Maxwells ekvationer

Maxwells ekvationer är ett ekvationssystem i differential- eller integralform som beskriver det elektromagnetiska fältet och dess förhållande till elektriska laddningar och strömmar i vakuum och kontinuerliga medier . Tillsammans med uttrycket för Lorentz-kraften, som specificerar måttet på inverkan av ett elektromagnetiskt fält på laddade partiklar, bildar dessa ekvationer ett komplett system av ekvationer av klassisk elektrodynamik , ibland kallade Maxwell-Lorentz-ekvationer. Ekvationerna formulerade av James Clerk Maxwell på grundval av de experimentella resultat som ackumulerades vid mitten av 1800-talet spelade en nyckelroll i utvecklingen av begreppen teoretisk fysik och hade ett starkt, ofta avgörande inflytande, inte bara på alla fysikområden. direkt relaterad till elektromagnetism , men också på många senare uppkomna grundläggande teorier, vars ämne inte reducerades till elektromagnetism (ett av de tydligaste exemplen här är den speciella relativitetsteorin ).

Historik

Ekvationerna formulerade av James Clerk Maxwell uppstod från ett antal viktiga experimentella upptäckter som gjordes i början av 1800-talet . År 1820 upptäckte Hans Christian Oersted [1] att en galvanisk ström som passerade genom en tråd får magnetnålen på en kompass att avvika. Denna upptäckt väckte stor uppmärksamhet av den tidens forskare. Samma år 1820 hittade Biot och Savart experimentellt ett uttryck [2] för den magnetiska induktion som genereras av strömmen ( Biot-Savart-lagen ), och André Marie Ampère upptäckte också att en interaktion på avstånd sker mellan två ledare genom vilka en ström passerar. Ampere introducerade termen " elektrodynamisk " och lade fram hypotesen att naturlig magnetism är associerad med förekomsten av cirkulära strömmar i magneten [3] .

Effekten av ström på en magnet, upptäckt av Oersted, ledde Michael Faraday till idén att det måste finnas en omvänd effekt av en magnet på strömmar. Efter långa experiment, 1831 , upptäckte Faraday att en magnet som rörde sig nära en ledare genererar en elektrisk ström i ledaren . Detta fenomen har kallats elektromagnetisk induktion . Faraday introducerade begreppet " kraftfält " - ett visst medium som ligger mellan laddningar och strömmar . Hans argument var av kvalitativ karaktär, men de hade en enorm inverkan på Maxwells forskning.

Efter Faradays upptäckter stod det klart att de gamla modellerna för elektromagnetism ( Ampère , Poisson , etc.) var ofullständiga. Webers teori , baserad på långdistanshandling , dök snart upp . Men vid det här laget handlade all fysik, förutom gravitationsteorin , endast kortdistansverkan (optik, termodynamik, kontinuummekanik, etc.). Gauss , Riemann och ett antal andra forskare spekulerade i att ljus har en elektromagnetisk natur, så att teorin om elektromagnetiska fenomen också borde baseras på kortdistansinteraktion. Denna princip blev ett väsentligt inslag i Maxwells teori.

I sin berömda "Treatise on Electricity and Magnetism" ( 1873 ) skrev Maxwell [4] :

När jag började studera Faradays arbete fann jag att hans metod för att förstå fenomen också var matematisk, även om den inte representerades i form av vanliga matematiska symboler. Jag fann också att denna metod kan uttryckas i den vanliga matematiska formen och därmed jämföras med professionella matematikers metoder.

Genom att ersätta Faradays term "fält av krafter" med begreppet "fältstyrka", gjorde Maxwell det till huvudobjektet för sin teori [5] :

Om vi accepterar denna miljö som en hypotes, tror jag att den bör inta en framträdande plats i våra studier, och att vi bör försöka konstruera en rationell idé om alla detaljer i dess funktion, vilket har varit mitt ständiga mål i detta avhandling.

Ett sådant elektrodynamiskt medium var ett helt nytt koncept för newtonsk fysik. Den senare studerade samspelet mellan kroppar med massa. Maxwell, å andra sidan, skrev ner ekvationerna som mediet måste lyda, vilket bestämmer samspelet mellan laddningar och strömmar och existerar även i deras frånvaro.

Genom att analysera kända experiment fick Maxwell ett ekvationssystem för elektriska och magnetiska fält. År 1855, i sin allra första artikel " On Faraday's Lines of Force" [6] ("On Faraday's Lines of Force" [7] ), skrev han först ner systemet med ekvationer för elektrodynamiken i differentialform, men utan att introducera förskjutningen nuvarande ännu . Ett sådant ekvationssystem beskrev alla experimentella data som var kända vid den tiden, men tillät inte att relatera laddningar och strömmar till varandra och att förutsäga elektromagnetiska vågor [8] . För första gången introducerades förskjutningsströmmen av Maxwell i verket " On Physical Lines of Force" [9] ("On Physical Lines of Force" [10] ), bestående av fyra delar och publicerat 1861-1862. Genom att generalisera Ampères lag introducerar Maxwell förskjutningsström , förmodligen för att relatera strömmar och laddningar genom en kontinuitetsekvation , som redan var känd för andra fysiska storheter [8] . Följaktligen slutfördes i denna artikel formuleringen av det kompletta ekvationssystemet för elektrodynamik faktiskt. I uppsatsen från 1864 " A dynamical theory of the electromagnetic field" [ 12] övervägdes det tidigare formulerade ekvationssystemet med 20 ekvationer för 20 okända. I den här artikeln formulerade Maxwell först konceptet med ett elektromagnetiskt fält som en fysisk verklighet som har sin egen energi och ändliga utbredningstid, vilket bestämmer den fördröjda karaktären av den elektromagnetiska interaktionen [8] .

Det visade sig att inte bara strömmen utan också det elektriska fältet som förändras med tiden (förskjutningsström) genererar ett magnetfält . I sin tur, på grund av Faradays lag , genererar det föränderliga magnetfältet igen ett elektriskt. Som ett resultat kan en elektromagnetisk våg fortplantas i tomt utrymme . Av Maxwells ekvationer följde det att dess hastighet är lika med ljusets hastighet , så Maxwell drog slutsatsen om ljusets elektromagnetiska natur.

Vissa fysiker motsatte sig Maxwells teori (särskilt begreppet förskjutningsström orsakade många invändningar). Helmholtz föreslog sin teori, en kompromiss i förhållande till modellerna av Weber och Maxwell, och instruerade sin elev Heinrich Hertz att utföra dess experimentella verifiering. Men Hertz experiment bekräftade otvetydigt riktigheten av Maxwell.

Maxwell använde inte vektornotation och skrev sina ekvationer i ganska besvärlig komponentform. I sin avhandling [13] använde han också delvis quaternion- formuleringen. Den moderna formen av Maxwells ekvationer dök upp runt 1884 efter arbetet av Heaviside , Hertz och Gibbs . De skrev inte bara om Maxwells system i vektorform, utan symmetriserade det, omformulerade det i termer av fältet, gjorde sig av med de elektriska och magnetiska potentialerna som spelade en betydande roll i Maxwells teori, eftersom de trodde att dessa funktioner bara är onödiga hjälpmedel. matematiska abstraktioner [14] . Det är intressant att modern fysik stöder Maxwell, men inte delar den negativa inställningen från sina tidiga anhängare till potentialer. Den elektromagnetiska potentialen spelar en viktig roll i kvantfysiken och förekommer som en fysiskt mätbar storhet i vissa experiment, till exempel i Aharonov-Bohm-effekten [15] .

Ekvationssystemet i formuleringen av Hertz och Heaviside kallades under en tid Hertz-Heaviside-ekvationerna [16] . Einstein kallade dem i sin klassiska artikel "On the Electrodynamics of Moving Bodies" [17] Maxwell-Hertz-ekvationerna. Ibland finns i litteraturen även namnet på Maxwell-Heaviside-ekvationen [18] .

Maxwells ekvationer spelade en viktig roll i framväxten av den speciella relativitetsteorin (SRT). Joseph Larmor ( 1900 ) [19] och oberoende av honom Henrik Lorenz ( 1904 ) [20] hittade transformationer av koordinater, tid och elektromagnetiska fält som lämnar Maxwells ekvationer oföränderliga när de rör sig från en tröghetsreferensram till en annan. Dessa omvandlingar skilde sig från de galileiska omvandlingarna av klassisk mekanik och blev på förslag av Henri Poincaré [21] kända som Lorentz-transformationerna . De blev den matematiska grunden för speciell relativitetsteori .

Utbredningen av elektromagnetiska vågor med ljusets hastighet tolkades ursprungligen som störningar av något medium, den så kallade etern [22] . Många försök har gjorts (se historisk översikt ) för att upptäcka jordens rörelse i förhållande till etern, men de gav undantagslöst ett negativt resultat. [~ 1] Därför antog Henri Poincaré en hypotes om den grundläggande omöjligheten att upptäcka en sådan rörelse ( relativitetsprincipen ). Han äger också postulatet om ljusets hastighets oberoende från dess källas hastighet och slutsatsen (tillsammans med Lorentz), baserad på relativitetsprincipen formulerad på detta sätt, den exakta formen av Lorentz-transformationerna (gruppegenskaperna ) av dessa transformationer visades också). Dessa två hypoteser (postulat) låg till grund för Albert Einsteins artikel ( 1905 ) [17] . Med deras hjälp härledde han också Lorentz-transformationerna och godkände deras allmänna fysiska betydelse, och betonade särskilt möjligheten av deras tillämpning för övergången från vilken tröghetsreferensram som helst till vilken som helst annan tröghetsram. Detta arbete markerade faktiskt konstruktionen av den speciella relativitetsteorin. I SRT återspeglar Lorentz-transformationerna de allmänna egenskaperna hos rum och tid, och etermodellen visar sig vara onödig. Elektromagnetiska fält är oberoende objekt som existerar i paritet med materialpartiklar.

Klassisk elektrodynamik baserad på Maxwells ekvationer ligger till grund för många tillämpningar inom el- och radioteknik, mikrovågsugn och optik. Hittills har ingen effekt hittats som skulle kräva en modifiering av ekvationerna. De visar sig också vara tillämpbara inom kvantmekaniken, när rörelsen av till exempel laddade partiklar i externa elektromagnetiska fält beaktas. Därför är Maxwells ekvationer grunden för den mikroskopiska beskrivningen av materiens elektromagnetiska egenskaper.

Maxwells ekvationer är också efterfrågade inom astrofysik och kosmologi, eftersom många planeter och stjärnor har ett magnetfält. Magnetfältet bestämmer i synnerhet egenskaperna hos objekt som pulsarer och kvasarer .

På den nuvarande nivån av förståelse är alla fundamentala partiklar kvantexcitationer ("kvanta") av olika fält. Till exempel är en foton ett kvantum av ett elektromagnetiskt fält, och en elektron är ett kvant av ett spinorfält [23] . Därför är fältmetoden som föreslagits av Faraday och avsevärt utvecklad av Maxwell grunden för modern fundamental partikelfysik, inklusive dess standardmodell .

Historiskt sett, lite tidigare, spelade han en viktig roll i framväxten av kvantmekaniken i formuleringen av Schrödinger och i allmänhet upptäckten av kvantekvationer som beskriver partiklars rörelse, inklusive relativistiska ( Klein-Gordons ekvation , Dirac-ekvationen ) , även om till en början analogin med Maxwells ekvationer sågs här snarare bara i en allmän idé, medan det senare visade sig att den kan förstås som mer specifik och detaljerad (som beskrivits ovan).

Även fältansatsen, som i allmänhet går tillbaka till Faraday och Maxwell, har blivit central i gravitationsteorin (inklusive allmän relativitet ).

Spela in Maxwells ekvationer och enheter

Skrivandet av de flesta ekvationer i fysiken beror inte på valet av enhetssystem . Detta är dock inte fallet inom elektrodynamik. Beroende på valet av enhetssystem förekommer olika koefficienter (konstanter) i Maxwells ekvationer. International System of Units (SI) är standarden inom teknik och undervisning, men dispyter bland fysiker om dess fördelar och nackdelar i jämförelse med det konkurrerande CGS- systemet av enheter avtar inte [24] ; här och överallt nedan betyder CGS ett uteslutande symmetriskt Gaussiskt CGS-system. Fördelen med CGS-systemet inom elektrodynamik är att alla fält i det har samma dimension , och ekvationerna, enligt många forskare, är skrivna på ett enklare och mer naturligt sätt [25] . Därför fortsätter GHS att användas i vetenskapliga publikationer om elektrodynamik och i undervisningen i teoretisk fysik, till exempel under teoretisk fysik av Landau och Lifshitz . Men för praktiska tillämpningar är de måttenheter som införts i GHS, av vilka många är namnlösa och tvetydiga, ofta obekväma. SI-systemet är standardiserat och bättre självständigt, all modern metrologi är byggd på detta system [26] . Dessutom används SI-systemet ofta i allmänna fysikkurser. I detta avseende ges alla relationer, om de skrivs annorlunda i SI- och CGS-systemen, vidare i två versioner.

Ibland (till exempel i vissa avsnitt av Feynman-föreläsningarna om fysik , såväl som i modern kvantfältteori), används ett system av enheter där ljusets hastighet, de elektriska och magnetiska konstanterna tas som en enhet: . I ett sådant system skrivs Maxwells ekvationer utan koefficienter alls, alla fält har en enda dimension och alla potentialer har sina egna. Ett sådant system är särskilt praktiskt i den kovarianta fyrdimensionella formuleringen av elektrodynamikens lagar i termer av 4-potentialen och 4-tensorn för det elektromagnetiska fältet . $c=\varepsilon _{0}=\mu _{0}=1$

Maxwells ekvationer i differentialform

Maxwells ekvationer är ett system med fyra ekvationer i vektornotation, som reducerar i komponentrepresentation till åtta (två vektorekvationer innehåller tre komponenter vardera plus två skalära [~ 2] ) linjära partiella differentialekvationer av första ordningen för 12 komponenter av fyra vektorer och pseudovektorfunktioner ( ): $\mathbf {D} ,\;\mathbf {E} ,\;\mathbf {H} ,\;\mathbf {B}$

namn	GHS [~3]	SI	Ungefärligt verbalt uttryck
Gauss lag	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	Elektrisk laddning är källan till elektrisk induktion.
Gauss lag för ett magnetfält	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	Inga magnetiska laddningar upptäcktes. [~4]
Faradays induktionslag	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	Förändringen i magnetisk induktion genererar ett elektriskt virvelfält. [~4]
Magnetfältets cirkulationssats	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} } {\partial t))$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$	Elektrisk ström och förändring i elektrisk induktion genererar ett virvelmagnetfält

I det följande betecknar fet stil vektor- och pseudovektorkvantiteter , kursiv stil betecknar skalära kvantiteter .

Införda beteckningar:

$\rho\$ - volymetrisk densitet för en elektrisk laddning från tredje part (i SI - enheter - C / m ³);
$\mathbf {j}$ - elektrisk strömtäthet (ledningsströmtäthet) (i SI-enheter - A / m²); i det enklaste fallet, fallet med en ström som genereras av en typ av laddningsbärare , uttrycks den helt enkelt som ] ; i det allmänna fallet måste detta uttryck beräknas i medeltal över olika typer av media; $\mathbf {j} =\mathbf {u} \rho _{1}$ $\mathbf {u}$ $\rho_{1}$ $\rho$
$c$ - ljusets hastighet i vakuum (299 792 458 m / s );
$\mathbf {E}$ - elektrisk fältstyrka (i SI-enheter - V / m);
$\mathbf {H}$ — Magnetfältstyrka (i SI-enheter — A/m).
$\mathbf {D}$ - elektrisk induktion (i SI-enheter - C / m²);
$\mathbf {B}$ - magnetisk induktion (i SI-enheter - Tl \ u003d Wb / m² \ u003d kg • s −2 • A −1 );
$\nabla$ är nabla differentialoperator , medan: $\nabla \times \mathbf {E} \equiv \mathrm {rot} \,\mathbf {E}$ betyder vektorns rotor , $\mathbf {E}$ $\nabla \cdot \mathbf {E} \equiv \mathrm {div} \,\mathbf {E}$ betyder vektorns divergens . $\mathbf {E}$

Maxwells ekvationer ovan utgör ännu inte ett komplett system av elektromagnetiska fältekvationer , eftersom de inte innehåller egenskaperna hos det medium i vilket det elektromagnetiska fältet exciteras . Relationerna som förbinder kvantiteterna , , och och tar hänsyn till mediets individuella egenskaper kallas konstitutiva ekvationer . $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {j}$

Maxwells ekvationer i integralform

Med Ostrogradsky-Gauss formel och Stokes sats kan Maxwells differentialekvationer ges formen av integralekvationer :

namn	GHS	SI	Ungefärligt verbalt uttryck
Gauss lag	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =4\pi Q$	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =Q$	Flödet av elektrisk induktion genom en sluten yta är proportionell mot mängden fri laddning i volymen som begränsas av denna yta.
Gauss lag för ett magnetfält	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	Flödet av magnetisk induktion genom en sluten yta är noll (magnetiska laddningar har inte detekterats [~ 4] ).
Faradays induktionslag	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	Förändringen i flödet av magnetisk induktion som passerar genom en öppen yta , taget med motsatt tecken, är proportionell mot cirkulationen av det elektriska fältet på en sluten kontur , som är ytans gräns [~ 4] . $s$ $l$ $s$
Magnetfältets cirkulationssats	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ ${\frac {4\pi }{c}}I+{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ $I+{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	Den totala elektriska strömmen av fria laddningar och förändringen i flödet av elektrisk induktion genom en öppen yta är proportionell mot cirkulationen av magnetfältet på en sluten kontur , som är ytans gräns . $s$ $l$ $s$

Införda beteckningar:

$s\$ - en tvådimensionell sluten yta i fallet med Gauss-satsen, som begränsar volymen , och en öppen yta i fallet med Faraday- och Ampere-Maxwell-lagarna (dess gräns är en sluten kontur ). $v\$ $l\$
$Q=\int \limits _{v}\rho \,dv\$ - elektrisk laddning innesluten i en volym som begränsas av ytan (i SI-enheter - C ); $v\$ $s\$
$I=\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} \$ - elektrisk ström som passerar genom ytan (i SI-enheter - A ). $s\$

Vid integrering över en sluten yta riktas vektorn för areaelementet utåt från volymen. Orienteringen vid integrering över en öppen yta bestäms av riktningen för den högra skruven , som "skruvas in" vid vridning i riktning mot att förbi konturintegralen över . $d\mathbf {s}$ $d\mathbf {s}$ $d\mathbf {l}$

Den verbala beskrivningen av Maxwells lagar, till exempel Faradays lag, bär traditionens avtryck, eftersom till en början, med en kontrollerad förändring av det magnetiska flödet, registrerades utseendet av ett elektriskt fält (mer exakt , en elektromotorisk kraft ). I det allmänna fallet, i Maxwells ekvationer (både i differential- och integralform), är vektorfunktioner lika okända storheter som bestäms som ett resultat av att lösa ekvationer. $\mathbf {E} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ,\mathbf {H}$

Lorentz kraft

När man löser Maxwells ekvationer anses fördelningarna av laddningar och strömmar ofta vara givna. Med hänsyn till randvillkoren och materialekvationerna tillåter detta oss att bestämma den elektriska fältstyrkan och magnetisk induktion , som i sin tur bestämmer kraften som verkar på testladdningen som rör sig med en hastighet . Denna kraft kallas Lorentz-kraften : $\rho$ $\mathbf {j}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $q$ $\mathbf {u}$

GHS	SI
$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$	$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +q\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$

Den elektriska komponenten av kraften är riktad parallellt med det elektriska fältet, och den magnetiska komponenten är vinkelrät mot laddningshastigheten och magnetisk induktion. Det första uttrycket för kraften som verkar på en laddning i ett magnetfält (den elektriska komponenten var känd) erhölls 1889 av Heaviside [27] [28] tre år före Hendrik Lorentz , som härledde ett uttryck för denna kraft 1892 .

I mer komplexa situationer inom klassisk och kvantfysik , i det fall när under inverkan av elektromagnetiska fält fria laddningar rör sig och ändrar fältens värden, är det nödvändigt att lösa ett självständigt system av Maxwells ekvationer och rörelseekvationer , inklusive Lorentz styrkor. Att få en exakt analytisk lösning av ett sådant komplett system är vanligtvis förenat med stora svårigheter. Ett viktigt exempel på ett sådant ekvationssystem för ett självkonsistent fält är Vlasov-Maxwell-ekvationerna som beskriver plasmadynamik .

Dimensionskonstanter i Maxwells ekvationer

I det Gaussiska systemet av CGS-enheter har alla fält samma dimension, och den enda fundamentala konstanten visas i Maxwells ekvationer , som har dimensionen hastighet, som nu kallas ljusets hastighet (det var likheten mellan denna konstant av ljusets utbredningshastighet som gav Maxwell skäl för hypotesen om ljusets elektromagnetiska natur [29] ). $c$

I SI-systemet av enheter , för att relatera elektrisk induktion och elektrisk fältstyrka i vakuum , introduceras en elektrisk konstant ( ). Den magnetiska konstanten är samma proportionalitetsfaktor för ett magnetfält i vakuum ( ). Namnen elektrisk konstant och magnetisk konstant är nu standardiserade. Tidigare användes även namnen elektrisk (dielektrisk) respektive magnetisk permeabilitet av vakuum för dessa storheter [30] [31] . $\varepsilon_{0}$ $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$ $\mu_{0}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H}$

Hastigheten för elektromagnetisk strålning i vakuum ( ljusets hastighet ) i SI visas i härledningen av vågekvationen :

c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0))))

I SI-systemet av enheter bestäms ljusets hastighet i vakuum som en exakt dimensionskonstant , och den magnetiska konstanten efter förändringen 2018–2019 är en experimentellt bestämd storhet. Genom dem uttrycks den elektriska konstanten . $c$ $\mu_{0}$ $\varepsilon_{0}$

Värdena [32] för ljusets hastighet , elektriska och magnetiska konstanter anges i tabellen:

Symbol	namn	Numeriskt värde	SI-enheter
$c$	Ljushastighet konstant	$299\;792\;458$ (exakt)	m / s
$\mu_{0}$	Magnetisk konstant	$1{,}256\;637\times 10^{-6}$	H /m
$\varepsilon _{0}=1/(\mu _{0}c^{2})$	Elektrisk konstant	$8{,}854\;188\times 10^{-12}$	f /m

Ibland introduceras en kvantitet som kallas " vakuumvågsimpedans " eller vakuumimpedans :

Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=\mu _{0}c\approx 120\pi

Ohm .

i GHS- systemet . Detta värde har betydelsen av förhållandet mellan amplituderna för styrkorna hos de elektriska och magnetiska fälten i en plan elektromagnetisk våg i vakuum . Det är dock omöjligt att tillskriva den fysiska betydelsen av vågmotståndet till denna kvantitet, eftersom dess dimension i samma CGS-system inte sammanfaller med dimensionen av motståndet [33] . $Z_{0}=1$

Maxwells ekvationer i mediet

För att erhålla ett komplett system av ekvationer av elektrodynamik , är det nödvändigt att lägga till konstitutiva ekvationer till systemet av Maxwells ekvationer som relaterar de kvantiteter , , , , , där de individuella egenskaperna hos mediet beaktas. Sättet att erhålla materialekvationer ges av molekylära teorier om polarisation , magnetisering och elektrisk ledningsförmåga hos mediet, med hjälp av idealiserade modeller av mediet. Genom att tillämpa på dem den klassiska eller kvantmekanikens ekvationer , såväl som metoderna för statistisk fysik , är det möjligt att upprätta ett samband mellan vektorerna å ena sidan och å andra sidan. $\mathbf {j}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {j}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Relaterade laddningar och strömmar

När ett elektriskt fält appliceras på ett dielektriskt material, förvandlas var och en av dess molekyler till en mikroskopisk dipol . I det här fallet är de positiva atomkärnorna något förskjutna i fältets riktning och elektronskalen i motsatt riktning. Dessutom har vissa ämnens molekyler initialt ett dipolmoment. Dipolmolekyler tenderar att orientera sig i fältets riktning. Denna effekt kallas dielektrisk polarisation . En sådan förskjutning av de bundna laddningarna av molekyler i volymen är ekvivalent med uppkomsten av en viss fördelning av laddningar på ytan, även om alla molekyler som är involverade i polariseringsprocessen förblir neutrala (se figur).

På liknande sätt inträffar magnetisk polarisering ( magnetisering ) i material där deras beståndsdelar atomer och molekyler har magnetiska moment som är relaterade till spinn och orbitalmoment hos kärnorna och elektronerna. Atomernas vinkelmoment kan representeras som cirkulära strömmar. Vid materialets gräns är helheten av sådana mikroskopiska strömmar ekvivalent med makroskopiska strömmar som cirkulerar längs ytan, trots att rörelsen av laddningar i individuella magnetiska dipoler endast sker i mikroskala (bundna strömmar).

De övervägda modellerna visar att även om ett externt elektromagnetiskt fält verkar på enskilda atomer och molekyler, kan dess beteende i många fall betraktas på ett förenklat sätt i en makroskopisk skala, och ignorerar detaljerna i den mikroskopiska bilden.

I mediet orsakar externa elektriska och magnetiska fält polarisering och magnetisering av ämnet, vilka makroskopiskt beskrivs av ämnets polarisationsvektor respektive magnetiseringsvektorn och orsakas av uppkomsten av bundna laddningar och strömmar . Som ett resultat visar sig fältet i mediet vara summan av externa fält och fält orsakade av bundna laddningar och strömmar. $\mathbf {P}$ $\mathbf {M}$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$

GHS	SI
$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ $\mathbf {j} _{b}=c\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t))$	$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ $\mathbf {j} _{b}=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t))$

Polariseringen och magnetiseringen av ett ämne är relaterade till vektorerna för intensitet och induktion av de elektriska och magnetiska fälten genom följande samband: $\mathbf {P}$ $\mathbf {M}$

GHS	SI
$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$ $\mathbf {B} =\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M}$	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )$

Genom att uttrycka vektorerna och genom , , och , kan vi därför erhålla ett matematiskt ekvivalent system av Maxwells ekvationer: $\mathbf {D}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi [\rho _{f}+\rho _{b}]$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[\rho _{f}+\rho _{b}]$
$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$
$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1} {c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1}{c^{2} )){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))$

Indexet här betecknar fria avgifter och strömmar. Maxwells ekvationer i denna form är grundläggande i den meningen att de inte beror på modellen för materiens elektromagnetiska anordning. Separationen av laddningar och strömmar i fria och bundna gör att du kan "gömma" dig i , , och sedan i och därför i den komplexa mikroskopiska karaktären hos det elektromagnetiska fältet i mediet. $f\$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$ $\mathbf {P} ,\mathbf {M}$ $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$

Materialekvationer

Materialekvationer upprättar ett samband mellan och . I detta fall tas hänsyn till miljöns individuella egenskaper. I praktiken använder konstitutiva ekvationer vanligtvis experimentellt bestämda koefficienter (som i allmänhet beror på frekvensen av det elektromagnetiska fältet), som finns samlade i olika uppslagsböcker över fysiska storheter [34] . $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$

I svaga elektromagnetiska fält , som förändras relativt långsamt i rum och tid , i fallet med isotropiska , icke- ferromagnetiska och icke- ferroelektriska medier, är en approximation giltig där polariserbarheten och magnetiseringen beror linjärt på de applicerade fälten:

GHS	SI
$\mathbf {P} =\chi _{e}\mathbf {E}$ $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H}$	$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E}$ $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,$

där dimensionslösa konstanter införs: är den dielektriska känsligheten och är ämnets magnetiska känslighet (i SI- systemet av enheter är dessa konstanter flera gånger större än i det Gaussiska CGS- systemet ). Följaktligen är de konstitutiva ekvationerna för elektriska och magnetiska induktioner skrivna i följande form: $\chi _{e}\$ $\chi _{m}\$ $4\pi\$

GHS	SI
$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} =(1+4\pi \chi _{e})\mathbf {E}$ $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} =(1+4\pi \chi _{m})\mathbf {H}$	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\varepsilon \mathbf {E} =\varepsilon _{0}(1+\chi _{e})\mathbf {E}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}\mu \mathbf {H} =\mu _{0}(1+\chi _{m})\mathbf {H} ,$

där är den relativa permittiviteten , är den relativa magnetiska permeabiliteten . Dimensionsstorheter (i SI-enheter - F / m ) och (i SI-enheter - H / m ) som uppstår i SI- systemet kallas absolut permittivitet respektive absolut magnetisk permeabilitet . $\varepsilon\$ $\mu\$ $\varepsilon _{0}\varepsilon$ $\mu _{0}\mu$

I ledare finns det ett samband mellan strömtäthet och elektrisk fältstyrka, i en bra approximation uttryckt av Ohms lag :

\mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} ,

var är mediets specifika konduktivitet (i SI-enheter — Ohm −1 • m −1 ). $\sigma$

I ett anisotropiskt medium , och är tensorer , och . I huvudaxlarnas koordinatsystem kan de beskrivas med diagonala matriser . I detta fall har förhållandet mellan fältstyrkor och induktioner olika koefficienter för varje koordinat. Till exempel, i SI- systemet : $\varepsilon$ $\mu$ $\sigma$ ${\hat {\varepsilon ))$ ${\hat {\mu ))$ ${\hat {\sigma ))$

{\begin{array}{lll}D_{x}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{xx}\,E_{x},~~~~~&D_{y}=\varepsilon _{0}\ varepsilon _{yy}\,E_{y},~~~~~&D_{z}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{zz}\,E_{z},\\[3mm]B_{x} =\mu _{0}\mu _{xx}\,H_{x},~~~~~&B_{y}=\mu _{0}\mu _{yy}\,H_{y},~ ~~~~&B_{z}=\mu _{0}\mu _{zz}\,H_{z}.\end{array}}

Även om den linjära approximationen för svaga fält för en bred klass av ämnen håller med god noggrannhet, kan förhållandet mellan och i allmänhet vara icke-linjärt . I detta fall är mediets permeabiliteter inte konstanter, utan beror på fältets storlek vid en given punkt. Dessutom observeras ett mer komplext förhållande mellan och i miljöer med rumsliga eller tidsmässiga dispersioner . När det gäller rumslig spridning beror strömmarna och laddningarna vid en given punkt i rymden på fältets storlek, inte bara vid samma punkt, utan även vid angränsande punkter. Vid tidsspridning bestäms inte mediets polarisering och magnetisering endast av fältets storlek vid ett givet tidsögonblick, utan beror också på fältens storlek vid tidigare tidpunkter. I det mest allmänna fallet med olinjära och inhomogena medier med dispersion, tar de konstitutiva ekvationerna i SI-systemet integralformen: $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$ $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$

\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\ hat {\chi ))_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',tt',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {E} (\mathbf { r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} ';

\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)=\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\hat {\chi )) _{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',tt',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {H} (\mathbf {r} ',t' )\,dt'd^{3}\mathbf {r} '.

Liknande ekvationer erhålls i det Gaussiska CGS-systemet (om vi formellt sätter ). $\varepsilon_{0}=1$

Ekvationer i isotropa och homogena medier utan dispersion

I isotropa och homogena medier utan dispersion tar Maxwells ekvationer följande form:

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon ))$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\mu \mu _{0}}\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \ mathbf {E} }{\partial t))$

I det optiska frekvensområdet används istället för permittiviteten brytningsindexet , som visar skillnaden mellan utbredningshastigheten för en monokromatisk ljusvåg i ett medium och ljusets hastighet i vakuum. I det här fallet, i det optiska området, är permittiviteten vanligtvis märkbart lägre än vid låga frekvenser, och den magnetiska permeabiliteten för de flesta optiska medier är praktiskt taget lika med enhet. Brytningsindexet för de flesta transparenta material sträcker sig från 1 till 2 och når 5 för vissa halvledare [35] . I vakuum är både permittivitet och permeabilitet lika med enhet: . $\varepsilon$ $n={\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $\varepsilon=\mu=1$

Eftersom Maxwells ekvationer i ett linjärt medium är linjära med avseende på fält och fria laddningar och strömmar , gäller superpositionsprincipen : $(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$ $(\rho ,\mathbf {j} )$

Om fördelningarna av laddningar och strömmar skapar ett elektromagnetiskt fält med komponenter , och andra distributioner skapar respektive fältet , kommer det totala fältet som skapas av källorna att vara lika med . $(\rho _{1},\mathbf {j} _{1})$ $(\mathbf {E} _{1},\mathbf {B} _{1})$ $(\rho _{2},\mathbf {j} _{2})$ $(\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{2})$ $(\rho _{1}+\rho _{2},\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2})$ $(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2})$

När elektromagnetiska fält utbreder sig i ett linjärt medium i frånvaro av laddningar och strömmar, kommer summan av eventuella specifika lösningar av ekvationerna också att uppfylla Maxwells ekvationer.

Gränsvillkor

I många fall kan ett inhomogent medium representeras som en samling bitvis kontinuerliga homogena regioner åtskilda av oändligt tunna gränser. I det här fallet är det möjligt att lösa Maxwells ekvationer i varje region och "förena" de resulterande lösningarna vid gränserna. I synnerhet när man överväger en lösning i en ändlig volym är det nödvändigt att ta hänsyn till förhållandena på volymens gränser med det omgivande oändliga utrymmet. Randvillkor erhålls från Maxwells ekvationer genom att passera till gränsen. För att göra detta är det enklaste sättet att använda Maxwells ekvationer i integralform.

Genom att i det andra ekvationsparet välja integrationskonturen i form av en rektangulär ram med oändligt liten höjd som korsar gränssnittet mellan två medier, kan vi erhålla följande förhållande mellan fältkomponenterna i två regioner intill gränsen [36] :

GHS	SI
$(\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf { j} _{s}$ ,	$(\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}$ ,

där är enhetsytnormalvektorn riktad från medium ;längden 1 till medium 2 och med dimensionen inverterad mot Det första gränsvillkoret kan tolkas som kontinuitet vid gränsen för regionerna för de tangentiella komponenterna av de elektriska fältstyrkorna (det följer av det andra att de tangentiella komponenterna av magnetfältsstyrkan är kontinuerliga endast i frånvaro av ytströmmar vid gräns). $\mathbf {n} _{1-2}$ $\mathbf {j} _{s}$

På liknande sätt, genom att välja integrationsdomänen i det första paret av integralekvationer i form av en cylinder med oändligt liten höjd som korsar gränssnittet så att dess generatorer är vinkelräta mot gränssnittet, kan man få:

GHS	SI
$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}$ , $(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,	$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}$ , $(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,

var är yttätheten för fria laddningar (det vill säga den inkluderar inte bundna laddningar som uppstår vid mediets gräns på grund av den dielektriska polariseringen av själva mediet). $\rho _{s}\$

Dessa randvillkor visar kontinuiteten hos den magnetiska induktionsvektorns normala komponent (den normala komponenten för den elektriska induktionen är kontinuerlig endast om det inte finns några ytladdningar på gränsen).

Från kontinuitetsekvationen kan man få gränsvillkoret för strömmar:

(\mathbf {j} _{1}-\mathbf {j} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}={\frac {\partial }{\partial t))\rho _{s}

Ett viktigt specialfall är gränssnittet mellan en dielektrikum och en idealisk ledare . Eftersom en ideal ledare har oändlig ledningsförmåga är det elektriska fältet inuti den noll (annars skulle den generera en oändlig strömtäthet). Sedan, i det allmänna fallet med variabla fält, följer det av Maxwells ekvationer att magnetfältet i ledaren är noll. Som ett resultat är den tangentiella komponenten av de elektriska och normala magnetfälten vid gränsen med en ideal ledare lika med noll:

GHS	SI
$\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $\mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{s}$ , $\mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}$ , $\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,	$\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $\mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}$ , $\mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}$ , $\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,

Bevarandelagar

Maxwells ekvationer innehåller lagarna för bevarande av laddning och energi i det elektromagnetiska fältet.

Kontinuitetsekvation

Fältkällor ( ) kan inte ställas in godtyckligt. Genom att tillämpa divergensoperationen på den fjärde ekvationen (Ampere-Maxwells lag) och använda den första ekvationen (Gauss lag), kan vi få kontinuitetsekvationen för laddningar och strömmar: $\rho ,~\mathbf {j}$

\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t))=0.

Härledning av kontinuitetsekvationen

Avvikelsen från rotorn är noll, så för den fjärde Maxwell-ekvationen (Ampère–Maxwell Law) i SI -systemet har vi:

$0=\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \nabla \cdot \mathbf {D} }{\partial t)) =\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t)),$

där den första ekvationen ersätts i den sista ekvationen (Gauss lag).

Denna ekvation, med hjälp av Ostrogradsky-Gauss integralsats, kan skrivas i följande form:

\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d}{dt))\int \limits _{v}\rho \,dv.

På vänster sida av ekvationen är den totala strömmen som flyter genom en sluten yta . På höger sida - förändringen med tiden för laddningen inuti volymen . Således är en förändring av laddningen inuti volymen möjlig endast med dess inflöde eller utflöde genom ytan som begränsar volymen. $s\$ $v\$ $s\$

Kontinuitetsekvationen, som är ekvivalent med lagen om bevarande av laddning, går långt bortom gränserna för klassisk elektrodynamik och förblir giltig även i kvantteorin. Därför kan denna ekvation i sig tas som grund för den elektromagnetiska teorin. Då måste till exempel förskjutningsströmmen (tidsderivatan av det elektriska fältet) nödvändigtvis finnas i Ampères lag.

Från Maxwells ekvationer för rotorerna och kontinuitetsekvationen, upp till godtyckliga tidsoberoende funktioner, följ Gauss lagar för elektriska och magnetiska fält.

Lagen om bevarande av energi

Om vi multiplicerar den tredje Maxwell-ekvationen i differentialform (Faradays lag) skalärt med , och den fjärde (Ampere-Maxwells lag) med och adderar resultaten, kan vi få Poyntings teorem : $\mathbf {H}$ $-\mathbf {E}$

\nabla \cdot \mathbf {S} +{\frac {\partial }{\partial t))\left(w_{E}+w_{H}\right)=-\mathbf {E} \mathbf {j} ,

var

GHS	SI
$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ $w_{E}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$ $w_{H}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$	$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ $w_{E}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$ $w_{H}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$

Härledning av Poyntings sats

Med hjälp av de tredje och fjärde Maxwell-ekvationerna i differentialform i SI- systemet kan du få:

\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\mathbf {E} \mathbf {j} +\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{ \partial t)),~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]=-\mathbf {H} \cdot {\frac { \partial \mathbf {B} }{\partial t}}.

Skillnaden mellan de vänstra sidorna av ekvationerna viks enligt följande vektoranalysformel (derivat av produkten):

$\nabla \cdot [\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]=\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]-\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ].$

I linjära, men möjligen icke-isotropa medier, finns ett linjärt samband mellan intensiteter och induktioner. Till exempel för ett elektriskt fält . Om är en symmetrisk matris oberoende av tid, då: $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,{\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E}$ ${\hat {\varepsilon ))$

$\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))=\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepsilon ))\ cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))={\frac {\varepsilon _{0)){2))\,{\frac {\partial (\mathbf {E} \ cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot \ mathbf {D} )}{\partial t}}.$

Likadant för magnetfältet.

Vektorn kallas Poynting-vektorn (elektromagnetisk energiflödestäthetsvektor) och bestämmer mängden elektromagnetisk energi som överförs genom en enhetsarea per tidsenhet. Integralen av Poynting-vektorn över sektionen av den fortplantande vågen bestämmer dess kraft. Det är viktigt att notera att, som Heaviside påpekade för första gången , endast den irroterande delen av Poynting-vektorn har den fysiska betydelsen av energiflödet. Virveldelen, vars divergens är lika med noll, är inte associerad med energiöverföring. Observera att Heaviside härledde uttrycket för bevarandelagen oberoende av Poynting . I ryskspråkig litteratur kallas Poynting-vektorn ofta också " Umov - Poynting-vektorn ". $\mathbf {S}$

Storheterna och bestämmer de volymetriska energitätheterna för de elektriska respektive magnetiska fälten. I frånvaro av strömmar och tillhörande förluster är Poyntings teorem en kontinuitetsekvation för energin i ett elektromagnetiskt fält. I det här fallet, genom att integrera den över en sluten volym och använda Ostrogradsky-Gauss sats , kan vi erhålla energisparlagen för det elektromagnetiska fältet: $vi}\$ $w_{H}\$

\oint \limits _{s}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {s} +{\frac {d}{dt))\int \limits _{v}(w_{E}+w_ {H})\,dv=0.

Denna ekvation visar att i frånvaro av interna förluster sker förändringen i energin hos det elektromagnetiska fältet i volymen endast på grund av kraften hos den elektromagnetiska strålningen som överförs genom gränsen för denna volym.

Poynting-vektorn är relaterad till det elektromagnetiska fältets rörelsemängd [37] :

\mathbf {p} ={\frac {1}{c^{2}}}\int \mathbf {S} \,dv,

där integration utförs över hela utrymmet. En elektromagnetisk våg, som absorberas eller reflekteras från en viss yta, överför till den en del av dess rörelsemängd, vilket manifesterar sig i form av ljustryck . Denna effekt observerades först experimentellt av PN Lebedev 1899 .

Potentialer

Skalära och vektorpotentialer

Faradays lag och Gauss lag för magnetisk induktion uppfylls identiskt om de elektriska och magnetiska fälten uttrycks i termer av skalära och vektorpotentialer [ 38] : $\varphi$ $\mathbf {A}$

GHS	SI
$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$	$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Bevis

Eftersom divergensen för magnetfältsinduktionen enligt Gauss lag är noll, så finns det enligt Helmholtz-satsen ett sådant vektorfält att då vektorns krullning (i CGS- systemet ) eller vektorn (i SI- systemet ) uppfyller villkoret Till exempel, i SI- systemet får vi: $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$ $\mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ $\mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\nabla \times \mathbf {E} '=0.$

\nabla \times \mathbf {E'} =\nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=\nabla \times \mathbf {E} +\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))=\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t ))\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))+{\frac {\partial \mathbf {B} } {\partial t))=0.

Av villkoret att rotorn är lika med noll, enligt Helmholtz-satsen , följer att det finns en skalär funktion sådan att $\varphi,$ $\mathbf {E} '=-\nabla \varphi .$

Den omvända substitutionen fungerar på liknande sätt. Om de elektriska och magnetiska fälten uttrycks i termer av skalära och vektorpotentialer enligt ovanstående formler, är divergensen av magnetfältsinduktionen automatiskt lika med noll: $\varphi$ $\mathbf {A}$

\nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {A} ]=[\nabla \times \nabla ]\cdot \mathbf {A} =0.

För styrkan av det elektriska fältet kommer Faradays lag att uppfyllas automatiskt. Till exempel, i SI- systemet får vi: $\mathbf {E}$

\nabla \times \mathbf {E} =\nabla \times \left(-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}).

För givna elektriska och magnetiska fält definieras skalär- och vektorpotentialerna tvetydigt. Om är en godtycklig funktion av koordinater och tid, kommer följande transformation inte att ändra värdet på fälten: $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\psi\$

GHS	SI
$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$ $\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$	$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$ $\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t)).$

Sådana transformationer spelar en viktig roll i kvantelektrodynamiken och ligger till grund för den lokala mätsymmetrin för den elektromagnetiska interaktionen. Lokal gaugesymmetri introducerar ett beroende av koordinater och tid i den globala gaugesymmetrifasen som, enligt Noethers teorem , leder till lagen om bevarande av laddning .

Tvetydigheten i definitionen av potentialer visar sig vara bekväm för att införa ytterligare villkor för dem, kallad gauge . På grund av detta tar elektrodynamikens ekvationer en enklare form. Betrakta till exempel Maxwells ekvationer i homogena och isotropa medier med dielektrisk ( ) och magnetisk ( ) permeabilitet. För data och det är alltid möjligt att välja en funktion så att Lorentz-mätarvillkoret [39] är uppfyllt : $\varepsilon$ $\mu\$ $\varphi$ $\mathbf {A}$ $f$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c))\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t))=0$	$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t))=0.$

I det här fallet kan de återstående Maxwell-ekvationerna i homogena och isotropa medier skrivas i följande form:

GHS	SI
$\square \varphi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}$ $\square \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j}$	$\square \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\square \mathbf {A} =-\mu \mu _{0}\,\mathbf {j} ,$

var är d'Alembert-operatören , som både i CGS- systemet och i SI- systemet har formen: $\fyrkant$

\square =\Delta -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.

Således kan 8 Maxwell-ekvationer (första ordningens ekvationer) för komponenterna i det elektromagnetiska fältet (2 vektor och 2 skalärer) reduceras till 4 ekvationer, men redan av andra ordningen (skalär för och vektor för ) med hjälp av potentialer . Lösningarna av dessa ekvationer för en godtyckligt rörlig punktladdning kallas Lienard-Wiechert potentialer [40] . $\varphi$ $\mathbf {A}$

Det är möjligt att införa andra kalibreringar. Så för att lösa ett antal problem visar sig Coulomb-mätaren vara bekväm :

\nabla \cdot \mathbf {A} =0

I detta fall:

GHS	SI
$\Delta \varphi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}$ $\square \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} _{\bot }$	$\Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0))}$ $\square \mathbf {A} =-\mu \mu _{0}\,\mathbf {j} _{\bot },$

var är den solenoidformade delen av strömmen ( ). $\mathbf {j} _{\bot }$ $\nabla \mathbf {\cdot } {j}_{\bot }=0$

Den första ekvationen beskriver den momentana (utan fördröjning) verkan av Coulomb-kraften, eftersom Coulomb-mätaren inte är invariant under Lorentz-transformationer. I detta fall kan Coulomb-interaktionens energi separeras från andra interaktioner, vilket underlättar kvantiseringen av fältet i Hamiltons formalism [41] .

Vektorpotentialen spelar en viktig roll i elektrodynamik och kvantfältteori, men för att studera processerna för utbredning av elektromagnetiska vågor i frånvaro av strömmar och laddningar leder dess införande ofta inte till en förenkling av systemet, utan kommer ner på en enkel ersättning av de elektriska och magnetiska fältvektorerna med en annan liknande vektor som beskrivs av samma ekvationer. Så för harmoniska fält kommer vektorpotentialen helt enkelt att vara proportionell mot det elektriska fältet (i detta fall kan skalärpotentialen sättas lika med noll).

Hertz vektorer

1887 föreslog Heinrich Hertz att istället för att direkt lösa Maxwells ekvationer för två vektorfunktioner av elektriska och magnetiska fält eller skalära och vektorpotentialer, gå över till en ny enkel vektorfunktion, som nu bär namnet på Hertz elektriska vektor och tillåter i vissa fall för att förenkla lösningen av elektrodynamiska problem, reducera dem till lösningen av den skalära vågekvationen. ${\mathbf {\Pi } }^{e}$

GHS	SI
$\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e},$ $\mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c)){\frac {\partial \mathbf {\Pi} ^{e)){\partial t)),$	$\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e},$ $\mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)),$
$\mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}{\frac { \partial ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t^{2))},$ $\mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c))\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)) .$	$\mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}{\frac { \partial ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t^{2))},$ $\mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\ partiell t}}.$

Observera att skalär- och vektorpotentialerna uttryckta i termer av den hertziska vektorn automatiskt uppfyller Lorentz-mätarvillkoret . Hertz-vektorn tar hänsyn till alla fält som är associerade med gratisladdningar och deras strömmar. $\varphi$ $\mathbf {A}$

Genom att ersätta uttrycken för fälten i termer av den elektriska vektorn i de två sista Maxwell-ekvationerna kan man få [42] [43] :

GHS	SI
$\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e ))}{\partial t^{2))}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon ))\mathbf {P} _{f},$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e)) }{\partial t^{2))}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon }}\left[\mathbf {P} +\mathbf {P} _{f}\right].$	$\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e ))}{\partial t^{2))}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0))}\mathbf {P} _{f},$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e)) }{\partial t^{2))}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0))}\left[\mathbf {P} +\mathbf {P} _{f}\right ].$

Här introduceras polarisationsvektorn för fria laddningar och strömmar:

\mathbf {j} _{f}={\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {P} }_{f},~~~~~~~~~~~~~~~~ \rho _{f}=-\nabla \cdot {\mathbf {P} }_{f},

(i detta fall uppfylls kontinuitetsekvationen för avgiften automatiskt).

Således bestäms den elektriska Hertzvektorn av vågekvationerna, på höger sida av vilka är polariserbarheten på grund av fria eller fria och bundna laddningar, det vill säga elektriska dipolmoment.

År 1901 introducerades den magnetiska vektorn parad med den elektriska Hertz-vektorn, som också traditionellt kallas namnet Hertz, av den italienske fysikern Augusto Righi [44] .

GHS	SI
$\varphi=0,$ $\mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},$	$\varphi=0,$ $\mathbf {A} ={\frac {1}{c}}\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},$
$\mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c))\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi} ^{m)){\partial t} },$ $\mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].$	$\mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{m)){ \partial-t}},$ $\mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].$

Eftersom fälten som beskrivs av den hertziska magnetiska vektorn inte är beroende av fria laddningar och strömmar, och inga magnetiska monopoler har hittats, uppfyller potentialerna Lorentz-mätaren i en degenererad form, den så kallade Coulomb-mätaren ( , ). $\varphi=0$ $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

På liknande sätt kan man erhålla ekvationer för den Hertziska magnetiska potentialen genom att ersätta fälten som uttrycks genom den i de tredje och fjärde Maxwell-ekvationerna utan ström:

GHS	SI
$\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m ))}{\partial t^{2))}=0,$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m)) }{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{\mu }}\mathbf {M} .$	$\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m ))}{\partial t^{2))}=0,$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m)) }{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}\mathbf {M} .$

Verkan av externa magnetiska fält associerade med externa källor kan beaktas analogt med Hertz elektriska vektor genom att införa en extra magnetisk polarisation i de rätta delarna . $\mathbf {M} _{f}$

Således särskiljs två typer av elektromagnetiska fält, uttryckta i termer av Hertz elektriska och magnetiska potentialer, och ett godtyckligt fält kan representeras som summan av sådana fält. Fält uttryckta i termer av den Hertziska elektriska vektorn kallas fält av elektrisk typ, eller tvärgående magnetiska (TM) fält, eftersom magnetfältet för dem är ortogonalt mot riktningen för den Hertziska vektorn. Följaktligen kallas fält uttryckta i termer av den hertziska magnetiska vektorn fält av den magnetiska typen, eller tvärgående elektriska fält (TE), i vilka det elektriska fältet är ortogonalt mot den genererande Hertziska vektorn. TM-fälten kan representeras som fält genererade av elektriska dipoler fördelade i rymden, respektive TE-fälten som magnetiska. De Hertziska vektorpotentialerna kan i sin tur i många fall uttryckas i termer av skalära potentialer.

Debye potentials

Inom elektrodynamik används de skalära potentialerna som föreslås av Debye [45] i stor utsträckning .

Vågekvationen är ett system av tre kopplade skalära ekvationer som sönderfaller till tre skalära Helmholtz-ekvationer endast i det kartesiska koordinatsystemet . För att underlätta för att hitta lösningar som uppfyller gränsvillkoren är det önskvärt att välja koordinatsystem vars koordinatytor ligger nära eller sammanfaller med gränsytorna. Ett tillvägagångssätt för att lösa vektor Helmholtz ekvation är att introducera skalära funktioner som uppfyller den skalära Helmholtz vågekvationen, i termer av vilka vektorfälten [46] sedan kan uttryckas : $\psi$

\nabla ^{2}{\psi }+k^{2}\psi =0.

{\mathbf {M} }_{\psi }=\nabla \times ({\mathbf {f} }\psi ),

{\mathbf {N} }_{\psi }={\frac {1}{k}}\nabla \times \nabla \times ({\mathbf {f} }\psi ),

{\mathbf {L} }_{\psi }=\nabla \psi .

Här är någon vektorfunktion av koordinater. Vektorn beskriver den potentiella delen av fältet, och den kan sättas lika med noll i frånvaro av gratis avgifter. $\mathbf {f}$ ${\mathbf {L} }_{\psi }$

Om det för något ortogonalt koordinatsystem finns en funktion proportionell mot koordinatvektorn, så kan ett godtyckligt vektorfält som uppfyller vektorn Helmholtz-ekvationen i detta system representeras som en summa av vektorfunktioner proportionell mot vektorerna och . Som följer av Maxwells ekvationer motsvarar ett elektriskt fält som är proportionellt mot ett magnetfält av typen , och vice versa. I detta fall motsvarar vektorpotentialerna Hertz-vektorerna. Eftersom i detta fall fältet som är proportionellt mot är normalt mot vektorn , är dess komponenter tangentiella mot motsvarande koordinatyta. Om gränserna i det problem som ska lösas sammanfaller med en av dessa koordinatytor, så förenklas tillfredsställelsen av randvillkoren avsevärt. ${\mathbf {f} }({\mathbf {r} })$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {N} }_{\psi }$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {N} }_{\psi }$ ${\mathbf {f} }\psi$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {f} }$ ${\mathbf {f} }$

Sådan representation är endast möjlig i ett begränsat antal ortogonala koordinatsystem [47] . I det kartesiska koordinatsystemet kan vilken koordinatvektor som helst fungera som en vektor. Motsvarande lösningar är plana vågor. För ett cylindriskt koordinatsystem , för ett sfäriskt . Dessutom är en sådan representation möjlig i koniska , såväl som i förhållande till axeln i paraboliska och elliptiska cylindriska koordinatsystem. ${\mathbf {f} }$ ${\mathbf {f} }={\mathbf {i} }_{z}$ ${\mathbf {f} }={\mathbf {r} }$ $z$

Riemann-Silberstein vektorer

Om vi introducerar den komplexa Riemann - Silberstein vektorn $\mathbf {F}$ och dess komplexa konjugerade vektor [48] [49] [50] : $\mathbf {F} ^{*}$

GHS	SI
$\mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {8\pi }}}\left[{\sqrt {\varepsilon }}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu } }\mathbf {H} \right],$	$\mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {2))}\left[{\sqrt {\varepsilon \varepsilon _{0))}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu \mu _{0}}}\mathbf {H} \right],$

då reduceras Maxwells ekvationer till två:

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {2\pi }{\varepsilon }}}\rho ,$ $\nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {2\pi \mu }}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac { \partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {1}{2\varepsilon \varepsilon _{0))))\rho ,$ $\nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {\frac {\mu \mu _{0}}{2}}}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$

I frånvaro av externa laddningar och strömmar kvarstår endast den andra ekvationen (den första, på grund av rotordivergensens likhet till noll, är i detta fall automatiskt uppfylld upp till en tidsoberoende komponent):

$\nabla \times \mathbf {F} =i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$

I motsats till vågekvationen, som erhålls i detta fall för fält- eller potentialvektorer, har den sista vektordifferentialekvationen den första ordningen, inte den andra, och därför kan den i vissa fall vara lättare att lösa.

För ett harmoniskt fält med beroende är vektorn en egenvektor för rotoroperatorn: $\mathbf {F} =\mathbf {F} ^{\pm }e^{\pm i\omega t}$ $\mathbf {F}$

$\nabla \times \mathbf {F} ^{\pm }=\mp k\mathbf {F} ^{\pm }.$

Med den valda normaliseringen är den komplexa amplituden av det elektromagnetiska fältet vettig , och dess modul i kvadrat $\mathbf {F}$

$w=|\mathbf {F} |^{2}\equiv \mathbf {F} ^{*}\mathbf {F} =w_{E}+w_{H}$

har betydelsen av fältets energitäthet.

Pekande vektor :

$\mathbf {S} =-{\frac {ic}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}{\mathbf {F} }^{*}\ gånger {\mathbf {F} }.$

Vektorer och kan tolkas som vågfunktioner av cirkulärt polariserade fotoner [49] . $\mathbf {F}$ $\mathbf {F} ^{*}$

Kovariant formulering

Ur en modern synvinkel är den fyrdimensionella kovarianta formuleringen av elektrodynamik (och i synnerhet skrivningen av Maxwells ekvationer i denna form) fysiskt den mest grundläggande.

I praktiken leder det, förutom explicit kovarians, till en mycket större kompaktitet av ekvationerna, och därmed till en viss skönhet och i vissa fall till bekvämlighet, och inkluderar mer organiskt och direkt det elektromagnetiska fältets enhet.

Den kovarianta formuleringen förstås betyda två olika, men direkt och direkt relaterade alternativ: den Lorentz-kovarianta formuleringen i det platta Minkowski- rummet -tid och den allmänna kovariansformuleringen för det allmänna fallet med krökt rum-tid (standard sett i samband med allmän relativitetsteori ). Det andra alternativet skiljer sig från det första genom att rum- tidsmåttet inte är konstant i det (vilket kan betyda antingen närvaron av gravitation eller helt enkelt användningen av en bredare klass av koordinater, till exempel, motsvarande icke-tröghetsramar av referens), och handlar till stor del om att ersätta de vanliga derivatorna med avseende på fyrdimensionella koordinater till kovarianta derivator (i en betydande del av fallen handlar det om att mekaniskt ersätta den förra med den senare). Bland annat låter det andra alternativet dig utforska interaktionen mellan det elektromagnetiska fältet och gravitationen.

Nedan betraktar vi först (som en enklare) första variant, en variant av Lorentz-kovariantformuleringen i en platt rumtid.

Fyrdimensionella vektorer

Med kovariansskrivning av elektrodynamikens ekvationer görs en övergång från tredimensionella vektorer och skalärer till fyrdimensionella vektorer (4-vektorer). Oavsett enhetssystem definieras de fyrdimensionella koordinaterna (4-vektor av koordinater, vars komponenter inkluderar tid och tredimensionella rumsliga koordinater), derivatan med avseende på dessa koordinater (4-derivata) och strömtätheten som definieras som följer [~ 6] :

x^{\alpha }=(ct,~\mathbf {r})=(ct,x,y,z),

\partial _{\alpha }={\frac {\partial }{\partial x^{\alpha ))}={\Bigl (}{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial }{\partial t)),~\nabla {\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial }{\partial t)),{\ frac {\partial }{\partial x)),{\frac {\partial }{\partial y)),{\frac {\partial }{\partial z)){\Bigr )},

j^{\alpha }=\rho {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}=(c\rho ,~\mathbf {j} )=(c\rho ,j_{x},j_{ YJ Z}).

Indexet för 4-vektorn tar värdena . I komponentnotationen för en vektor kommer nollkomponenten (temporal) först, sedan de rumsliga. Till exempel är tiden , och laddningstätheten är . I kraft av dessa definitioner tar laddningskonserveringslagen i kovariant form följande form: $\alfa =0,1,2,3\$ $t=x^{0}/c\$ $\rho =j^{0}/c\$

$\partial _{\alpha }j^{\alpha }=0.$

Det upprepade indexet antar summering från 0 till 3 ( Einsteins regel ).

Exempel

Ovanstående ekvation är en kompakt representation av kontinuitetsekvationen:

$\partial _{0}j^{0}+\partial _{1}j^{1}+\partial _{2}j^{2}+\partial _{3}j^{3}={\ frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \mathbf {j} =0.$

Låt oss introducera en 4-vektor av potentialen, som har följande komponenter i CGS- och SI -systemen:

GHS	SI
$A^{\alpha }=(\varphi ,~~\mathbf {A})$ $A_{\alpha }=(\varphi ,-\mathbf {A} )$	$A^{\alpha }=(\varphi /c,~~\mathbf {A})$ $A_{\alpha }=(\varphi /c,-\mathbf {A} )$

I kovariant notation spelar positionen för indexet för 4-vektorn en roll. Om indexet är längst ner, kallas en sådan vektor en kovariant vektor (eller kovektor), och dess rumsliga komponenter har motsatt tecken jämfört med komponenterna i en 4-vektor. Höjning och sänkning av indexen utförs med den metriska tensorn , som i det fyrdimensionella Minkowski-rummet har en diagonal form med signaturen: . $A_{\alpha }=g_{\alpha \beta }A^{\beta }\$ $g_{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }={\rm {diagonal}}(1,-1,-1,-1)\$

Med hjälp av denna definition av potentialens 4-vektor kan Lorentz gauge-villkoret i kovariansform skrivas enligt följande:

$\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0.$

Om detta villkor är uppfyllt tar Maxwells ekvationer för potentialer i vakuum i närvaro av laddningar och strömmar formen:

GHS	SI
$\partial ^{2}A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}\,j^{\alpha }$	$\partial ^{2}A^{\alpha }=\mu _{0}\,j^{\alpha }$ ,

var är d'Alembert-operatören med motsatt tecken: $\partial ^{2}$

$\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=-\square ={\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2} }{\partial t^{2))}-\Delta .$

Nollkomponenten i Maxwell-ekvationerna för 4-vektorn av potentialen motsvarar ekvationen för , och den rumsliga, för . $\varphi$ $\mathbf {A}$

Elektromagnetiskt fälttensor

Låt oss definiera den kovarianta tensorn för det elektromagnetiska fältet med hjälp av derivatan av 4-vektorn av potentialen [51] [52] :

F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.

Den explicita formen av denna antisymmetriska tensor ( ) kan representeras enligt följande: $F_{\alpha \beta }=-F_{\beta \alpha }\$

GHS	SI
$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_ {y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right),$	$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y }\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right).$

Tensorns temporala komponenter är sammansatta av komponenterna i den elektriska fältstyrkan och de rumsliga komponenterna i det magnetiska fältet, vilket kan skrivas enligt följande: . I tensorn för det elektromagnetiska fältet med överskrift ändras tecknet för nollkomponenterna (det vill säga före komponenterna i det elektriska fältet): . $F_{\alpha \beta }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$ $F^{\alpha \beta }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$

Med hjälp av definitionen av den elektromagnetiska fälttensorn är det lätt att verifiera följande identitet:

\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }=0.

Det kan skrivas om i en mer kompakt form genom att introducera den dubbla elektromagnetiska fälttensorn:

\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\tilde {F}} ^ {\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,F_{\gamma \delta },

var är den antisymmetriska Levi-Civita-symbolen ( ). Denna ekvation är en kovariant registrering av Gauss lag för ett magnetfält och Faradays lag för elektromagnetisk induktion. Komponenterna i den dubbla tensorn erhålls från tensorn som ett resultat av permutationen av de elektriska och magnetiska fälten [53] : , . $\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\$ $\epsilon ^{0123}=1\$ ${\tilde {F}}_{\alpha \beta }$ $F_{\alpha \beta }$ ${\tilde {F}}_{\alpha \beta }=(\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )$ ${\tilde {F}}^{\alpha \beta }=(-\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )$

Det kompletta systemet av Maxwells ekvationer i kovariant form har formen:

GHS	SI
$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$ $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }={\frac {4\pi }{c}}j^{\beta },$	$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$ $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}\,j^{\beta }.$

Det repeterande indexet summeras från 0 till 3, och 4-vektorn för strömmen finns på höger sida av den andra ekvationen. Nollkomponenten i denna ekvation motsvarar Gauss-lagen och de rumsliga komponenterna motsvarar Ampère-Maxwell-lagen. $\alfa\$

Med hjälp av den elektromagnetiska fälttensorn kan man erhålla omvandlingslagarna för komponenterna i de elektriska och magnetiska fälten mätt med avseende på olika tröghetsreferensramar [54] [55] :

GHS	SI
$E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-{u \over c}\,B_{z}),~~~E'_{z}=\gamma \,(E_{z} +{u \över c}\,B_{y}),$ $B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+{u \over c}\,E_{z}),~~~B'_{z}=\gamma \,(B_{z} -{u \over c}\,E_{y}),$	$E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-u\,B_{z}),~~~E'_{z}=\gamma \,(E_{z}+u\,B_ {y}),$ $B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+{u \over c^{2}}\,E_{z}),~~B'_{z}=\gamma \,(B_ {z}-{u \over c^{2}}\,E_{y}),$

där de "primade" kvantiteterna mäts i förhållande till en referensram som rör sig längs axeln med en hastighet relativt den ram i vilken de "icke-primade" fältkomponenterna mäts, och är Lorentz-faktorn. Fältkomponenterna längs den relativa rörelseriktningen för tröghetsreferensramar förblir oförändrade: . $x$ $u$ $\gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}$ $E'_{x}=E_{x},~~B'_{x}=B_{x}$

Maxwells ekvationer i vakuum är invarianta under Lorentz-transformationer . Detta var en av drivkrafterna för skapandet av den speciella relativitetsteorin .

De elektriska och magnetiska fälten förändras på olika sätt när det rumsliga koordinatsystemets axlar inverteras. Det elektriska fältet är den polära vektorn och det magnetiska fältet är den axiella vektorn . Det är möjligt att konstruera två kvantiteter invarianta under Lorentz-transformationer:

$F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\mathrm {inv} ~~~~~~~~~~~~\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\alpha \beta }F_{\gamma \delta }=\mathrm {inv} .$

Den första invarianten är en skalär , och den andra är en pseudoskalär , det vill säga den ändrar sitt tecken när koordinataxlarna inverteras.

Lagrangian

Handlingen och Lagrangian (Lagrange-funktionen) för en testladdning som rör sig i ett externt elektromagnetiskt fält i CGS- och SI -systemen har formen [56] [57] : $S\$ $L\$

GHS	SI
$S=\int (-mc\,ds~-~{\frac {q}{c}}\,A_{\alpha }\,dx^{\alpha })$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2}} }{c^{2}}}}}+{\frac {q}{c}}\ ,\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} -q\varphi$	$S=\int (-mc\,ds~-~q\,A_{\alpha }\,dx^{\alpha })$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2)) }{c^{2))))}+q\,\mathbf {A} \cdot \ mathbf {u} -q\varphi$

var:

$m\$ är partikelns massa (i SI-enheter, kg);
$\mathbf {u}$ - dess hastighet (i SI-enheter - m / s);
$q\$ är partikelns laddning (i SI-enheter - C );
$ds={\sqrt {dx_{\alpha }dx^{\alpha }}}$ - 4:e intervallet.

Rörelseekvationerna för en laddning under påverkan av Lorentz-kraften i kovariant notation har formen:

GHS	SI
$mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}={\frac {q}{c}}\,F^{\alpha \beta}\,{\ frac {dx_{\beta }}{ds}}$	$mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}=q\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {dx_{\beta }}{ ds}}.$

Maxwells ekvationer är härledda från principen om minsta verkan , där de dynamiska variablerna är 4-potentialerna för det elektromagnetiska fältet . Detta använder följande kovariansuttryck för åtgärden [57] [58] [59] : $A^{\alpha }\$

GHS	SI
$S=-{\frac {1}{16\pi c}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{\frac {1}{c ^{2}}}\int A_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x$	$S=-{\frac {1}{4\mu _{0}c}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{ \frac {1}{c}}\int A_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x,$

där integration över den invarianta 4-volymen utförs . $d^{4}x=c\,dt\,dv$

Notation med differentialformer

Maxwells ekvationer i kovariant form, liknande vektorrepresentationen i det tredimensionella rummet, kan skrivas i "icke-indexform". För detta introduceras driften av den yttre produkten , som har egenskapen antisymmetri : . Den yttre produkten låter dig skriva uttryck vikta över alla index med antisymmetriska tensorer , som t.ex. Detta ger upphov till objekt som kallas differentialformer (eller helt enkelt former) [60] . 1-formen av fältpotentialen definieras enligt följande (av indexet är summan från 0 till 3): $\kil$ $\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }=-\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }$ $F_{\alpha \beta }\$ $\alfa\$

$\mathrm {A} =A_{\alpha }\mathrm {d} x^{\alpha }\ .$

Från 1-formen, med användning av extern differentiering , erhålls 2-formen av det elektromagnetiska fältet (eller Faraday 2-formen): $\mathrm{d}\$

$\mathrm {F} =\mathrm {d} \,\mathrm {A} =\mathrm {d} A_{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\partial _{\beta } A_{\alpha }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }~\ mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.$

Den yttre differentieringsoperationen har egenskapen , vilket leder till Gauss lag för ett magnetfält och Faradays lag: $\mathrm {d} ^{2}=0\$

$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =\mathrm {d} ^{2}\,\mathrm {A} ={\frac {1}{2}}\,\partial _{\gamma }F_ {\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac { 1}{6))\,(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0.$

För att skriva ner de återstående Maxwell-ekvationerna introduceras 2-formens dual till k , även kallad Maxwell 2-formen [61] : $\mathrm{F}\$ $^{*}\mathrm {F} \$

$^{*}\mathrm {F} ={\frac {1}{2}}\,{\tilde {F}}_{\alpha \beta }~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac {1}{4}}\,F^{\alpha \beta }\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta } ~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },$

och 3-forms ström:

$^{*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d } x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },$

var är den absoluta antisymmetriska Levi-Civita-symbolen ( ). Konvolutionen med Levi-Civita-symbolen för den yttre produkten av differentialer kallas Hodge-stjärnoperatorn . $\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\$ $\epsilon _{0123}=-1\$

I dessa notationer tar Maxwell-ekvationerna i CGS- och SI- systemen följande form [62] :

GHS	SI
$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {d} ^{}\mathrm {F} ={\frac {4\pi }{c}}\,^{}\mathrm {J} ,$	$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {d} ^{}\mathrm {F} =\mu _{0}\,^{}\mathrm {J} .$

Bevis

För att visa ekvivalensen av dessa ekvationer med Maxwells ekvationer är det nödvändigt att skriva dem i tredimensionell vektorform. I det här fallet, i CGS -systemet, har strömmen och Maxwell 2-formen formen:

$^{*}\mathrm {J} =c\rho \mathrm {d} v-\mathbf {j} \mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c,~~~ ~~~~~~~~~~~~~^{*}\mathrm {F} =\mathbf {E} \mathrm {d} \mathbf {s} -\mathbf {B} \mathrm {d} \ mathbf {r} \wedge \mathrm {d} t\,c,$

där är den tredimensionella volymen, och är ytareavektorn i tredimensionellt rymd. Därför att: $\mathrm {d} v=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$ $\mathrm {d} \mathbf {s} =(\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,~\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x,\mathrm {d} x\ kil \mathrm {d} y)$

$\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} =(\nabla \mathbf {E} )\mathrm {d} v+{\Bigl (}{\frac {1}{c}}{\frac {\ partiell \mathbf {E} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {B} {\Bigr )}\mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c.$

sedan, med hänsyn till Maxwells ekvationer i differentialform, får vi . $^{*}\mathrm {J} \$

Med hänsyn till identiteten leder den sista Maxwell-ekvationen, skriven med differentialformer, omedelbart till kontinuitetsekvationen (lagen om laddningskonservering): $\mathrm {d} ^{2}=0\$

$\mathrm {d} ^{*}\mathrm {J} =0\ .$

I denna form förblir Maxwells ekvationer giltiga på ett godtyckligt 4-dimensionellt grenrör, till exempel i den krökta rum-tiden av allmän relativitet . I det här fallet visas determinanten för den metriska tensorn dessutom i relationerna . Till exempel för nuvarande och extern differentiering: $g$

$^{*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },~~~~~~~~ ~~~~~~\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} ={\frac {1}{4}}\,F_{~~;\alpha }^{\alpha \beta }{\ sqrt {-g}}\,\epsilon _{\beta \gamma \delta \eta }~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d}x^{\eta }.$

Vanlig kovariansnotation i komponenter

På ett godtyckligt 4-dimensionellt grenrör, det vill säga i det allmänna fallet, inklusive rum-tid med icke-noll krökning (liksom godtyckliga fyrdimensionella koordinater, inklusive fall av icke-tröghetsreferensramar), kan elektrodynamik också vara formulerad i vanlig indexnotation.

I grund och botten är receptet för övergången från fallet med nollkrökning av rum-tid och Lorentz referenssystem i det, som beskrivs i detalj ovan, till det allmänna fallet att ersätta de vanliga derivatorna med avseende på koordinater med kovarianta derivator , med hänsyn tagen till det faktum att måttet i det här fallet inte är konstant och inte har en speciell Lorentz-typ (det vill säga praktiskt taget godtyckligt), såväl som vid integration - till exempel vid inspelning av en åtgärd - med hänsyn till det faktum att måttet är ingår i volymelementet (genom en faktor - roten av minus metrikens bestämningsfaktor). ${\sqrt {-g))$

I allmän kovariant form har Maxwells ekvationer formen: [63]

F_{\mu \nu :\sigma }+F_{\nu \sigma :\mu }+F_{\sigma \mu :\nu }=0

{\displaystyle F_{:\nu }^{\mu \nu}=4\pi J^{\mu ))

Här betyder ":"-tecknet den kovarianta derivatan, precis som ","-tecknet betyder den vanliga derivatan:

{\displaystyle A_{\mu :\nu }=A_{\mu ,\nu}-\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }A_{\alpha ))

var är Christoffel-symbolen av den andra typen. ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha ))$

Lagen om bevarande av elektrisk laddning i den allmänna kovarianta formen följer av . Genom att multiplicera båda delarna med och använda identiteten finner vi . ${\displaystyle F_{:\nu }^{\mu \nu}=4\pi J^{\mu ))$ ${\sqrt {-g))$ $F_{:\nu }^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}=(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\nu }$ $(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g)))_{,\nu }=4\pi J^{\mu }{\sqrt {-g))$

Härifrån får vi lagen om bevarande av elektrisk laddning i den allmänna kovarianta formen:

(J^{\mu }{\sqrt {-g)))_{,\mu }={\frac {1}{4\pi }}(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\mu \nu }=0

Spinor formulering

Maxwells ekvationer kan skrivas i spinorform :

$\partial _{\lambda {\dot {\sigma }}}f_{\dot {\mu }}^{\dot {\sigma }}+\partial _({\dot {\mu }}\sigma }f_ {\lambda }^{\sigma }=2s_{{\dot {\lambda }}\mu }$ ,

$\partial _{\lambda {\dot {\sigma }}}f_{\dot {\mu }}^{\dot {\sigma }}-\partial _({\dot {\mu }}\sigma }f_ {\lambda }^{\sigma }=0$ ,

där spinorn i den andra rangen bestäms av ekvationen $f$ $f_{\lambda \mu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\lambda {\dot {\sigma }}}\varphi _{\mu }^{\dot {\sigma }} +\partial _{\mu \sigma }\varphi _{\sigma }^{\dot {\sigma )))$ $\varphi _{\mu \nu }$ $\partial _{\mu \nu }$ $s_{\mu \nu }$

Spektral representation

Inom elektrodynamik är harmoniska svängningar av stor betydelse . Dessa fält kan representeras som

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{- i\omega t}+{\mbox{cc}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}],$

$\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{- i\omega t}+{\mbox{cc}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}].$

var är fältsvängningsfrekvensen . Beteckningen "cc" betyder komplex konjugering av föregående term. I vissa tidningar används inte faktorn 1/2 i överenskommelsen om harmoniska amplituder, vilket leder till en motsvarande modifiering av alla uttryck relaterade till detta avtal. Det är också vanligt i litteraturen att välja det omvända tecknet i den komplexa exponenten. Den variant som betraktas här överensstämmer med den som accepteras inom kvantteorin i Schrödinger-representationen . $\omega\$

Energitätheten för de elektriska och magnetiska fälten i medeltal över perioden är resp.

GHS	SI
$\mathbf {S} ={\frac {c}{16\pi }}\left[({\tilde {\mathbf {E} }}^{}}\times {\tilde {\mathbf {H} } }+{\tilde {\mathbf {E} }}\times ({\tilde {\mathbf {H} }}^{}}\right],$ $\langle w_{E}\rangle ={\frac {\tilde {\varepsilon }}{16\pi }}\,\|{\tilde {\mathbf {E} }}\|^{2},$ $\langle w_{H}\rangle ={\frac {\tilde {\mu }}{16\pi }}\,\|{\tilde {\mathbf {H} }}\|^{2}.$	$\mathbf {S} ={\frac {1}{4}}\left[{\mathbf {E} ^{}}\times {\tilde {\mathbf {H} }}+{\tilde {\mathbf {E} }}\ gånger {{\tilde {\mathbf {H} }}^{}}\right],$ $\langle w_{E}\rangle ={\frac {\varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}\|{\tilde {\mathbf {E} }}\|^{2}}{4}},$ $\langle w_{H}\rangle ={\frac {\mu _{0}{\tilde {\mu }}\|{\tilde {\mathbf {H} }}\|^{2}}{4}}.$

Genom att använda Fouriertransformen kan harmoniska svängningar användas för att expandera fält med ett godtyckligt tidsberoende.

\mathbf {E} (r,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,\omega )e ^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi )),

\mathbf {H} (r,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} ,\omega )e ^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi }}.

Övergången till spektrala komponenter gör att vi kan fokusera på fältens koordinatberoende. Maxwells ekvationer för de spektrala komponenterna i homogena medier tar då formen

GHS	SI
$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {4\pi {\tilde {\rho }}}{\tilde {\varepsilon }}},$	$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {\tilde {\rho }}{\varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}}},$
$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,$	$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,$
$\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i{\frac {\omega }{c}}{\tilde {\mathbf {B} }}),$	$\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} )),$
$\nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c}}\left[1+ i{\frac {4\pi {\tilde {\sigma }}}{\omega {\tilde {\varepsilon }}}}\right]{\tilde {\mathbf {E} }}.$	$\nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c^{2}}}\ vänster[1+i{\frac {\tilde {\sigma }}{\omega \varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}}}\höger]{\tilde {\mathbf {E} }}.$

Mediets dielektriska och magnetiska permeabilitet i den spektrala representationen är relaterad till känsligheterna för de konstitutiva ekvationerna i den integrala representationen av Fouriertransformen:

GHS	SI
${\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+4\pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{e}(\tau )e^{i\ omega\tau }d\tau ,$ ${\tilde {\mu ))(\omega )=1+4\pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{m}(\tau )e^{i\ omega \tau }d\tau .$	${\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{e}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau ,$ ${\tilde {\mu ))(\omega )=1+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{m}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau .$

Ekvationer utan fria laddningar och strömmar

I avsaknad av fria laddningar och strömmar , i isotropa och homogena medier utan dispersion, tar Maxwell-ekvationerna följande form: $\rho =0$ $\mathbf {j} =0$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)),~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c)){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t)),$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)),~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac { \varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Lösningarna på dessa ekvationer är den elektriska fältstyrkan och magnetisk induktion . Den dielektriska och magnetiska permeabiliteten bestäms av mediets egenskaper. För vakuum , . $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\varepsilon$ $\mu$ $\varepsilon=1$ $\mu=1$

Vågekvation

Maxwells ekvationer är första ordningens differentialekvationer i koordinater och tid. Men i det andra paret innehåller varje ekvation både okända vektorfunktioner och . I frånvaro av laddningar och strömmar kan man gå över till andra ordningens ekvationer, som var och en beror på endast ett (elektriskt eller magnetiskt) fält [66] : $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

$\Delta \mathbf {E} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{ 2}}}=0,$ $\Delta \mathbf {B} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{ 2}}}=0.$

Sådana ekvationer kallas våg .

Härledning av vågekvationen

Om vi tar rotorn från Faraday-lagen och använder Ampere-Maxwell-lagen får vi (i SI -systemet ):

\nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\right)=-{\frac {\partial }{\partial t))[\nabla \times \mathbf {B} ]=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2} \mathbf {E} }{\partial t^{2}}}.

Å andra sidan, när vi utökar dubbelkorsprodukten, har vi:

\nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]=\nabla \,(\nabla \cdot \mathbf {E} )-\Delta \mathbf {E} =-\Delta \mathbf {E} ,

eftersom divergensen av det elektriska fältet i vakuum är noll. Genom att likställa dessa två uttryck får vi vågekvationen för det elektriska fältet. Vågekvationen för magnetfältet erhålls på liknande sätt.

I Lorentz-mätaren , i frånvaro av laddningar och strömmar, uppfylls vågekvationen också av skalär- och vektorpotentialerna:

\Delta \varphi -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2))}=0,~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {A} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\ partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2))}=0.

Värdet som ingår i vågekvationerna bestämmer utbredningshastigheten för elektromagnetiska fält i mediet. Dess maximala värde uppnås i vakuum när och . $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $c$ $\varepsilon=1$ $\mu=1$

Helmholtz ekvation

Låt vara den cirkulära frekvensen för den harmoniska signalen, och tidsberoendet väljs som . I frånvaro av elektriska laddningar i mediet tar Helmholtz-ekvationen formen: $\omega$ ${\displaystyle e^{-i\omega t))$

$\Delta \mathbf {E} +k^{2}\mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {B } +k^{2}\mathbf {B} =0,$

var . $k^{2}=\mu \varepsilon {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$

Maxwells ekvationer i mejram form

När man studerar de kvantmekaniska egenskaperna hos en foton är det lämpligt att representera Maxwells ekvationer för tomhet i Majorana-formen, som liknar Dirac-ekvationen för en masslös partikel. [67]

Maxwells ekvationer i Majorana-form har formen: [68]

i{\frac {\partial \xi }{\partial t))={\vec {s}}{\vec {p}}\xi

... _

{\vec {p}}{\vec {\xi }}=0

i{\frac {\partial \eta }{\partial t))={\vec {s}}{\vec {p}}\eta

... _

{\vec {p}}{\vec {\eta }}=0

Här: , , ${\vec {\xi }}={\vec {E}}+i{\vec {H}}$ ${\vec {\eta }}={\vec {E}}-i{\vec {H}}$

${\vec {E}},{\vec {H}}$ - vektorer av elektriska och magnetiska fält i Maxwells ekvationer för tomhet (i det relativistiska enhetssystemet ):

{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-\operatörsnamn {rot} {\vec {E}}

... _

\operatörsnamn {div} {\vec {H}}=0

{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=\operatörsnamn {rot} {\vec {H}}

... _

\operatorname {div} {\vec {E}}=0

${\vec {p}}=({\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {1}{i}}{ \frac {\partial }{\partial x_{2))},{\frac {1}{i)){\frac {\partial }{\partial x_{3))})$ - momentumoperator, - vektor med matriskomponenter: ${\vec {s))$

s_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix)),

s_{2}={\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix)),

s_{3}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix)),

Några exakta lösningar

Fältet för en rörlig punktladdning

Om laddningen rör sig med konstant hastighet , uppstår ett magnetfält runt den , och den elektriska styrkan upphör att vara sfäriskt symmetrisk [69] : $\mathbf {u}$ $\mathbf {B}$

GHS	SI
$\mathbf {E} ={\frac {Q}{\varepsilon }}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\frac {1-u^{2} /c^{2}}{(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}/c^{2})^{3/2}}}$ $\mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c))\,[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$	$\mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\ frac {1-u^{2}/c^{2}}{(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}/c^{2})^{3/2 }}}$ $\mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$

Enhetsvektorn riktas från laddningen till mätpunkten för fältstyrkan. är vektorns modul . Om vi introducerar vinkeln mellan vektorerna och , då . På ett fast avstånd från laddningen är den elektriska fältstyrkan minimal vid punkter belägna på laddningens rörelselinje. Det maximala värdet uppnås i det plan som passerar genom laddningen vinkelrätt mot dess hastighet. Magnetisk induktion, i kraft av vektorprodukten, är vinkelrät mot hastigheten och det elektriska fältet. Eftersom laddningen rör sig, vid en fast punkt i rymden, förändras de elektriska och magnetiska fälten med tiden. De uppfyller Maxwells ekvationer med laddning och strömtäthet proportionell mot Dirac delta-funktionen : $\mathbf {n} =\mathbf {r} /r$ $r$ $\mathbf {r}$ $\theta$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {n}$ $[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}=u^{2}\sin ^{2}\theta$

\rho (\mathbf {r} )=Q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}),~~~~~~~~~~~~\mathbf {j} (\mathbf {r} )=\mathbf {u} \,\rho (\mathbf {r} )

var är laddningens nuvarande position. $\mathbf {r} _{0}$

En testladdning som rör sig i samma referensram påverkas av Lorentzkraften . Det kan erhållas med hjälp av Lorentz-transformationer från Coulombs lag och principen om laddningsinvarians [70] . I denna mening är magnetfältet i sig en relativistisk effekt. $q$

Om en punktladdning rör sig med acceleration, beror fältet som skapas av den inte bara på hastigheten utan också på accelerationen. Fältets komponent, som beror på accelerationen, motsvarar strålningen från en elektromagnetisk våg [40] .

Plana elektromagnetiska vågor

Låt oss anta att den elektriska fältstyrkan och magnetisk induktion är godtyckliga funktioner av följande kombination av koordinater och tid:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} {\Bigl (}\mathbf {n} \mathbf {r} -{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} {\Bigl (} \mathbf {n} \mathbf {r} -{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},

var är någon konstant vektor. I det här fallet, och uppfyll Maxwells ekvationer i frånvaro av laddningar och strömmar, om följande förhållande finns mellan dem: $\mathbf {n}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

GHS	SI
$\mathbf {B} ={\sqrt {\varepsilon \mu }}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]$	$\mathbf {B} ={\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]$

och de är vinkelräta mot vektorn , som måste vara enhet: $\mathbf {n}$

$\mathbf {n} \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {n} \mathbf {B} =0,~~~~~~~~~ ~~~~~~\mathbf {n} ^{2}=1.$

Härledning av lösningen för en plan våg

Om den elektriska fältstyrkan beror på koordinaterna och tiden i form av följande kombination av dem , då kan vi skriva för derivatan av vektorns -th komponent med avseende på -th koordinaten och tiden: $u=\mathbf {n} \mathbf {r} -ct/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $j\$ $\mathbf {E}$ $jag\$

$\nabla _{i}E_{j}={\frac {\partial E_{j}}{\partial r_{i}}}={\frac {dE_{j}}{du}}\,{\frac {\partial u}{\partial r_{i}}}=n_{i}E_{j},~~~~~~~~~~~~~~~{\frac {\partial E_{j} } {\partial t}}=-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}{\frac {dE_{j}}{du}},$

och liknande för magnetisk induktion. Därför tar Maxwells ekvationer i frånvaro av laddningar och strömmar formen ( SI- system ):

${\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {E} )}{du}}=0,~~~~~~~{\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {B} ) } {du}}=0,~~~~~~~~{\frac {d}{du}}{\bigl (}[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]-{\frac { c }{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\mathbf {B} {\bigr )}=0,~~~~~~~~{\frac {d}{du}}{\bigl (}[ \ mathbf {n} \times \mathbf {B} ]+{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\mathbf {E} {\bigr )}=0.$

Genom att integrera dessa relationer över och utelämna integrationskonstanter som motsvarar konstanta fält får vi: $u$

$\mathbf {n} \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~\mathbf {n} \mathbf {B} =0,~~~~~~~~~\mathbf {B} = { \frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ],~~~~~~~~~~\mathbf {E} =- { \frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {B} ].$

Om vi ersätter den fjärde ekvationen med den tredje får vi . $\mathbf {n} ^{2}=1$

Den fysiska innebörden av lösningen i form av en plan våg är följande. Vi väljer axeln för det kartesiska koordinatsystemet så att vektorn är riktad längs den. Då beror vågens elektriska och magnetiska fält på koordinaten och tiden enligt följande: $z\$ $\mathbf {n}$ $z\$ $t\$

$\mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} {\Bigl (}z-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},~~~ ~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (z,t)=\mathbf {B} {\Bigl (}z-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu } }}t{\Bigr )},$

Låt oss anta att fältstyrkan vid det första ögonblicket är en godtycklig vektorfunktion . Med tiden kommer denna funktion att förskjutas i rymden längs axeln med en hastighet av . $t=0\$ $z\$ $z\$ $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$

I en elektromagnetisk våg, i det allmänna fallet, kan fältstyrkan vara en godtycklig icke-periodisk funktion . Till exempel kan en planvågslösning beskriva en elektromagnetisk puls lokaliserad längs rörelseriktningen. I ett plan vinkelrätt mot , förändras inte elektromagnetiska fält, vilket innebär att i detta plan är den plana vågen inte begränsad och har en platt fasfront (vilket är anledningen till att vågen kallas plan ). Eftersom de elektriska och magnetiska fälten under utbredningen av en plan våg hela tiden förblir vinkelräta mot vektorn , kallas sådana vågor "tvärgående" eller "tvärgående". Vektorerna och på grund av korsproduktens egenskaper är också vinkelräta mot varandra. $u=\mathbf {n} \mathbf {r} -ct/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

$\kula$ Energitätheten för de elektriska och magnetiska fälten i en plan våg är lika med varandra:

GHS	SI
$w_{E}=w_{H}={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,\mathbf {E} ^{2}$	$w_{E}=w_{H}={\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{2}}\,\mathbf {E} ^{2}$

Poynting-vektorn (energiflödestäthet), oavsett enhetssystem, är relaterad till den totala energitätheten enligt följande:

$\mathbf {S} ={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}\,\mathbf {n} \,(w_{E}+w_{H}).$

Detta förhållande motsvarar ekvationen av momentum och energi för en masslös partikel i den relativistiska teorin . Hastigheten i mediet är dock mindre än ljusets hastighet i vakuum . $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $c$

Plana och tvärgående vågor är matematiska abstraktioner. På grund av effekten av diffraktion kan verkliga vågor med ändlig apertur betraktas som plana och tvärgående endast i någon approximation.

$\kula$ Ett viktigt specialfall av planvågslösningen uppstår när fältstyrkorna är harmoniska periodiska funktioner. Vi väljer koordinataxeln längs vågvektorn . Då kommer det elektriska fältets vektor (liksom magnetfältet) att ligga i planet , det vill säga . Om det elektriska fältet för varje projektion i detta plan oscillerar periodiskt, kallas en sådan våg en monokromatisk planvåg: $z$ $\mathbf {k}$ $(x,y)$ $\mathbf {E} =(E_{x},E_{y},0)$

$E_{x}=a\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi _{1}),~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~E_{y}=b\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi _{2}).$

Jämförelse med den allmänna planvågslösningen leder till följande förhållande mellan en vektor och en konstant , som kallas dispersionsekvationen : $\mathbf {k}$ $\omega$

$\mathbf {k} =\mathbf {n} \,{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,\omega ,~~~~~~~~~~~~~~\mathbf { k} ^{2}={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\,\omega ^{2}.$

I detta fall kallas vektorn för vågvektorn och den cirkulära frekvensen för den monokromatiska elektromagnetiska vågen. Vågvektormodul och cirkulär frekvens är relaterade till våglängd och frekvens enligt följande: $\mathbf {k}$ $\omega$ $\lambda$ $\nu$

$k={\frac {2\pi }{\lambda )),~~~~~~~~~\omega =2\pi \nu ,~~~~~~~~~~~\lambda \nu = {\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}.$

Konstanterna och är fasförskjutningar, och och är oscillationsamplituderna längs varje axel. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$ $a$ $b$

Vid en fast punkt i rymden ( ), beskriver den elektriska fältvektorn, i det allmänna fallet, en ellips i planet, därför kallas sådana vågor elliptiskt polariserade . Deras speciella fall är vågor polariserade i en cirkel. Ellipsen degenererar till en rät linje motsvarar svängningarna av fältstyrkan längs en rät linje i planet . Sådana vågor kallas linjärt polariserade. Situationen är liknande med den magnetiska induktionsvektorn, som alltid är vinkelrät mot den elektriska fältstyrkan. $\mathbf {k} \mathbf {r} =\mathrm {konst}$ $(x,y)\$ $(x,y)\$

Samband med andra teorier

Maxwells ekvationer är helt kompatibla med principerna för speciell relativitet . De är också tillämpliga i den mikroskopiska beskrivningen av materia, när laddade partiklar lyder kvantmekanikens principer , och det elektromagnetiska fältet förblir klassiskt (inte kvant). I det här fallet beskrivs kvantobjekt (till exempel elektroner ) av Schrödinger- ekvationen eller Dirac-ekvationen , men de elektromagnetiska interaktionspotentialerna i dessa ekvationer bestäms av de klassiska Maxwell-ekvationerna.

Ändå finns det fenomen som kräver en mer konsekvent förening av Faraday-Maxwell-fältmetoden med kvantmekanikens principer. Den utförs med hjälp av kvantfältteorins metoder inom kvantelektrodynamik . I det här fallet förblir formen av Maxwells ekvationer (Lagrangian) oförändrad, men fälten blir operatorer och Maxwells ekvationer blir Heisenbergs operatorekvationer . Lösningen av sådana ekvationer leder till uppkomsten av nya effekter som saknas i klassisk fältteori. Dessa effekter är betydande, särskilt i följande fysiska situationer:

Superstarka fält ( ≈1,32×10 18 V/m, där är massan av en elektron , är dess laddning, är Plancks konstant ) - arbetet för ett sådant fält vid Compton-våglängden för en elektron är lika i storleksordning till elektronens restenergi , vilket leder till spontan generering av elektron-positronånga från vakuum ( Schwingereffekt ) [71] . Som ett resultat uppstår en effektiv interaktion av fotoner, som saknas i klassisk elektrodynamik, vilket leder till en effektiv förändring i fältet Lagrangian (till exempel i lågenergigränsen beskrivs fältet av Heisenberg-Euler Lagrangian [72 ) ] ). $E\sim m_{e}^{2}c^{3}/e\hbar$ $mig}\$ $e\$ $\hbar$
Supersvaga fält med energi , var är fältfrekvensen (se Plancks formel ). I detta fall blir enskilda kvanta av det elektromagnetiska fältet märkbara - fotoner . $\sim \hbar \omega$ $\omega\$
Att beskriva effekterna av absorption och emission av ljus från atomer och molekyler.
För att beskriva icke-klassiska, till exempel, komprimerade fälttillstånd [73] .
På korta avstånd, jämförbar med Compton-våglängden för en elektron ≈ 3,86 × 10 −13 m, när till exempel Coulomb-lagen modifieras som ett resultat av vakuumeffekter . $\lambda _{e}=\hbar /m_{e}c$

Axiomatic approach

Historiskt sett uppstod Maxwells ekvationer som ett resultat av generalisering av olika experimentella upptäckter. Men ur en axiomatisk synvinkel kan de erhållas med hjälp av följande sekvens av steg [74] :

Postulerat:
- Coulombs lag (påtvingar testladdningen från den stationära laddningen ); $\mathbf {F}$ $q$ $F$
- laddningsinvarians i olika tröghetsreferensramar;
- superpositionsprincipen .
Med hjälp av Lorentz-transformationer erhålls värdet för kraftvektorn som verkar på testladdningen från den sida av laddningen som rör sig jämnt med en hastighet , som sammanfaller med Lorentz-kraften . $\mathbf {F}$ $\mathbf {u}$ $F$
Divergens och krullning beräknade från de elektriska ( ) och magnetiska ( ) komponenterna av kraften ger Maxwells ekvationer för en punktladdning. I kraft av superpositionsprincipen är de skrivna för en godtycklig fördelning av laddningar och strömmar. Sammanfattningsvis postuleras tillämpligheten av dessa ekvationer på den accelererade rörelsen av laddningar. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Det andra tillvägagångssättet är baserat på den lagrangska formalismen [75] . Samtidigt postuleras det att det elektromagnetiska fältet beskrivs av en linjär växelverkan mellan den fyrdimensionella potentialen och den elektriska strömmen med fyra vektorer , och den fria Lagrangian är proportionell mot den invarianta faltningen av kvadraten av den elektromagnetiska fälttensorn . ${\displaystyle A^{\alpha ))$ ${\displaystyle j^{\alpha ))$ ${\displaystyle F^{\alpha \beta ))$

I både det första och andra tillvägagångssättet antas principerna för relativitetsteorin vara etablerade . Även om det historiskt sett uppstod på grundval av Maxwells ekvationer och Einsteins andra postulat, finns det en axiomatisk metod för att konstruera SRT som går tillbaka till verken av Ignatovsky [76] , Frank och Rothe [77] och som inte använder postulatet om invariansen. av ljusets hastighet och Maxwells ekvationer.

I båda axiomatiska tillvägagångssätten erhålls Maxwells ekvationer i vakuum i närvaro av fria laddningar. Utvidgningen av dessa ekvationer till elektrodynamiken hos kontinuerliga medier kräver ytterligare involvering av olika modellidéer om materiens struktur.

Unikhet med lösningar av Maxwells ekvationer

Maxwells ekvationer är partiella differentialekvationer . Därför, för att lösa dem, är det nödvändigt att ställa in initiala och randvillkor . För fasta funktioner för laddningstäthet och ström för icke-stationära fält är den resulterande lösningen unik. Detta faktum är formulerat som ett teorem [78] [79] [80] :

Om styrkorna hos de elektriska och magnetiska fälten ges vid det initiala tidsögonblicket vid varje punkt i ett visst område av rymden , och under hela tiden de tangentiella (tangentiella) komponenterna av den elektriska eller magnetiska fältstyrkan vid gränsen för denna region ges , så finns det en unik lösning på Maxwells ekvationer. $t=0$ $v$ $t\geq 0$ $s$

Bevis

Låt den elektriska och magnetiska induktionen relateras till fältstyrkorna med hjälp av följande konstitutiva ekvationer:

$\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\varepsilon }}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),~~~ ~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\mu }}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {H } (\mathbf {r} ,t),$

där och är positiva definitiva, symmetriska, stationära matriser. Om det, under givna initiala och randvillkor, finns två olika lösningar, kommer följande kvantiteter att vara icke-noll: ${\hat {\varepsilon ))(\mathbf {r} )$ ${\hat {\mu ))(\mathbf {r} )$

$\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{2}(\mathbf {r} ,t)-\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} , t),~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {H} _{2}(\mathbf {r} , t)-\mathbf {H} _{1}(\mathbf {r} ,t),$

där indexet anger lösningsnumret. Eftersom initial- och randvillkoren är givna (samma för båda möjliga lösningarna), då:

$\mathbf {e} (\mathbf {r} ,0)=\mathbf {h} (\mathbf {r} ,0)=0,~~~~~~~~~~~~~~~~[\mathbf { e} _{\tau }(\mathbf {r} ,t)\cup \mathbf {h} _{\tau }(\mathbf {r} ,t)]{\Big |}_{s}=0 .$

De första relationerna motsvarar de initiala villkoren, och den andra till randvillkoren på ytan , där . (Indexet är den normala komponenten till ytan, och är tangenten. Likaså för ) Att ersätta funktionerna och i Maxwells ekvationer för rotorer leder till följande ekvationer: $s$ $\mathbf {e} =\mathbf {e} _{n}+\mathbf {e} _{\tau }$ $n$ $\tau$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)$ $\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)$

$k\,\nabla \times \mathbf {e} =-{\frac {\partial ({\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )}{\partial t)),~~~~~ ~~~~~~~~~~~~k\,\nabla \times \mathbf {h} ={\frac {\partial ({\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} )}{ \partial-t}},$

där koefficienten är lika i CGS - systemet och enhet i SI - systemet . Om ett av skillnadsfälten eller är lika med noll, så på grund av nollstartvillkoren, respektive, från den första eller andra ekvationen följer det att det obestämda skillnadsfältet är lika med noll respektive eller , och unikhet i dessa speciella fall är bevisat. $k$ $c$ $\mathbf {e}$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {e}$

Låt oss anta att båda skillnadsfälten inte är lika med noll. Om den första ekvationen multipliceras med , och den andra med , och subtraheras från varandra, kommer följande uttryck att erhållas: $\mathbf {h}$ $\mathbf {e}$

-2k\,\nabla \cdot (\mathbf {e} \times \mathbf {h} )={\frac {\partial (\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon ))\cdot \mathbf { e} )}{\partial t}}+{\frac {\partial (\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )}{\partial t}}).

Detta uttryck kan integreras över volym och tillämpa Gauss sats : $v$

-2k\oint \limits _{s}[\mathbf {e} \times \mathbf {h} ]\,d\mathbf {s} ={\frac {d}{dt))\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv.

Komponenterna i vektorerna är tangentiella (tangentiella) mot ytan eller är lika med noll för alla (gränsvillkor), därför är integralen över ytan också lika med noll. Följaktligen: $s$ $\mathbf {e} _{\tau }$ $\mathbf {h} _{\tau }$ $t\geq 0$

{\frac {d}{dt}}\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv=0.

Den resulterande relationen integreras över tiden. Eftersom vid den initiala tiden för funktionen är integrationskonstanten lika med noll och för alla : $t=0$ $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,0)=\mathbf {h} (\mathbf {r} ,0)=0$ $t$

\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon ))\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu )) \cdot \mathbf {h} )\,dv=0.

Integranden är positiv definit (alltid större än eller lika med noll). Integralen för en sådan funktion är noll endast om integranden är identiskt noll. Därför, när som helst inuti volymen och . Så lösningarna är desamma. $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)=0$ $\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)=0$

För det unika med lösningen av Maxwell-ekvationerna kan man istället för att specificera fältets tangentiella komponenter kräva att villkoret för impedanstypen är uppfyllt vid gränsen

\left(\mathbf {E} _{\tau }-Z[\mathbf {n} \times \mathbf {H} ]\right){\Big |}_{s}=0,

där impedansen är vald för att utesluta inflödet av energi från utsidan. Detta tillstånd tillåter oss att formulera unikhetssatsen även i det obegränsade fallet, och impedansvillkoret övergår till Sommerfeld-strålningsvillkoret i oändligheten. $Z$

För processer som är harmoniska i tid säkerställs det unika med lösningen av problemet utan initiala villkor genom en godtyckligt liten absorption av energi inuti volymen eller dess läckage genom ytan (exklusive naturliga svängningar vid verkliga resonansfrekvenser ). $v$ $s$

I stationära problem med elektrostatik och magnetostatik bestäms den enda lösningen för stabila fält endast av randvillkoren.

Numerisk lösning av Maxwells ekvationer

Med utvecklingen av datorteknik har det blivit möjligt att lösa många problem inom elektrodynamiken med numeriska metoder [81] , som gör det möjligt att bestämma fördelningen av det elektromagnetiska fältet under givna initiala och randvillkor, med hjälp av algoritmer baserade på Maxwells ekvationer.

Huvudmetoderna är projektionsmetoder, där lösningen projiceras på någon lämplig funktionell grund, och diskretiseringsmetoder, där ett område av rymden är uppdelat i många små ändliga regioner.

I Bubnov–Galyorkin- projektionsmetoden [82] betraktas lösningen av ett gränsvärdeproblem som en ungefärlig finit expansion i termer av basfunktioner. Efter att ha ersatt expansionen i de ursprungliga ekvationerna, med hänsyn tagen till kravet att den resulterande diskrepansen är ortogonal mot de valda basfunktionerna, erhålls ett system av linjära ekvationer för expansionskoefficienterna.

För datorberäkningar används oftare mer universella diskretiseringsmetoder:

Finita elementmetod (FEM), som används för att lösa en bred klass av problem som reduceras till partiella differentialekvationer. I teorin om elektromagnetism används det oftare för att beräkna problem med elektrostatik, magnetostatik, vågutbredning och kvasistationära fenomen [83] [84] . I den finita elementmetoden är den övervägda delen av rymden där en lösning söks uppdelad i ett stort antal enkla diskreta element, vanligtvis, men inte nödvändigtvis, triangulära (i det tvådimensionella fallet) eller tetraedriska (i tre- dimensionellt hölje). Elementens form och täthet anpassas efter uppgiftens krav. Beteendet hos enskilda element betraktas som ett resultat av den linjära interaktionen mellan angränsande noder i partitionsgittret under inverkan av yttre krafter och beskrivs av matrisekvationer. Lösningen av problemet reducerar alltså till att lösa glesa system av ett stort antal linjära matrisekvationer. Metoden är implementerad i många kommersiella och fria mjukvarupaket (se artikeln Finite Element Method ).

Tidsdomänen finita skillnadsmetoden (FDTD) för att hitta tids- och spektralberoenden [85] [86] utvecklades specifikt för att lösa Maxwell-ekvationerna, där förändringen i de elektriska och magnetiska fälten i tid beror på förändringen i det magnetiska och elektriska fält i rymden, respektive. Inom ramen för denna metod utsätts ett område av rum och ett tidsintervall för enhetlig diskretisering med tilldelning av initiala villkor. De finita differensekvationerna som erhålls från Maxwell-ekvationerna löses vid varje efterföljande ögonblick av tidsrutnätet tills lösningen av problemet erhålls över hela det erforderliga tidsintervallet.

Källor

↑ Oersted H.K. "Experiment relaterade till verkan av en elektrisk konflikt på en magnetisk nål", i boken. Amper A. M. Elektrodynamik. - M. : AN SSSR, 1954. - S. 433-439. — 492 sid. - 5000 exemplar.
↑ J.-B. Biot och F. Savart , Note sur le Magnétisme de la pile de Volta Arkiverad 2 november 2009 på Wayback Machine . Annales Chim. Phys. - vol. 15.-s. 222-223 (1820)
↑ Mario Gliozzi. Fysikens historia. - M . : Mir, 1970. - S. 253-257. — 464 sid.
↑ Maxwell J.K. Utvalda verk om teorin om det elektromagnetiska fältet. - M. : GITTL, 1952. - S. 349. - 687 sid.
↑ Maxwell J.K. Utvalda verk om teorin om det elektromagnetiska fältet. - M. : GITTL, 1952. - S. 632. - 687 sid.
↑ Maxwell J.K. On Faradays kraftlinjer i boken. Maxwell JK Selected arbetar med teorin om det elektromagnetiska fältet. - M. : GITTL, 1952. - S. 11-88. — 687 sid.
↑ Maxwell JC på Faradays kraftlinjer // Transaktioner av Cambridge Philosophical Society. - 1856. - T. 10 , nr 1 . - S. 155-229 . Arkiverad från originalet den 17 december 2008.
↑ 1 2 3 Shapiro I. S. Om historien om upptäckten av Maxwells ekvationer // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Ryska vetenskapsakademin , 1972. - T. 108 , nr 2 . - S. 319-333 . Arkiverad från originalet den 22 maj 2013. (ryska)
↑ Maxwell J.K. Om fysiska kraftlinjer i boken. Maxwell JK Selected arbetar med teorin om det elektromagnetiska fältet. - M. : GITTL, 1952. - S. 107-177. — 687 sid.
↑ Maxwell JC om fysiska kraftlinjer // Filosofisk tidskrift: Ser. 4. - 1861.1862. - T. 11.13 . - S. 161-175, 281-291, 338-347; 12-23, 85-95 . Arkiverad från originalet den 12 juni 2009.
↑ Maxwell J.K. Dynamisk teori om det elektromagnetiska fältet i boken. Maxwell JK Selected arbetar med teorin om det elektromagnetiska fältet. - M. : GITTL, 1952. - S. 251-316. — 687 sid.
↑ Maxwell JC En dynamisk teori om det elektromagnetiska fältet // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : tidskrift. - 1865. - Vol. 155 . - s. 459-512 . Arkiverad från originalet den 28 juli 2011.
↑ Maxwell JC A Treatise on Electricity And Magnetism, 1873
↑ Paul J. Nahin. Oliver Heaviside: livet, arbetet och tiderna för ett elektriskt geni från den viktorianska tiden (engelska) . — JHU Tryck, 2002. - S. 108-112. — ISBN 9780801869099 . Arkiverad 1 oktober 2014 på Wayback Machine
↑ Aharonov, Y; Bohm, D. Betydelsen av elektromagnetiska potentialer i kvantteorin (engelska) // Physical Review : journal. - 1959. - Vol. 115 . - s. 485-491 . - doi : 10.1103/PhysRev.115.485 .
↑ Nahin PJ Oliver Heaviside: livet, arbetet och tiderna för ett elektriskt geni från den viktorianska tidsåldern Arkiverad 25 september 2014 på Wayback Machine . — JHU Tryck. - s. 108-112. — ISBN 978-0-8018-6909-9
↑ 1 2 Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Körper Ann Phys. 1905. Bd 17. S. 891 _ _ _ _ - M . : Nauka, 1965. - T. 1. - S. 7-35. — 700 s. - 32 000 exemplar.
↑ Myron Evans. Modern olinjär optik (neopr.) . - John Wiley and Sons , 2001. - P. 240. - ISBN 9780471389316 . Arkiverad 29 september 2014 på Wayback Machine
↑ Larmor J. Eter och materia. – Cambridge. - 1900. - sid. 162-193. Översättning: Larmor J. Eter och materia i boken. Relativitetsprincipen. Samling av verk om den speciella relativitetsteorin / Sammanställd av A. A. Tyapkin. - M .: Atomizdat , 1973. - S. 47-64. — 332 sid.
↑ Lorentz H. A. Elektromagnetiska fenomen i ett system som rör sig med vilken hastighet som helst som är mindre än ljusets. — Amst. Proc. - V. 6. - P. 809; 1904. - V. 12. - P. 986. Översättning: Lorentz G. A. Elektromagnetiska fenomen i ett system som rör sig med vilken hastighet som helst som är mindre än ljusets hastighet i boken. Relativitetsprincipen. Samling av verk om den speciella relativitetsteorin / Sammanställd av A. A. Tyapkin. — M .: Atomizdat , 1973. — S. 67-86. — 332 sid.
↑ Poincare H. Sur la dynainique de l'electron. — Comptes Rendues, Acad. sci. — Paris. - 1905. - V. 140. - P. 1504. Översättning: Poincare A. Om dynamiken hos elektronen i boken. Relativitetsprincipen. Samling av verk om den speciella relativitetsteorin / Sammanställd av A. A. Tyapkin. - M . : Atomizdat , 1973. - S. 90-93. — 332 sid.
↑ Pauli W. Relativitetsteori. - M . : Vetenskap. - S. 13-17.
↑ Berestetsky V. B. , Lifshits E. M. , Pitaevsky L. P. Quantum electrodynamics. - 4:e upplagan, reviderad. — M .: Fizmatlit , 2002. — 720 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym IV). — ISBN 5-9221-0058-0 .
↑ L. B. Okun . Bilaga I // Elementarpartiklars fysik. — M .: Nauka, 1984.
↑ D. V. Sivukhin . Om det internationella systemet för fysiska kvantiteter // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Ryska vetenskapsakademin , 1979. - T. 129 , nr 10 . - S. 335 . Arkiverad från originalet den 14 april 2010. (ryska)
↑ S. G. Karshenboim. Grundläggande fysiska konstanter: roll i fysik och metrologi och rekommenderade värden // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Ryska vetenskapsakademin , 2005. - T. 175 , nr 3 . - S. 271 . Arkiverad från originalet den 28 mars 2010. (ryska)
↑ Bolotovsky B.M. Oliver Heaviside . - M . : Nauka, 1985. - S. 43-44. — 260 sid. Arkiverad 14 mars 2022 på Wayback Machine
↑ O. Haviside, "Om de elektromagnetiska effekterna på grund av rörelsen av elektrifiering genom en dielektrikum" Arkiverad 20 januari 2012 på Wayback Machine , Phil.Mag. S.5 27 , sid. 324, 1889.
↑ Kartsev V.P. "Adventures of great equations", M.: Knowledge, 1986.
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Kvantitetsenheter. Ordbokshänvisning. - M . : Publishing house of standards, 1990. - S. 213. - 240 sid. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). CODATA Rekommenderade värden för de grundläggande fysiska konstanterna: 2006. Rev. Mod. Phys. 80: 633-730. doi : 10.1103/RevModPhys.80.633 .
↑ Värden på fysiska konstanter . Hämtad 30 mars 2007. Arkiverad från originalet 31 augusti 2014. (obestämd)
↑ Sena L. A. Enheter av fysiska storheter och deras dimensioner. — M.: Nauka. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1988. - 432 s., ill. ISBN 5-02-013848-7 , § 7.5.
↑ Till exempel, Tabeller över fysiska kvantiteter / acad. I. K. Kikoin . — M .: Atomizdat , 1976.
↑ Brytningsindexdatabas . Hämtad 17 april 2010. Arkiverad från originalet 22 december 2017. (obestämd)
↑ Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 42-45. — 539 sid. - 8000 exemplar.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — S. 112-113. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — S. 69-76,95-96. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 34-35. — 539 sid. - 8000 exemplar.
↑ 1 2 Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — S. 215-218. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Ginzburg V. L. Teoretisk fysik och astrofysik. - M. : Nauka, 1981. - S. 12. - 503 sid.
↑ Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 37-40. — 539 sid. - 8000 exemplar.
↑ Essex EA Hertz vektorpotentialer för elektromagnetisk teori. — American Journal of Physics . - 45. - 1977. - 1099-1101.
↑ A. Nisbet, "Hertziska elektromagnetiska potentialer och tillhörande mättransformationer", Proc. av Royal Soc. av London. Ser. A., 231, #1185, 250-263, 1955.
↑ P. Debye. Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material (tyska) // Annalen der Physik . - 1909. - Bd. 30 . - S. 57-136 .
↑ Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 345-348. — 539 sid. - 8000 exemplar.
↑ R. Janaswamy. En anteckning om {TE/TM}-nedbrytningen av elektromagnetiska fält i tredimensionellt homogent utrymme // IEEE -transaktioner på antenner och utbredning . - 2004. - Vol. 52 . - P. 2474-2476 .
↑ L. Silberstein. Electromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung (tyska) // Annalen der Physik . - 1907. - Bd. 22 . — S. 579 .
↑ 1 2 I. Bialynicky-Birula. Fotonvågsfunktion // Framsteg inom optik . - 1996. - Vol. 36 . - S. 245-294 .
↑ Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 40-42. — 539 sid. - 8000 exemplar.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — S. 88-90. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodynamik: En introduktion inklusive kvanteffekter. - Singapore: World Scientific, 2004. - S. 398 399. — 522 sid. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodynamik: En introduktion inklusive kvanteffekter. - Singapore: World Scientific, 2004. - S. 399. - 522 sid. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — S. 90-91. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodynamik: En introduktion inklusive kvanteffekter. - Singapore: World Scientific, 2004. - S. 403. - 522 sid. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — S. 70-73. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ 1 2 Müller-Kirsten HJW Elektrodynamik: En introduktion inklusive kvanteffekter. - Singapore: World Scientific, 2004. - S. 428. - 522 sid. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. - M .: Nauka , 1988. - S. 102. - (" Theoretical Physics ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Fedosin SG Principen om minsta verkan i kovariant teori om gravitation. Arkiverad 12 mars 2017 på Wayback Machine Hadronic Journal, 2012, Vol. 35, nr. 1, sid. 35-70; artikel på ryska: Principen om minsta handling i den kovarianta teorin om gravitation. Arkiverad 12 mars 2017 på Wayback Machine
↑ Bolibrukh A. A. Maxwell's Equations and Differential Forms Arkivkopia daterad 1 februari 2019 på Wayback Machine , MTsNMO, 2002.
↑ Misner C. , Thorn C. , Wheeler J. Gravity . - M . : Mir, 1977. - T. 1. - S. 195,196. — 474 sid.
↑ Misner C. , Thorn C. , Wheeler J. Gravity . - M . : Mir, 1977. - T. 1. - S. 153-155. — 474 sid.
↑ Dirac P.A.M. Allmän relativitetsteori. - M . : Atomizdat, 1978. - 64 sid.
↑ Van der Werden B. L. Metod för gruppteori i kvantmekanik, M., Editorial URSS, 2004, ISBN 5-354-00700-3
↑ Rumer Yu. B. Spinoranalys, M., NKTP, 104 sidor.
↑ Saveliev, 1970 , § 109. Vågekvation.
↑ Mignani, R., Recami, E., Baldo, M. , Om en Dirac-liknande ekvation för fotonen, enligt Ettore Majorana, Lett. Nuovo Cimento 11:568-572 (1974)
↑ A. I. Akhiezer , V. B. Berestetsky Quantum electrodynamics. - M., Nauka, 1981. - sid. 80
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. - M . : Nauka , 1988. - S. 128-130. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Berkeley fysikkurs. Volym 2. Purcell E. Elektricitet och magnetism. — M.: Nauka, 1971.
↑ Schwinger J. Om mätinvarians och vakuumpolarisation // Phys . Varv. Lett. . - 1951. - Vol. 82 . — S. 664 .
↑ Heisenberg W. , Euler H. Folgerungen aus der Dlracschen Theorie des Positrons (tyska) // Z. Phys. . - 1936. - Bd. 98 . - S. 714 .
↑ A. V. Belinsky, A. S. Chirkin Compressed state - artikel från Physical Encyclopedia
↑ Purcell E. Berkeley fysikkurs. - M . : Vetenskap. - T. II. elektricitet och magnetism. - S. 149-181.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ von W. v. Ignatowsky "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip" Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 ( rysk översättning arkiverad 2 juli 2017 på Wayback Machine )
↑ av Philipp Frank och Hermann Rothe "Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme" Ann. der Physic, Ser. 4, vol. 34, nr. 5, 1911, sid. 825-855 ( rysk översättning Arkiverad 29 augusti 2014 på Wayback Machine )
↑ Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 429-430. — 539 sid. - 8000 exemplar.
↑ Nikolsky V.V., Nikolskaya T.I. Elektrodynamik och utbredning av radiovågor. M.: Nauka, 1989. - C. 128-130
↑ XL Zhou "Om oberoende, fullständighet av Maxwells ekvationer och unika teorem i elektromagnetik" Progress In Electromagnetics Research, PIER 64, 117-134, 2006 pdf Arkiverad 2 juni 2010 på Wayback Machine
↑ Chew WC, Jin J., Michielssen E., Song J. Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics . — Artech House, 2001. - ISBN 1-58053-152-0 .
↑ Nikolsky V.V., Nikolskaya T.I. Elektrodynamik och utbredning av radiovågor. M.: Nauka, 1989. - C. 416-436
↑ Sylvester P. och Ferrari R. Finita elementmetod för radio- och elektriska ingenjörer. — M .: Mir, 1986. — 336 sid.
↑ Monk, P. Finita elementmetoder för Maxwells ekvationer . — Oxford University Press , 2003.
↑ Taflove A. och Hagness SC Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method . — Artech House, 2005.
↑ Jin, J. The Finite Element Method in Electromagnetics . — 2:a. - Wiley-IEEE Press , 2002. - ISBN 0-47143-818-9 .

Anteckningar

↑ Undantaget var Millers experiment på Mount Wilson. Efterföljande upprepning av dessa experiment av andra forskare som använde mer exakt utrustning avslöjade inte effekten. Se upprepningar av Michelson- experimentet arkiverat 12 januari 2020 på Wayback Machine
↑ Det vill säga vektorfält som innehåller divergenser som är skalärer.
↑ Symmetrisk Gaussisk GHS används här. För Maxwells ekvationer i andra versioner av CGS och i en universell form som inte beror på valet av system av enheter, se artikeln CGS § Extensions of the CGS och den universella formen av elektrodynamiska ekvationer .
↑ 1 2 3 4 Om fria magnetiska monopoler experimentellt upptäcks, kommer detta att kräva införandet i Gauss lag för magnetfältet för densiteten av magnetiska laddningar och tätheten av deras strömmar i Faradays induktionslag.
↑ En ledare innehåller till exempel vanligtvis minst två typer av laddningsbärare med olika tecken, så den totala laddningstätheten i ledaren kan vara noll, men strömmen kan fortfarande finnas kvar (och då är dess densitet inte lika med noll).
↑ Här och nedan används de mest använda konventionerna i modern litteratur (om numrering av koordinater, metrisk signatur etc.), som generellt sett kan väljas på ett lite annorlunda sätt, vilket finns i litteraturen.

Se även

Litteratur

Historiska publikationer

Amper A. M. Elektrodynamik. — M. : AN SSSR, 1954. — 492 sid. - 5000 exemplar.
Maxwell JK Selected arbetar med teorin om det elektromagnetiska fältet. - M. : GITTL, 1952. - 687 sid.
Maxwell J.K. Artiklar och tal . — M .: Nauka, 1968. — 423 sid.
Faraday M. Experimentell forskning om elektricitet. - M .: Sovjetunionens vetenskapsakademi, 1947-1959. - Volym I-III.
Maxwell JC En dynamisk teori om det elektromagnetiska fältet // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1865. - T. 155 . - S. 459-512 .
Maxwell JC , A Treatise on Electricity And Magnetism - Volym 1 - 1873 - Posner Memorial Collection - Carnegie Mellon University
Maxwell JC , A Treatise on Electricity And Magnetism - Volym 2 - 1873 - Posner Memorial Collection - Carnegie Mellon University
Maxwell J.K. Avhandling om elektricitet och magnetism. - M . : Nauka, 1989. - T. 1.
Maxwell J.K. Avhandling om elektricitet och magnetism. - M . : Nauka, 1989. - T. 2.
Maxwell JC On Physical Lines of Force // Philosophical Magazine: Ser. 4. - 1861.1862. - T. 11.13 . - S. 161-175, 281-291, 338-347; 12-23, 85-95 .
Maxwell JC On Faraday's Lines of Force // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1856. - T. 10 , nr 1 . - S. 155-229 .

Utvecklingens historia

Bolotovsky B.M. Oliver Heaviside . — M .: Nauka , 1985. — 260 sid.
Kartsev V.P. Maxwell (Life of anmärkningsvärda människor). - M . : Young Guard , 1976. - 336 sid.
Kartsev VP Äventyr av stora ekvationer . — M .: Kunskap , 1986. — 288 sid.
Shapiro I. S. Om historien om upptäckten av Maxwells ekvationer // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Ryska vetenskapsakademin , 1972. - T. 108 , nr 2 . - S. 319-333 . (ryska)
Cooper L. Fysik för alla. v.1 = Leon N. Cooper An Introduction to the Meaning and Structure of Phisics, 1968,1970. — M .: Mir , 1973.

Allmänna fysikkurser

Astakhov AV, Shirokov Yu. M. Fysikkurs, Vol. II, Elektromagnetiskt fält. — M .: Nauka , 1980. — 360 sid.
Baskakov S.I. Grunderna i elektrodynamiken. - M .: Sovjetisk radio , 1973. - 248 sid.
Kalashnikov S. G. Electricity (Allmän kurs i fysik, vol. 2). - 6:e uppl. — M .: Fizmatlit , 2003. — 624 sid. — ISBN 5-9221-0312-1 .
Matveev A. N. Elektricitet och magnetism. - M .: Högre skola , 1983.
Nikolsky VV, Nikolskaya TI Elektrodynamik och utbredning av radiovågor. M.: Nauka , 1989.
Penner D. I., Ugarov V. A. Elektrodynamik och speciell relativitetsteori. M.: Upplysning , 1980.
Purcell E. Elektricitet och magnetism. Berkeley fysikkurs. Volym 2. M.: Nauka , 1971.
Savelyev I.V. Kurs i allmän fysik, volym II. Elektricitet. - Vetenskap, 1970.
Sivukhin DV Allmän kurs i fysik. - Ed. 3:a, rev. och ytterligare .. - M . : Nauka , 1996. - T. III. Elektricitet. — 320 s. — ISBN 5-02-014054-6 ..
Tonnela M. A. Grunderna för elektromagnetism och relativitetsteorin. M.: IL, 1962.
Feynman R. , Layton R., Sands M. Feynman-föreläsningarna i fysik. Volym 5. Elektricitet och magnetism. M.: Mir , 1965
Feynman R. , Layton R., Sands M. Feynman-föreläsningarna i fysik. Volym 6. Elektrodynamik. M.: Mir , 1966

Teoretiska fysikkurser

Baranov A. M., Ovchinnikov S. G., Zolotov O. A., Paklin N. N., Titov L. S. Teoretisk fysik: Elektrodynamik. Elektrodynamik hos kontinuerliga medier. Lärobok för kursen "Elektrodynamik och grunderna för elektrodynamik i kontinuum" . - Krasnoyarsk: SFU , 2008. - 198 sid.
Jackson J. Klassisk elektrodynamik. — M .: Mir , 1965.
Landau L. D., Lifshits E. M. Field Theory (Theoretical Physics, vol. II). — M .: Fizmatlit , 2003. — 536 sid. — ISBN 5-9221-0056-4 .
Landau L. D., Lifshitz E. M. Electrodynamics of continuous media (Theoretical Physics, vol. VIII). — M .: Fizmatlit , 2005. — 656 sid. — ISBN 5-9221-0123-4 .
Batygin VV, Toptygin IN Modern elektrodynamik. Del 1. Mikroskopisk teori. - M. : NIC "Regular and Chaotic Dynamics", 2005. - 736 sid. — ISBN 5-93972-492-2 .
Toptygin I. N. Modern elektrodynamik. Del 2. Teori om elektromagnetiska fenomen i materia. - M. : NIC "Regular and Chaotic Dynamics", 2005. - 848 sid. — ISBN 5-93972-493-0 .
Stratton J.A. Theory of Electromagnetism. - M. - L. : GITTL, 1948. - 539 sid. - 8000 exemplar.
Tamm I. E. Grunderna i teorin om elektricitet. — M .: Nauka , 1989.
Fushchich V. I., Nikitin A. G. Symmetri av Maxwells ekvationer. - Kiev: Naukova Dumka , 1983. - C. 200.
Bolibrukh AA Maxwells ekvationer och differentialformer . — MTsNMO, 2002.

Lösningar på Maxwells ekvationer

Balandin M. Yu., Shurina E. P. Vector Finite Element Method: Lärobok . - Novosibirsk: NSTU , 2001. - 69 sid.
Vainshtein L.A. Elektromagnetiska vågor. - M .: Radio och kommunikation , 1988.
Vonsovsky S. V. Magnetism. Magnetiska egenskaper hos dia-, para-, ferro-, antiferro- och ferrimagneter. — M.: Nauka , 1971.
Ginzburg VL Utbredning av elektromagnetiska vågor i plasma. - 2:a uppl. — M.: Nauka , 1967.
Sylvester P. och Ferrari R. Finita element-metod för radio- och elektroingenjörer. — M .: Mir , 1986. — 336 sid.

Länkar

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor norsk Stor ryss Great Soviet (1 upplaga) Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 12043257h GND : 4221398-8 J9U : 987007558284105171 LCCN : sh85082387 NKC : ph218895

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen