den är birationellt ekvivalent med ett affint utrymme. Med andra ord kan den parametriseras rationellt. Till exempel är enhetscirkeln en rationell kurva eftersom det finns funktioner

genom att specificera en rationell mappning från en linje till en cirkel kan man verifiera att den inversa mappningen också är rationell (se även Stereografisk projektion ).

Schemes

I slutet av 1950-talet gav Alexander Grothendieck en definition av schema och generaliserade begreppet en algebraisk variant. Ett affint schema är spektrumet för någon ring (i klassisk algebraisk geometri, polynomringar) tillsammans med en bunt av ringar på den (varje öppen mängd är associerad med rationella funktioner definierade vid varje punkt i mängden). Affina scheman bildar en kategori som är dubbel till kategorin kommutativa ringar , detta utökar dualiteten av algebraiska mängder och algebror utan nilpotenter. Allmänna scheman är resultatet av att limma ihop flera affina scheman (som topologiska utrymmen med Zariski-topologin ).

Verklig algebraisk geometri

Verklig algebraisk geometri  är studiet av verkliga algebraiska mängder, det vill säga verkliga lösningar av algebraiska ekvationer med verkliga koefficienter och avbildningar mellan dem.

Semi-algebraisk geometri  är studiet av semi-algebraiska mängder, det vill säga uppsättningar av reella lösningar på algebraiska ekvationer och olikheter med reella koefficienter, såväl som mappningar mellan dem.

Computational algebraic geometri

Gröbners grund

En Gröbner-bas är ett system av element som genererar ett givet ideal i en polynomring över ett fält (inte nödvändigtvis algebraiskt stängt); beräkningen av Gröbner-basen gör att man kan bestämma några egenskaper hos den algebraiska mängden V som definieras av detta ideal i en algebraiskt sluten förlängning (till exempel definierar ett ekvationssystem med reella koefficienter naturligt mängden komplexa tal som uppfyller alla ekvationer).

Information om Gröbnerbasen räcker inte för att beräkna nedbrytningen av en given mängd till irreducerbara komponenter, men det finns algoritmer för att lösa detta problem som också använder det.

I vissa fall är beräkningen av Gröbnerbasen ganska svår: i värsta fall kan den innehålla polynom vars grad beror som dubbelexponent (ett uttryck för formen ) på antalet variabler i polynomringen; antalet baselement kan växa i samma takt. Detta är dock en övre gräns för komplexitet, och i många fall kan dessa algoritmer användas för att arbeta med polynomringar i flera dussin variabler.

Historik

Bakgrund: före 1800-talet

Tecken på ursprunget till algebraisk geometri kan hittas i grekernas verk på 500-talet f.Kr. e. Till exempel, kubfördubblingsproblemet går ut på att konstruera en kub vars volym är lika med volymen av "lådan" för data a och b . Menechm tolkade detta problem geometriskt som att konstruera skärningspunkten mellan två koner : ay = x 2 och xy = ab . [3] I de senare verken av Arkimedes och Apollonius studeras koniska sektioner mer systematiskt, inklusive med hjälp av koordinater. Arabiska matematiker visste hur man löser vissa kubikekvationer och kunde tolka resultaten geometriskt. Den persiske matematikern Omar Khayyam (XI-talet) upptäckte ett sätt att lösa en allmän kubikekvation med hjälp av skärningspunkten mellan en cirkel och en parabel. [fyra]

De franska matematikerna François Viet och senare René Descartes och Pierre Fermat förändrade radikalt sättet att skapa geometriska konstruktioner och skapade analytisk geometri . Deras huvudsakliga mål var att studera algebraiska kurvor , såsom kurvor som ges av diofantiska ekvationer (i Fermats fall), koniska och kubiska (i Descartes fall). Ungefär samma period närmade sig Pascal och Desargues problemet från en annan vinkel och utvecklade projektiv geometri . Pascal och Desargues utforskade också kurvornas egenskaper, men bara ur en geometrisk synvinkel, med hjälp av kompass- och rakledskonstruktioner. I slutändan segrade analytisk geometri över detta tillvägagångssätt, eftersom det försåg 1700-talets matematiker med specifika beräkningsverktyg för att lösa fysiska problem med hjälp av ny analys . Som ett resultat, i slutet av 1700-talet, reducerades användningen av algebraiska metoder i geometri till användningen av infinitesimal kalkyl (i synnerhet användes den aktivt av Euler och Lagrange ).

1800-talet

Under 1800-talet bidrog utvecklingen av icke-euklidisk geometri och teorin om abelian integraler till att algebraiska idéer återvände till geometrin. Cayley var den första att undersöka homogena polynom på ett projektivt utrymme , i synnerhet kvadratiska former . Senare studerade Felix Klein projektiv geometri (liksom andra grenar av geometri) från synpunkten att rymdens geometri ges av en grupp av dess transformationer. I slutet av 1800-talet studerade geometrar inte bara projektiva linjära transformationer , utan också högre grad birational transformationer.

Utvecklingen av teorin om Abeliska integraler ledde till att Bernhard Riemann skapade teorin om Riemannska mångfalder. Med hjälp av integraler av det första slaget bevisade K. Schwartz att en kurva som släpper in en kontinuerlig grupp av birationella transformationer i sig själv är birationellt ekvivalent med en rak eller elliptisk kurva. Algebraisk geometri från andra hälften av 1800-talet representeras främst av den italienska skolan från Cremona till Enriques .

Under denna period började algebraiseringen av geometri att använda kommutativ algebra: i synnerhet David Hilbert bevisade sina satser på grund och Nullstellensatz.

1900-talet

Idéerna att konstruera algebraisk geometri på basis av kommutativ algebra , som utvecklades intensivt på 30- och 40-talen av XX-talet , går tillbaka till O. Zarisky och A. Weyl . Ett av deras mål var att bevisa resultaten av den italienska skolan: de italienska geometrarna från den perioden använde begreppet en "gemensam punkt" i sina bevis, utan någon strikt definition av det.

På 1950- och 60-talen omarbetade Jean-Pierre Serre och Alexander Grothendieck fullständigt grunderna för algebraisk geometri med tekniker från kärveteori, schemateori och homologisk algebra . På 1970-talet stabiliserades utvecklingen något, tillämpningar hittades till talteori och till mer klassiska frågor inom algebraisk geometri: studiet av singulariteter och moduler .

En viktig klass av algebraiska varianter som är svåra att beskriva med enbart definierande ekvationer är Abeliska sorter . Deras främsta exempel är elliptiska kurvor , som har en mycket omfattande teori. De har blivit ett verktyg för att bevisa Fermats sista teorem och används i elliptisk kryptografi .

Applikationer

Algebraisk geometri finner tillämpningar inom statistik [5] , kontrollteori [6] , robotik [7] , teori om felkorrigerande koder [8] och modellering [9] . Tillämpningar är också kända inom strängteori [10] , solitonteori [11] , spelteori [12] och matchningsteori [13] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Hartshorne, 1981 , sid. arton.
  2. ↑ Hartshorne, 1981 , sid. 22.
  3. ↑ Dieudonné, Jean. Den historiska utvecklingen av algebraisk geometri  (engelska)  // The American Mathematical Monthly  : journal. - 1972. - Vol. 79 , nr. 8 . - P. 827-866 . - doi : 10.2307/2317664 . — .
  4. ↑ Kline, M. (1972) Matematisk tanke från antiken till modern tid (volym 1). Oxford University Press. pp. 193-195.
  5. ↑ Mathias Drton, Bernd Sturmfels, Seth Sullivant (2009), föreläsningar om algebraisk statistik arkiverad 20 februari 2014 på Wayback Machine Springer, ISBN 978-3-7643-8904-8
  6. ↑ Peter L. Falb (1990), [1] Arkiverad 27 juni 2014 på Wayback Machine , Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-3454-3
  7. ↑ JM Selig (205), Geometric fundamentals of robotics Arkiverad 20 februari 2014 på Wayback Machine , Springer, ISBN 978-0-387-20874-9
  8. ↑ Michael A. Tsfasman, Serge G. Vlăduț, Dmitry Nogin (2007), Algebraic geometric codes: basic notions Arkiverad 20 februari 2014 på Wayback Machine , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4306-2
  9. ↑ Bert Jüttler, Ragni Piene (2007) Geometrisk modellering och algebraisk geometri Arkiverad 20 februari 2014 på Wayback Machine , Springer, ISBN 978-3-540-72184-0
  10. ↑ David A. Cox, Sheldon Katz (1999) Spegelsymmetri och algebraisk geometri Arkiverad 20 februari 2014 på Wayback Machine , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-2127-5
  11. ↑ I.M. Krichever och P.G. Grinevich, Algebraic geometri methods in soliton theory, Kapitel 14 i Soliton theory Arkiverad 20 februari 2014 på Wayback Machine , Allan P. Fordy, Manchester University Press ND, 1990, ISBN 978-0-14190-8
  12. ↑ Blume, L.E.; Zame, WR Den algebraiska geometrin för perfekt och sekventiell jämvikt  (engelska)  // Econometrica  : journal. - 1994. - Vol. 62 , nr. 4 . - s. 783-794 . — .  (inte tillgänglig länk)
  13. ↑ Richard Kenyon; Andrei Okounkov & Scott Sheffield (2003), Dimers och Amoebae, arΧiv : math-ph/0311005 [math-ph]. 

Litteratur

Länkar

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
 Matematikens grenar
Portal "Science"
Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra
Talteori ( aritmetik )
  • Portalen "Matematik"
  • Kategori "Matematik"