SL(2,R)

SL(2,R) eller SL 2 (R) är gruppen av reella 2 × 2 matriser med identitetsdeterminant :

{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right):a,b ,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ och }}ad-bc=1\right\}.

Gruppen är en enkel verklig Lie-grupp med tillämpningar inom geometri , topologi , representationsteori och fysik .

SL(2, R ) verkar på det komplexa övre halvplanet genom linjär-fraktionella transformationer. Gruppåtgärden faktoriserar på faktorgruppen PSL(2,R) ( projektiv speciell linjär grupp över R ). Mer exakt, $2\times 2$

{\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} )=\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )/\{{\pm }E\))

där E betecknar identitetsmatrisen . SL(2, R ) innehåller den modulära gruppen PSL(2, Z ). $2\times 2$

Dessutom är gruppen SL(2, R ) nära besläktad med den 2-faldiga täckningsgruppen Mp(2, R ), den metaplektiska gruppen (om vi betraktar SL(2, R ) som en symplektisk grupp ).

En annan relaterad grupp är gruppen av reella matriser med determinant . Den här gruppen används dock oftast inom ramen för den modulära gruppen . $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$ $2\times 2$ $\pm 1$

Beskrivning

SL(2, R ) är gruppen av alla linjära transformationer av utrymmet R 2 som bevarar det orienterade området . Gruppen är isomorf till den symplektiska gruppen Sp(2, R ) och till den generaliserade specialenhetsgruppen SU(1,1). Gruppen är också isomorf till gruppen coquaternions av enhetslängd. Gruppen behåller ett oorienterat område - den kan behålla orienteringen. $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$

PSL(2, R )-faktorn har flera intressanta beskrivningar:

Detta är gruppen av orienteringsbevarande projektiva transformationer av den verkliga projektiva linjen . ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \))$
Det är gruppen av konforma automorfismer i enhetscirkeln .
Detta är gruppen av orienteringsbevarande rörelser i det hyperboliska planet .
Detta är den begränsade Lorentz-gruppen i det tredimensionella Minkowski-utrymmet . På motsvarande sätt är den isomorf till den obestämda ortogonala gruppen SO + (1,2). Detta innebär att SL(2, R ) är isomorf till spinorgruppen Spin(2,1) + .

Elementen i den modulära gruppen PSL(2, Z ) har ytterligare tolkningar som element i gruppen SL(2, Z ) (som linjära transformationer av torus), och dessa representationer kan också betraktas i ljuset av den allmänna teorin om gruppen SL(2, R ).

Bråkdel linjär transformation

Elementen i gruppen PSL(2, R ) verkar på den verkliga projektiva linjen som linjär-fraktionella transformationer : ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \))$

x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d)).

Denna åtgärd liknar verkan av PSL(2, C ) på Riemann-sfären genom Möbius-transformationer . Åtgärden är begränsningen av verkan av gruppen PSL(2, R ) på det hyperboliska planet vid oändlighetens gräns.

Möbius transformation

Elementen i gruppen PSL(2, R ) verkar på det komplexa planet genom Möbius-transformationen:

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;\;(a,b,c,d\in \mathbf {R} )

Detta är exakt uppsättningen av Möbius-transformationer som bevarar den övre halvan av planet . Detta innebär att PSL(2, R ) är gruppen av konforma automorfismer i den övre halvan av planet. Enligt Riemanns kartläggningssats är denna grupp gruppen av konforma automorfismer i enhetscirkeln.

Dessa Möbius-transformationer fungerar som isometrier av modellen av den övre halvan av planet av hyperboliskt rymd, och motsvarande Möbius-transformationer av disken är hyperboliska isometrier av Poincaré-skivmodellen .

Formeln ovan kan också användas för att bestämma Möbiustransformen av dualer och dubblar . Motsvarande geometrier är i ett icke-trivialt samband [1] med Lobatsjovskijs geometri .

Bifogad vy

Gruppen SL(2, R ) verkar på sina Lie-algebras sl(2, R ) genom konjugation (kom ihåg att elementen i Lie-algebra också är 2 x 2 matriser), vilket ger en strikt 3-dimensionell linjär representation av gruppen PSL (2, R ). Detta kan alternativt beskrivas som verkan av gruppen PSL(2, R ) på ytor av kvadratiska former på R 2 . Resultatet är följande vy:

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d ^{2}\end{bmatrix}}.

Killing-formen på sl(2, R ) har signatur (2,1) och genererar en isomorfism mellan PSL(2, R ) och Lorentz-gruppen SO + (2,1). Denna verkan av gruppen PSL(2, R ) i Minkowski-utrymmet är begränsad till en isometrisk verkan av gruppen PSL(2, R ) på hyperboloidmodellen av det hyperboliska planet.

Klassificering av element

Egenvärdena för elementet uppfyller ekvationen för det karakteristiska polynomet $A\in \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )$

\lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0

Och därför

\lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4))}{2)).

Detta leder till följande klassificering av element med motsvarande verkan på det euklidiska planet:

Om |tr( A )|< 2, så kallas elementet (matrisen) A elliptisk och det är en rotation .
Om |tr( A )|= 2, så kallas elementet A paraboliskt och det är en förlängning av rummet.
Om |tr( A )|> 2, så kallas elementet A hyperboliskt och är en sammandragningskarta .

Namnen motsvarar klassificeringen av koniska sektioner efter excentricitet - om man definierar excentricitet som halva värdet av spåret ( . Dividering med 2 korrigerar effekten av dimensionalitet, medan det absoluta värdet motsvarar att ignorera tecknet (multiplikator ) när man arbetar med PSL (2, R )), vilket innebär: för elliptiskt element, för paraboliskt element, för hyperboliskt element. $\epsilon ={\tfrac {1}{2}}tr$ $\pm 1$ $\epsilon <1$ $\epsilon=1$ $\epsilon >1$

Identitetselementet 1 och det negativa elementet −1 (de är samma i PSL(2, R )), har trace , och är därför paraboliska element enligt denna klassificering, även om de ofta behandlas separat. $\pm2$

Samma klassificering används för SL(2, C ) och PSL(2, C ) ( Möbiustransformationer ) och PSL(2, R ) (riktiga Möbiustransformationer), med tillägg av "loxodromic" transformationer motsvarande komplexa spår. Liknande klassificeringar används på många andra ställen.

En undergrupp som innehåller elliptiska (respektive paraboliska och hyperboliska) element, plus identitetselementet och negativt för det, kallas en elliptisk undergrupp (respektive parabolisk undergrupp , hyperbolisk undergrupp ).

Denna klassificering sker efter delmängder , inte efter undergrupper - dessa mängder stängs inte genom multiplikation (produkten av två paraboliska element är inte nödvändigtvis parabolisk, till exempel). Alla element kombineras dock till 3 standardundergrupper med en parameter , som beskrivs nedan.

Topologiskt, eftersom spåret är en kontinuerlig karta, är elliptiska element (utan ) öppna , liksom hyperboliska element (utan ), medan paraboliska element (inklusive ) är stängda . $\pm 1$ $\pm 1$ $\pm 1$

Elliptiska element

Egenvärdena för ett elliptiskt element är både komplexa och är konjugerade värden på enhetscirkeln . Ett sådant element är konjugerat till en rotation av det euklidiska planet - de kan tolkas som rotationer på en (eventuellt) icke-ortogonal basis, och motsvarande element i gruppen PSL(2, R ) fungerar som en (konjugat) rotation av det hyperboliska planet och Minkowskirymden .

De elliptiska elementen i den modulära gruppen måste ha egenvärden , där är den primitiva 3:e, 4:e eller 6:e roten av enhet . De är alla beståndsdelar i en modulär grupp med ändlig ordning , och de verkar på torus som periodiska diffeomorfismer. ${\displaystyle \{\omega ,\omega ^{-1}\))$ $\omega$

Element med spår 0 kan kallas "cirkulära element" (liknar excentricitet), men detta används sällan. Dessa spår motsvarar element med egenvärden och motsvarar rotationer på , och kvadraten motsvarar - E - de är icke-identiska involutioner i PSL(2). $\pm jag$ $90^{\cirkel }$

Elliptiska element är konjugerade inom en undergrupp av rotationer av det euklidiska planet ortogonalt mot SO(2)-gruppen. Rotationsvinkeln är arccos - hälften av kurvan med rotationstecknet (rotation och dess invers är konjugerade i GL(2), men inte i SL(2).)

Paraboliska element

Ett paraboliskt element har bara ett egenvärde, som är antingen 1 eller −1. Ett sådant element fungerar som en rymdförlängning på det euklidiska planet, och motsvarande element i PSL(2, R ) fungerar som en rotationsbegränsning på det hyperboliska planet och som en nollrotation av Minkowski-rummet .

De paraboliska elementen i den modulära gruppen fungerar som Denat torus-vridningar.

Paraboliska element är konjugerade i 2-komponentgruppen av standardskiften : . Faktum är att de alla är konjugerade (i SL(2)) till en av de fyra matriserna , (i GL(2) eller , kan utelämnas, men inte i SL(2). $\times {\pm }E$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\lambda \\&1\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm E\}$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\pm 1\\&1\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}-1&\pm 1\\&-1\end{smallmatrix}}\right)$ $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\pm$

Hyperboliska element

Egenvärdena för ett hyperboliskt element är reella och motsatta. Ett sådant element fungerar som en sammandragningskarta det euklidiska planet, och motsvarande element i PSL(2, R ) fungerar som en parallell translation av det hyperboliska planet och som en Lorentz-boost i Minkowski-rymden .

De hyperboliska elementen i den modulära gruppen fungerar som diffeomorfismer av Anosov- torus.

Hyperboliska element faller in i en 2-komponents grupp av standardkontraktioner : ; den hyperboliska vinkeln för den hyperboliska rotationen anges som arcosh för hälften av spåret, men tecknet kan vara antingen positivt eller negativt, i motsats till det elliptiska fallet. Kompression och dess inversa transformation är konjugerade i SL₂ (genom rotation i axlar, för standardaxlar utförs rotation på ). $\times {\pm }E$ $\left({\begin{smallmatrix}\lambda \\&\lambda ^{-1}\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm E\}$ $90^{\cirkel }$

Konjugationsklasser

Enligt Jordans normala form klassificeras matriser upp till konjugation (i GL( n , C )) efter egenvärden och nilpotens (specifikt betyder nilpotens där 1:orna finns i Jordan-celler). Sådana element i SL(2) klassificeras upp till konjugation i GL(2) ( ) genom spår (eftersom determinanten är fixerad, och spår och determinant bestäms av egenvärden), förutom när egenvärdena är lika, så elementen är lika och paraboliska är elementen i spår +2 och spår −2 inte konjugerade (det förra har inga off-diagonala element i Jordan-form, medan det senare har). $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\pm E$

Fram till konjugation i SL(2) (istället för GL(2)) finns ytterligare information som motsvarar orienteringen – medurs och moturs (ellipsformade) rotationer är inte konjugerade, inte positiva eller negativa skjuvningar, som beskrivits ovan. Sedan för ett absolut spårvärde mindre än 2, finns det två konjugerade klasser för varje spår (rotationer medurs eller moturs). För ett absolut spårvärde på 2 finns det tre konjugerade klasser för varje spår (positivt skift, nollskift, negativt skift). För ett absolut spårvärde som är större än 2 finns det en konjugationsklass för ett givet spår.

Topologisk och universell täckning

Som ett topologiskt utrymme kan PSL(2, R ) beskrivas som enhetens tangentbunt det hyperboliska planet. Det är en bunt på cirklar och har en naturlig kontaktstruktur som genereras av den symplektiska strukturen på det hyperboliska planet. Gruppen SL(2, R ) är en 2-faldig täckning av gruppen PSL(2, R ) och kan betraktas som en bunt av spinorer på det hyperboliska planet.

Grundgruppen i gruppen SL(2, R ) är en finit cyklisk grupp Z . Den universella täckande gruppen , betecknad , är ett exempel på en ändlig dimensionell Lie-grupp som inte är en matrisgrupp . Det vill säga, det tillåter inte en exakt finitdimensionell representation av . ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Som ett topologiskt utrymme är en linjebunt över det hyperboliska planet. Om utrymmet är försett med ett vänsterinvariant mått , blir 3-manifolden en av de åtta Thurston-geometrierna . Till exempel är en universell täckning av enhetens tangentbunt för vilken hyperbolisk yta som helst . Varje grenrör som modelleras på är orienterbart och är en cirkelbunt över någon tvådimensionell hyperbolisk orbifold ( Seifert-bunt ). ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Med en sådan täckning är den omvända bilden av modulgruppen PSL(2, Z ) flätgruppen på 3 generatorer, B 3 , som är den universella centrala förlängningen av modulgruppen. De är gitter inuti motsvarande algebraiska grupper, och detta motsvarar den algebraiskt universella täckande gruppen i topologi.

En 2-faldig täckande grupp kan kallas Mp(2, R ), den metaplektiska gruppen , om SL(2, R ) förstås vara den symplektiska gruppen av Sp(2, R ).

Ovanstående grupper bildar sekvensen:

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).

Det finns dock andra grupper som täcker gruppen PSL(2, R ) som motsvarar alla n så att , så att de bildar ett gitter av täckande grupper genom delbarhet. De är en täckning av SL(2, R ) om och endast om n är jämnt. $n\mathbf {Z} <\mathbf {Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ))$

Algebraisk struktur

Gruppcentret SL(2, R ) är en tvåelementsgrupp och faktorn PSL(2, R ) är en enkel grupp. $\{\pm 1\}$

Diskreta undergrupper av gruppen PSL(2, R ) kallas fuchsiska grupper . De är den hyperboliska motsvarigheten till de euklidiska tapetgrupperna och gränsgrupperna . Den mest kända av dessa är den modulära gruppen PSL(2, Z ), som verkar på plattsättningen av det hyperboliska planet av ideala trianglar .

Gruppen U(1) , som kan ses som SO(2) , är en maximal kompakt undergrupp av SL(2, R ) och cirkeln är en maximal kompakt undergrupp av PSL(2, R ). ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)/\{\pm 1\))$

Schur-multiplikatorn för den diskreta gruppen PSL(2, R ) är mycket större än gruppen Z och den universella centrala förlängningen är mycket större än den universella täckande gruppen. Dessa stora centrala förlängningar tar dock inte hänsyn till topologi och är något patologiska.

Representationsteori

SL(2, R ) är en verklig icke-kompakt enkel Lie-grupp och är en delad verklig form av den komplexa Lie-gruppen SL(2, C ). Lie-algebra i gruppen SL(2, R ), betecknad som sl(2, R ), är algebra för alla reella, spårlösa [2] matriser. Detta är en Bianchi-algebra av typ VIII. $2\times 2$

Den finita dimensionella representationsteorin för gruppen SL(2, R ) är ekvivalent med representationsteorin SU(2) , som är den kompakta reella formen av gruppen SL(2, C ). I synnerhet har SL(2, R ) inga icke-triviala änddimensionella enhetsrepresentationer. Detta är en egenskap för alla anslutna enkla icke-kompakta Lie-grupper. För en översikt över beviset, se artikeln "Icke-enhetlig representation" .

Den oändliga dimensionella representationsteorin för gruppen SL(2, R ) är mycket intressant. Gruppen har flera familjer av enhetliga representationer, som utvecklades i detalj av Gelfand och Naimark (1946), V. Bargman (1947) och Harish-Chandra (1952).

Se även

Anteckningar

↑ Kisil, 2012 , sid. xiv+192.
↑ En spårlös matris är en matris vars spår är 0.

Litteratur

Valentin Bargmann. Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group // Annals of Mathematics . - 1947. - T. 48 , nr. 3 . — S. 568–640 . - doi : 10.2307/1969129 . — .
Gelfand I.M., Naimark M.A. Enhetsrepresentationer av Lorentz-gruppen // Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Ser. Matem .. - 1947. - T. 11 , nr. 5 . — S. 411–504 .
Harish Chandra. Plancherel formel för den verkliga unimodulära gruppen // Proc. Natl. Acad. sci. USA. - 1952. - T. 38 . — S. 337–342 . - doi : 10.1073/pnas.38.4.337 . — PMID 16589101 . $2\times 2$
Serge Lang. . - New York: Springer-Verlag, 1985. - V. 105. - ISBN 0-387-96198-4 . - doi : 10.1007/978-1-4612-5142-2 . $\mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )$
- Leng S. / Översatt från engelska av V.I. Vasyunin och M.A. Semyonov-Tjan-Shansky; Redigerat av A.A. Kirillov. - Moskva: Mir, 1977. $SL_{2}(R)$
William Thurston. Tredimensionell geometri och topologi. Vol. 1. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. - V. 35. - ISBN 0-691-08304-5 .
Vladimir V. Kisil. Möbiustransformationers geometri. Elliptiska, paraboliska och hyperboliska effekter av SL(2,R). - London: Imperial College Press, 2012. - ISBN 978-1-84816-858-9 . - doi : 10.1142/p835 .

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform