Analys (en gren av matematiken)

Analys som en modern gren av matematiken är en betydande del av matematiken , som historiskt växte fram ur klassisk matematisk analys , och, förutom differential- och integralkalkyl , som ingår i den klassiska delen, omfattar sådana avsnitt som funktionsteorin av reell och komplex variabel , teori för differentialekvationer och integralekvationer , variationskalkyl , harmonisk analys , funktionell analys , teori om dynamiska system och ergodisk teori , global analys . Icke-standardanalys  är en sektion i skärningspunkten mellan matematisk logik och analys, som tillämpar modellteorins metoder för alternativ formalisering, främst av klassiska sektioner.

Det anses vara ett av matematikens tre huvudområden, tillsammans med algebra och geometri . Det främsta utmärkande kännetecknet för analys i jämförelse med andra områden är närvaron av funktioner hos variabler som ett studieämne. Samtidigt, om de elementära delarna av analysen i läroplaner och material ofta kombineras med elementär algebra (till exempel finns det många läroböcker och kurser som kallas "Algebra och analysens början"), så använder modern analys till stor del metoderna för moderna geometriska sektioner, främst differentialgeometri och topologi .

Historik

Separera utlöpare från "analysen av infinitesimals", såsom teorin om vanliga differentialekvationer ( Euler , Johann Bernoulli , D'Alembert ), variationskalkylen (Euler, Lagrange ), teorin om analytiska funktioner (Lagrange, Cauchy , senare Riemann ), började separera ännu mer under XVIII - första hälften av XIX-talet. Början av analysens bildande som en självständig modern sektion anses dock vara verken från mitten av 1800-talet om formaliseringen av den klassiska analysens nyckelbegrepp - reellt tal , funktion , gräns , integral , främst i verk av Cauchy och Bolzano , och fick en färdig form av 1870-1880 åren i verk av Weierstrass , Dedekind och Cantor [1] . I detta avseende bildades teorin om funktioner för en reell variabel och, i utvecklingen av metoder för att arbeta med analytiska funktioner, teorin om funktioner för en komplex variabel . Den naiva mängdteorin som skapades av Cantor i slutet av 1800-talet gav impulser till framväxten av begreppen metriska och topologiska utrymmen, vilket avsevärt förändrade hela analysverktyget, höjde abstraktionsnivån för de föremål som studerades och flyttade fokus. från reella tal till icke-numeriska begrepp.

I början av 1900-talet, främst av krafterna från den franska matematikskolan ( Jordan , Borel , Lebesgue , Baer ), skapades måttteori , tack vare vilken begreppet en integral generaliserades, och teorin om funktioner för en reell variabel konstruerades också . Också i början av 1900-talet började funktionsanalys bildas som en självständig underavdelning av modern analys, som studerade topologiska vektorrum och deras kartläggningar . Termen "funktionell analys" introducerades av Hadamard och betecknar en gren av variationskalkylen som utvecklades vid 1800- och 1900-talens vändning av en grupp italienska och franska matematiker (inklusive Volterra , Artsela ). År 1900 publicerade Fredholm en artikel om integralekvationer, som gav impulser både till utvecklingen av teorin om integralekvationer och den allmänna teorin om integration ( Lebesgue ), och till bildandet av funktionsanalys [2] . År 1906 skisserade Hilbert spektralteorin , samma år publicerades Fréchets arbete , där abstrakta metriska utrymmen infördes i analys för första gången [3] . På 1910-1920-talen förfinades begreppen separerbarhet och allmänna topologiska metoder tillämpades först för analys ( Hausdorff ), funktionsrum behärskades och bildandet av en allmän teori om normerade rum började (Hilbert, Rees , Banach , Hahn ) . Under perioden 1929-1932 bildades en axiomatisk teori om Hilbert-rum ( John von Neumann , Marshall Stone , Rees). År 1936 formulerade Sobolev begreppet en generaliserad funktion (senare på 1940-talet kom Laurent Schwartz , oberoende av honom, till ett liknande begrepp ), som fick stor spridning i många delar av analysen och fick bred tillämpning i tillämpningar (till exempel Dirac funktionen är generaliserad ). Under 1930-1950-talet erhölls betydande resultat inom funktionsanalys genom användning av allmänna algebraiska verktyg ( vektorgitter , operatoralgebras , Banach-algebras ).

I mitten av 1900-talet fick sådana områden som teorin om dynamiska system och ergodisk teori ( George Birkhoff , Kolmogorov , von Neumann) oberoende utveckling, resultaten av harmonisk analys generaliserades signifikant genom användning av allmänna algebraiska medel - topologiska grupper och representationer ( Weil , Peter , Pontryagin ). Från 1940- till 1950-talet, användes metoderna för funktionell analys inom tillämpade områden, i synnerhet i Kantorovichs verk på 1930- och 1940-talen användes funktionella analysverktyg i beräkningsmatematik och ekonomi ( linjär programmering ). På 1950-talet, i verk av Pontryagin och studenter, skapades teorin om optimal kontroll i utvecklingen av metoderna för variationskalkyl .

Med början från 1900-talets andra hälft, med utvecklingen av differentiell topologi , anslöt sig en ny riktning analys - analys av grenrör , kallad "global analys" , som faktiskt började bildas tidigare, på 1920-talet, inom ramarna av morseteorin som en generalisering av variationskalkylen (kallad morse "variationskalkyl i allmänhet", engelska variationskalkyl i stort ). Detta område inkluderar sådana områden som skapats i utvecklingen av teorin om bifurkationer av dynamiska system ( Andronov ) som teorin om singulariteter ( Whitney , 1955 ) och teorin om katastrofer ( Tom , 1959 och Mather , 1965 ), som utvecklades i 1970-talet i verk av Zieman och Arnold .  

I början av 1960-talet skapade Robinson icke-standardiserad analys  - en alternativ formalisering av både klassiska och relaterade analysområden med hjälp av modellteoretiska verktyg . Om icke-standardiserad analys till en början endast betraktades som en logisk teknik för att underbygga begrepp som var dåligt formaliserade i de klassiska avsnitten (först av allt, oändligt stora och oändligt små kvantiteter ), så med utvecklingen i slutet av 1970-talet av Nelson ( engelska Edward Nelson ) av teorin om interna mängder och efterföljande generaliseringar visade det sig att konstruktionerna av icke-standardiserad analys är tillämpliga i nästan alla grenar av matematiken, som naturligt inneboende i alla matematiska objekt [4] . Dessutom, på grund av uttrycksfullheten hos språket för icke-standardanalys, visade dess medel resultat som inte hittades i klassisk analys, men samtidigt, i princip, kunde erhållas med vanliga, klassiska medel [5] . Också under 1970-1980-talet, i utvecklingen av forceringsmetoden (skapad av Cohen för att bevisa kontinuumhypotesens obestämbarhet i ZFC ), i verk av Solovay , Scott och Vopěnka ( tjeck. Petr Vopěnka ), teorin om Boolean värderade modeller utvecklades , på grundval av vilka en oberoende gren av icke-standardiserad analys tog form - Boolean värderad analys [6] .  

Klassisk matematisk analys

Klassisk matematisk analys - ett avsnitt som faktiskt helt motsvarar den historiska " analysen av infinitesimals ", består av två huvudkomponenter: differential- och integralkalkyl . Huvudbegreppen är gränsen för en funktion , differential , derivata , integral , huvudresultaten är Newton-Leibniz formel , som förbinder den bestämda integralen och antiderivatan , och Taylor-serien är  serieexpansionen av en oändligt differentierbar funktion i grannskapet av en punkt.

Termen "matematisk analys" brukar förstås som detta klassiska avsnitt, medan det främst används i läroplaner och material. Samtidigt ingår studiet av analysens grunder i de flesta gymnasieutbildningar och en mer eller mindre komplett studie av ämnet ingår i de första årens högskoleutbildningar för en lång rad specialiteter, bl.a. många humaniora. I den angloamerikanska utbildningstraditionen används termen "calculus" ( engelsk  calculus ) för att hänvisa till klassisk matematisk analys .

Funktionsteorin för en reell variabel

Funktionsteorin för en reell variabel (ibland kallad kortfattat - funktionsteorin ) uppstod som ett resultat av formaliseringen av begreppen ett reellt tal och en funktion [7] : om i de klassiska analysavsnitten bara funktioner som uppstår i specifika problem betraktades på ett naturligt sätt, sedan i funktionsteorin blir funktionerna själva föremål för studier, deras beteende, korrelationer mellan deras egenskaper undersöks. Ett av resultaten som illustrerar särdragen i funktionsteorin för en reell variabel [8]  är det faktum att en kontinuerlig funktion kanske inte har en derivata vid någon punkt (desutom, enligt tidigare idéer om klassisk matematisk analys, differentierbarheten av alla kontinuerliga funktioner ifrågasattes inte).

Huvudriktningarna för teorin om funktioner för en reell variabel [9] :

Funktionsteorin för en komplex variabel

Ämnet för studier av teorin om funktioner för en komplex variabel är numeriska funktioner definierade på det komplexa planet eller komplexa euklidiska rymden , medan de mest grundligt studerade är analytiska funktioner som spelar en viktig sammanbindande roll för nästan alla grenar av matematisk analys. I synnerhet har begreppet analytisk funktion generaliserats för godtyckliga Banach-utrymmen , så många resultat av teorin om funktioner för en komplex variabel har generaliserats i funktionell analys.

Funktionsanalys

Funktionsanalys som sektion kännetecknas av närvaron som ett studieobjekt av topologiska vektorrum och deras kartläggningar med olika algebraiska och topologiska villkor som åläggs dem [11] . Funktionsutrymmen spelar en central roll i funktionsanalys, ett klassiskt exempel är utrymmena för alla mätbara funktioner , vars grad är integrerbar; dessutom är det redan  ett oändligt dimensionellt rum ( Hilbert-rum ), och rum med oändliga dimensioner är inneboende i funktionsanalys i en sådan utsträckning att ibland definieras hela avsnittet som en del av matematiken som studerar oändliga dimensionella rum och deras avbildningar [12] . Den viktigaste formen av utrymmen i de klassiska sektionerna av funktionell analys är Banach-utrymmen  - normerade vektorrum, kompletta i metriken som genereras av normen: en betydande del av utrymmen som är intressanta i praktiken är sådana, bland dem är alla Hilbert-utrymmen, utrymmen , Hardy utrymmen , Sobolev utrymmen . En viktig roll i funktionell analys spelas av algebraiska strukturer som är Banach spaces - Banach lattices och Banach algebras (inklusive --algebras , von Neumann algebras ).

Operatörsteori , som studerar avgränsade linjära operatorer  , är en viktig underavdelning av funktionell analys, inklusive spektralteori , teorier för olika klasser av operatorer (i synnerhet kompakt , Fredholm , slutna operatorer), teorin om operatorer på speciella normerade utrymmen (på Hilbert) utrymmen - självsammanhängande , normala , enhetliga , positiva operatorer, på funktionella rum - differential- , pseudo -differential- , integral- och pseudo -integraloperatorer och andra), teorin om invarianta delrum , teorin om klasser av operatorer - operatoralgebror , operator semigrupper och andra.

Variationskalkyl

Huvudobjektet för studier av variationskalkylen är variationerna av funktionaler , med hjälp av vilka extrema problem löses, beroende på valet av en eller flera variabla funktioner. Ett typiskt variationsproblem är att hitta en funktion som uppfyller stationaritetsvillkoret för en viss funktionell, det vill säga en funktion vars oändliga störningar inte orsakar en förändring i det funktionella, åtminstone i den första ordningen av litenhet. Den klassiska variationskalkylen hade ett stort instrumentellt inflytande på många grenar av fysiken ( mekanikens variationsprinciper fann också bred tillämpning inom elektrodynamik , kvantmekanik ). Teorin om optimal styrning  är tillämpningen av metoderna för beräkning av variationer för en mycket bredare klass av problem: bestämning av de bästa parametrarna för system under förhållanden när styrparametrarna också kan anta gränsvärden.

Övertonsanalys

Huvudprincipen för harmonisk analys är att reducera analysproblem till studiet av verktyg för harmoniska funktioner och deras generaliseringar. Klassisk övertonsanalys inkluderar som det huvudsakliga medlet för teorin om trigonometriska serier , Fouriertransformer , nästan periodiska funktioner , Dirichlet-serien [13] .

I abstrakt harmonisk analys generaliseras klassiska metoder till abstrakta strukturer med begrepp som Haarmåttet och grupprepresentationer [14] . Det viktigaste resultatet av kommutativ övertonsanalys är Pontryagins dualitetssats , på grund av vilken nästan alla klassiska resultat av övertonsanalys beskrivs med relativt enkla allmänna algebraiska medel. En vidareutveckling av teorin är icke-kommutativ harmonisk analys, som har viktiga tillämpningar inom kvantmekaniken .

Differentialekvationer och integralekvationer

I samband med differentialekvationer särskiljs två huvudriktningar i analysen - teorin om vanliga differentialekvationer och teorin om partiella differentialekvationer (i utbildningsmaterial och vissa klassificeringar som visas som "ekvationer för matematisk fysik", sedan studiet av en sådan klass av ekvationer är huvudinnehållet i matematisk fysik ).

I teorin om integralekvationer , förutom de klassiska lösningsmetoderna, finns det områden som Fredholm-teorin , som hade en betydande inverkan på bildandet av funktionsanalys som en oberoende sektion, i synnerhet bidrog till bildandet av begreppet Hilbert utrymme .

Teori om dynamiska system och ergodisk teori

Från de huvudsakliga studieområdena för differentialekvationer framträdde teorin om dynamiska system , som studerar mekaniska systems utveckling i tid, och ergodisk teori , som syftar till att underbygga statistisk fysik , som oberoende avsnitt . Trots problemens tillämpade karaktär inkluderar dessa avsnitt ett brett utbud av begrepp och metoder av generell matematisk betydelse, i synnerhet sådana är begreppen stabilitet och ergodicitet .

Global analys

Global analys  är en analysgren som studerar funktioner och differentialekvationer på grenrör och vektorbuntar [15] ; ibland kallas denna riktning för "analys på grenrör".

Ett av de första områdena för global analys är Morse-teorin och dess tillämpning på problem med geodetik på Riemannska grenrör ; riktning kallades "variationskalkyl i allmänhet". De huvudsakliga resultaten är Morse-lemma , som beskriver beteendet hos släta funktioner på släta grenrör vid icke-degenererade singulära punkter, och en sådan homotopi-invariant som kategorin Lyusternik-Shnirelman . Många av konstruktionerna och påståendena är generaliserade till fallet med oändligt dimensionella grenrör ( Hilbert manifolds , Banach manifolds ). Resultaten som erhållits inom ramen för den globala analysen av singular punkter har funnit bred tillämpning för att lösa rent topologiska problem, som till exempel Botts periodicitetssats , som till stor del tjänade som grund för en oberoende sektion av matematik - teori , såväl som satsen om -kobordism , en konsekvens av vilket är uppfyllandet av Poincaré-förmodan för dimensioner större än 4.

Ett annat stort block av områden av global analys som har använts i stor utsträckning inom fysik och ekonomi är teorin om singulariteter , teorin om bifurkationer och teorin om katastrofer ; den huvudsakliga forskningsriktningen i detta block är klassificeringen av beteendet hos differentialekvationer eller funktioner i närheten av kritiska punkter och identifiering av karakteristiska egenskaper hos motsvarande klasser.

Icke-standardiserad analys

Icke-standardiserad analys är formaliseringen av analysens nyckelbegrepp med hjälp av matematisk logik , huvudidén är den formella aktualiseringen av oändligt stora och oändligt små värden, och den logiska formaliseringen av manipulationer med dem. Samtidigt visar sig icke-standardiserade analysverktyg vara mycket bekväma: de fick resultat som inte tidigare hittats med klassiska medel på grund av bristande synlighet [5] .

Icke-standardiserad analys är uppdelad i två områden: semantisk, med modellteoretiska verktyg, och syntaktisk, med användning av olika förlängningar av standardmängdsteori . Den semantiska riktningen är baserad på den lokala Maltsev-satsen , som gör det möjligt att överföra egenskaper från lokala delar av modeller till hela modellen [16] . Det finns en stor oberoende gren av den semantiska riktningen för icke-standardanalys - boolesk värderad analys, konstruerad kring konceptet med en boolesk värderad modell [17] . Den syntaktiska riktningen är baserad på teorin om interna mängder , vars nyckelidé är introduktionen av begreppet icke-standardiserade element och standarditetspredikatet och axiomatiseringen av deras inneboende egenskaper. En annan variant av syntaktisk formalisering är alternativ mängdteori [18] .

Applikationer

Anteckningar

  1. ↑ Matematik, 1956 , §7. Modern matematik // A. D. Aleksandrov, sid. 55.
  2. ↑ Dieudonné, 1981 , §1. Fredholms upptäckt, sid. 97.
  3. ↑ Dieudonné, 1981 , kapitel V. Avgörande år och definition av Hilbert-utrymme, sid. 97.
  4. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , ... icke-standardiserad analys ansågs vara en ganska subtil och till och med exotisk logisk teknik utformad för att rättfärdiga metoden med faktiska oändligt stora och oändligt små tal <...> I slutet av 70-talet, efter publiceringen av teorin om interna mängder av E. Nelson (och något senare teorierna om externa mängder av K. Hrbachek och T. Kawai) berikades och förändrades synen på platsen och rollen för icke-standardiserad analys radikalt. I ljuset av nya upptäckter har det blivit möjligt att betrakta icke-standardiserade element <...> som integrerade delar av alla välbekanta matematiska objekt. En attityd uppstod, bestående av det faktum att varje uppsättning bildas av standard- och icke-standardelement, sid. viii.
  5. ↑ 1 2 Analys (sektion av matematik) - artikel från Mathematical Encyclopedia . Dragalin A. G. Med hjälp av N. a. en rad nya fakta upptäcktes. Många klassiska. bevis gynnas märkbart i tydlighet när de presenteras med metoder för icke-standardiserad analys
  6. ↑ A. G. Kusraev, S. S. Kutateladze. Introduktion till boolesk analys. — M .: Nauka, 2005. — 526 sid. — ISBN 5-02-033710-2 .
  7. ↑ TSB, Mathematics, 1978 , Som ett resultat av den systematiska konstruktionen av matematisk analys på grundval av en rigorös aritmetisk teori för irrationella tal och mängdlära, uppstod en ny gren av matematiken - teorin om funktioner för en reell variabel.
  8. ↑ TSB, Mathematics, 1978 , för teorin om funktioner för en reell variabel, är intresset för att fullständigt klargöra den reella omfattningen av de allmänna analysbegreppen typiskt (i början av dess utveckling, B. Bolzano och senare K. Weierstrass, till exempel, fann att en kontinuerlig funktion kanske inte har en derivata av någondera vid en punkt).
  9. ↑ Funktionsteori // Stora sovjetiska encyklopedin  : [i 30 volymer]  / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M .  : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
  10. ↑ Matematik, 1956 , §7. Modern matematik // A. D. Alexandrov), sid. 56.
  11. ↑ Dieudonné, 1981 , Man kan ge många definitioner av "funktionell analys". Dess namn kan antyda att den innehåller alla delar av matematiken som handlar om funktioner, men det skulle praktiskt taget betyda all matematisk analys. Vi kommer att anta en snävare definition: för oss kommer det att vara studiet av topologiska vektorrum och av avbildningar från en del av ett topologiskt vektorrum till ett topologiskt vektorrum , varvid dessa avbildningar antas uppfylla olika algebraiska och topologiska villkor, sid. ett.
  12. ↑ Funktionsanalys // Great Soviet Encyclopedia  : [i 30 volymer]  / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M .  : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
  13. ↑ Harmonisk analys - artikel från Encyclopedia of Mathematics . E.M. Nikitin
  14. ↑ Abstrakt harmonisk analys - artikel från Mathematical Encyclopedia . E. A. Gorin, A. I. Stern
  15. ↑ Smale S. Vad är global analys?  (engelska)  // American Mathematical Monthly. - 1969. - Vol. 76 , nr. 1 . - S. 4-9 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2316777 .
  16. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , A. Robinson förlitade sig på A. I. Maltsevs lokala sats, och pekade ut det som ett resultat av "fundamental signifikans för vår teori", sid. elva.
  17. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , sid. xi.
  18. ↑ P. Vopenka. Mathematics in the Alternative Set Theory = Mathematics in The Alternative Set Theory / översatt av A. Dragalin. — M .: Mir, 1983. — 152 sid. — (Ny i utländsk matematik). - 6000 exemplar.

Litteratur

  Gå till Wikidata-objektet  Ordböcker och uppslagsverk
 Matematikens grenar
Portal "Science"
Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra
Talteori ( aritmetik )
  • Portalen "Matematik"
  • Kategori "Matematik"