Differentialekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 januari 2022; kontroller kräver 6 redigeringar .

En differentialekvation är en ekvation som förutom en funktion innehåller dess derivator . Ordningen på derivaten som ingår i ekvationen kan vara olika (formellt är den inte begränsad av någonting). Derivat, funktioner, oberoende variabler och parametrar kan inkluderas i ekvationen i olika kombinationer eller helt saknas, förutom minst en derivata. Ingen ekvation som innehåller derivator av en okänd funktion är differential. Till exempel är inte en differentialekvation [1] . $f'\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$

Till skillnad från algebraiska ekvationer , som ett resultat av vilka ett tal (flera tal) eftersträvas, söker man vid lösning av differentialekvationer en funktion (funktionsfamilj).

En differentialekvation av ordning högre än den första kan omvandlas till ett system av första ordningens ekvationer där antalet ekvationer är lika med ordningen för den ursprungliga differentialekvationen.

Moderna höghastighetsdatorer ger effektivt en numerisk lösning av vanliga differentialekvationer utan att kräva dess lösning i analytisk form. Detta gör att vissa forskare kan hävda att lösningen på problemet erhölls om det var möjligt att reducera det till lösningen av en vanlig differentialekvation .

En generalisering av konceptet med en differentialekvation till fallet med en oändlig uppsättning variabler är en ekvation i funktionella derivator .

Terminologi och klassificering

Ordningen för en differentialekvation är den högsta ordningen av dess derivator.

Om en differentialekvation är ett polynom med avseende på den högsta derivatan, kallas graden av detta polynom för differentialekvationens grad . Så, till exempel, är ekvationenen ekvation av andra ordningen, fjärde graden[2]. $\left(y''\right)^{4}+y'+y^{6}+x^{7}=0$

En lösning ( integral ) av en differentialekvation av ordning är en funktion som har derivator upp till ordningen inklusive på ett visst intervall och uppfyller denna ekvation. Processen att lösa en differentialekvation kallas integration . Problemet med att integrera en differentialekvation anses löst om att hitta den okända funktionen kan bringas till en kvadratur (det vill säga till formen , där är en elementär funktion), oavsett om den resulterande integralen uttrycks i den slutliga formen i termer av kända funktioner eller inte. $n$ $y\left(x\right)$ $\left(a,b\right)$ $y'\left(x\right),y''\left(x\right),...,y^{\left(n\right)}\left(x\right)$ $n$ $y\left(x\right)$ $y=\int f\left(x\right)\dx$ $f \left( x \right)$

Alla differentialekvationer kan delas in i vanliga differentialekvationer (ODE), som endast inkluderar funktioner (och deras derivator) av ett argument , och partiella differentialekvationer (PDE ), där ingångsfunktionerna beror på många variabler. Det finns också stokastiska differentialekvationer (SDE) som involverar stokastiska processer .

Beroende på kombinationerna av derivator, funktioner, oberoende variabler, delas differentialekvationer in i linjära och icke-linjära, med konstanta eller variabla koefficienter, homogena eller icke-homogena. På grund av tillämpningarnas betydelse pekas kvasilinjära (linjära med avseende på högre derivator) partiella differentialekvationer ut i en separat klass [3] .

Den viktigaste frågan för differentialekvationer är existensen och unikheten hos deras lösningar. Lösningen av denna fråga ges av existens- och unikhetssatserna, som indikerar de nödvändiga och tillräckliga förutsättningarna för detta. För vanliga differentialekvationer formulerades sådana villkor av Rudolf Lipschitz (1864). För partiella differentialekvationer bevisades motsvarande sats av Sophia Kovalevskaya (1874).

Lösningar av differentialekvationer är indelade i allmänna och särskilda lösningar. Allmänna lösningar inkluderar odefinierade konstanter, och för partiella differentialekvationer, godtyckliga funktioner av oberoende variabler som kan förfinas från ytterligare integrationsvillkor (initialvillkor för vanliga differentialekvationer, initiala och randvillkor för partiella differentialekvationer). Efter att ha bestämt formen för de angivna konstanta och obestämda funktionerna blir lösningarna speciella.

Sökandet efter lösningar på vanliga differentialekvationer ledde till upprättandet av en klass av specialfunktioner - funktioner som ofta påträffas i applikationer och inte kan uttryckas i termer av kända elementära funktioner. Deras egenskaper studerades i detalj, värdetabeller sammanställdes, ömsesidiga relationer bestämdes och så vidare.

Utvecklingen av teorin om differentialekvationer gjorde det möjligt att i ett antal fall överge kravet på kontinuitet i de funktioner som studeras och att införa generaliserade lösningar av differentialekvationer.

Historik

Ursprungligen uppstod differentialekvationer från mekanikens problem , där det krävdes att bestämma koordinaterna för kroppar , deras hastigheter och accelerationer , betraktade som funktioner av tid under olika influenser. Några av de geometriska problemen som beaktades vid den tiden ledde också till differentialekvationer.

Grunden för teorin om differentialekvationer var differentialkalkylen skapad av Leibniz och Newton (1642-1727). Själva termen "differentialekvation" föreslogs 1676 av Leibniz.

Av det enorma antalet verk från 1700-talet om differentialekvationer sticker verken av Euler (1707-1783) och Lagrange (1736-1813) ut. I dessa arbeten utvecklades först teorin om små svängningar, och följaktligen teorin om linjära system av differentialekvationer; längs vägen uppstod de grundläggande begreppen linjär algebra (egenvärden och vektorer i det n -dimensionella fallet). Efter Newton utvecklade Laplace och Lagrange, och senare Gauss (1777-1855), också metoderna för störningsteorin.

När olösbarheten av algebraiska ekvationer i radikaler bevisades, konstruerade Joseph Liouville (1809-1882) en liknande teori för differentialekvationer, och fastställde omöjligheten att lösa ett antal ekvationer (i synnerhet sådana klassiska som andra ordningens linjära ekvationer) i elementära funktioner och kvadratur. Senare kom Sophus Lie (1842-1899), som analyserade frågan om att integrera ekvationer i kvadraturer, till behovet av att i detalj studera grupper av diffeomorfismer (senare kallade Lie-grupper ) - så här uppstod ett av de mest fruktbara områdena inom modern matematik. i teorin om differentialekvationer, vars vidareutveckling var nära besläktad med helt andra frågor (Lie-algebror övervägdes ännu tidigare av Simeon-Denis Poisson (1781-1840) och särskilt Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) ).

Ett nytt steg i utvecklingen av teorin om differentialekvationer börjar med arbetet av Henri Poincare (1854-1912), den "kvalitativa teori om differentialekvationer" som han skapade, tillsammans med teorin om funktioner för komplexa variabler, utgjorde grunden för modern topologi . Den kvalitativa teorin om differentialekvationer, eller, som den nu mer allmänt kallas, teorin om dynamiska system , utvecklas nu aktivt och har viktiga tillämpningar inom naturvetenskapen.

Vanliga differentialekvationer

Ordinarie differentialekvationer (ODEs) är ekvationer som är beroende av en oberoende variabel; Dom ser ut som

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0

eller

F\left(x,y,{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}},{\frac {{\mathrm {d}}^{{2}} y}{{\mathrm {d}}x^{2}}},...,{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}y}{{\mathrm {d}}x ^{n}}}\right)=0,

var är en okänd funktion (möjligen en vektorfunktion ; i detta fall talar man ofta om ett system av differentialekvationer), beroende på den oberoende variabeln primtal betyder differentiering med avseende på Talet kallas differentialekvationens ordning . De viktigaste i praktiken är differentialekvationer av första och andra ordningen. $y=y(x)$ $x,$ $x.$ $n$

De enklaste differentialekvationerna av första ordningen

De enklaste differentialekvationerna av första ordningen är en klass av differentialekvationer av första ordningen som är lättast möjliga att lösa och studera. Den inkluderar ekvationer i totala differentialer , ekvationer med separerbara variabler, första ordningens homogena ekvationer och första ordningens linjära ekvationer. Alla dessa ekvationer kan integreras i den slutliga formen.

Utgångspunkten för presentationen kommer att vara en första ordningens differentialekvation, skriven i den sk. symmetrisk form:

${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}\qquad (1),$

där funktionerna och är definierade och kontinuerliga i någon domän . $P(t,x)$ $Q(t,x)$ $\Omega \subseteq {\mathbb {R}}_{{t,x}}^{2}$

Partiella differentialekvationer

Partiella differentialekvationer (PDE) är ekvationer som innehåller okända funktioner för flera variabler och deras partiella derivator . Den allmänna formen av sådana ekvationer kan representeras som:

F\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1))},{\frac {\partial z} {\partial x_{2))},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{m))},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1} ^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2))),\dots ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x_{m}^{n))}\right)=0,

där är oberoende variabler och är en funktion av dessa variabler. Ordningen för partiella differentialekvationer kan bestämmas på samma sätt som för vanliga differentialekvationer. En annan viktig klassificering av partiella differentialekvationer är deras uppdelning i ekvationer av elliptiska, paraboliska och hyperboliska typer, speciellt för andra ordningens ekvationer. $x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}$ $z\!=z(x_{1},x_{2},\dots,x_{m})$

Linjära och icke-linjära differentialekvationer

Både vanliga differentialekvationer och partiella differentialekvationer kan delas in i linjära och icke-linjära . En differentialekvation är linjär om den okända funktionen och dess derivator kommer in i ekvationen endast i första potens (och inte multiplicerar med varandra). För sådana ekvationer bildar lösningarna ett affint delrum av funktionsrummet. Teorin om linjära differentialekvationer har utvecklats mycket djupare än teorin om icke-linjära ekvationer. Allmän form av en linjär differentialekvation av n :te ordningen:

p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0} (x)y(x)=r(x),

där p i ( x ) är kända funktioner för den oberoende variabeln, kallade ekvationens koefficienter. Funktionen r ( x ) på höger sida kallas intercept (den enda termen som inte är beroende av den okända funktionen). En viktig speciell klass av linjära ekvationer är linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter .

En underklass av linjära ekvationer är homogena differentialekvationer - ekvationer som inte innehåller en fri term: r ( x ) = 0 . För homogena differentialekvationer gäller superpositionsprincipen : en linjär kombination av partiella lösningar av en sådan ekvation kommer också att vara dess lösning. Alla andra linjära differentialekvationer kallas inhomogena differentialekvationer .

Icke-linjära differentialekvationer i det allmänna fallet har inga utvecklade lösningsmetoder, förutom vissa speciella klasser. I vissa fall (med användning av vissa approximationer) kan de reduceras till linjära. Till exempel kan den olinjära ekvationen för en matematisk pendel i fallet med små amplituder, när sin y ≈ y , betraktas som en linjär ekvation för en harmonisk oscillator ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}\sin y=0$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}y=0$

Exempel

$y''+9y=0$ är en andra ordningens homogen differentialekvation med konstanta koefficienter. Lösningen är en familj av funktioner , där och är godtyckliga konstanter, som bestäms för en specifik lösning från separat specificerade initiala förhållanden. Denna ekvation beskriver i synnerhet rörelsen hos en harmonisk oscillator med en cyklisk frekvens på 3. $y=(C_{1}\cos 3x+C_{2}\sin 3x)$ $C_{1}$ $C_{2}$
Newtons andra lag kan skrivas i form av en differentialekvation där m är kroppens massa, x är dess koordinat, F ( x , t ) är kraften som verkar på kroppen med koordinat x vid tidpunkten t . Dess lösning är kroppens bana under inverkan av den specificerade kraften. $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,t),$
Bessel differentialekvation är en vanlig linjär homogen ekvation av andra ordningen med variabla koefficienter: Dess lösningar är de så kallade cylindriska funktionerna - Bessel , Neumann, Hankel funktionerna . $x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2} )y=0.$
Ett exempel på en icke-homogen icke-linjär ordinär differentialekvation av första ordningen: ${\frac {du}{dx}}=u^{2}+1.$

I följande grupp av exempel beror den okända funktionen u på två variabler x och t eller x och y .

Homogen linjär partiell differentialekvation av första ordningen:

{\frac {\partial u}{\partial t))+t{\frac {\partial u}{\partial x))=0.

En endimensionell vågekvation är en andra ordningens homogen linjär partiell differentialekvation av andra ordningens hyperbolisk typ med konstanta koefficienter som beskriver en strängs vibration om är strängens avvikelse vid en punkt med koordinaten x vid tidpunkten t , och parametern a anger egenskaperna för strängen: $u=u(x,t)$

{\frac {\partial {}^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2} }}.

Laplace-ekvationen i tvådimensionell rymd är en homogen linjär andra ordningens partiell differentialekvation av elliptisk typ med konstanta koefficienter som uppstår i många fysiska problem med mekanik, värmeledning, elektrostatik, hydraulik:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.

Korteweg-de Vries-ekvationen , en icke-linjär tredje ordningens partiell differentialekvation som beskriver stationära icke-linjära vågor, inklusive solitoner :

{\frac {\partial u}{\partial t))=6u{\frac {\partial u}{\partial x))-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3 }}}.

De viktigaste differentialekvationerna

Vanliga differentialekvationer

Partiella differentialekvationer

Euler-Lagrange ekvation (klassisk lagrangemekanik )
Hamiltons ekvationer (klassisk Hamiltonsk mekanik )
vågekvationen
Maxwells ekvationer ( elektromagnetism )
Laplace ekvation
Poissons ekvation
Einsteins ekvation ( allmän relativitetsteori )
Schrödingers ekvation ( kvantmekanik )
Diffusionsekvation
Värmeekvation ( termodynamik )
Korteweg-de Vries ekvation ( ensamma vågor )
Navier-Stokes ekvationer ( viskösa vätskeflöden )
Euler ekvation (inviscid flöden av gasformiga medier)
Lin-Reissner-Qian ekvation (transoniska ostadiga flöden)
Lamé ekvationer ( elasticitetsteori )

Se även

Allmän lösning av differentialekvationen
Partiell lösning av en differentialekvation
De enklaste differentialekvationerna av första ordningen
speciallösning
Snyggt problem
Homogen differentialekvation
Inhomogen differentialekvation
Linjär differentialekvation
Bernoullis differentialekvation
Differentialekvationer för Lagrange och Clairaut
Riccati ekvation
Partiell differentialekvation
Kvasi-differentialekvation
Bråkad differentialekvation
Integro-differentialekvationer
Riktningsfält

Programvara

ExpressionsinBar
Lönn [4] : dsolve
SageMath [5]
Xcas [6] : desolve(y'=k*y, y)
Wolfram Mathematica: DSolve[expr, func, var], NDSolve[expr, func, var]

Anteckningar

↑ Arnold V. I. Vanliga differentialekvationer. - M .: Nauka, 1971, s. 16
↑ Alibekov I. Yu . Numeriska metoder, U/P . - MGIU, 2008. - S. 180. - 221 sid. — ISBN 9785276014623 .
↑ Rozhdestvensky B. L., Yanenko N. N. System av kvaslinjära ekvationer och deras tillämpningar på gasdynamik. — M.: Nauka, 1988. — 686 sid.
↑ dsolve - Maple-programmeringshjälp . www.maplesoft.com. Hämtad 12 maj 2020. Arkiverad från originalet 23 november 2013. (obestämd)
↑ Grundläggande algebra och kalkyl - Handledning för salvia v9.0 . doc.sagemath.org. Hämtad 12 maj 2020. Arkiverad från originalet 14 januari 2020. (obestämd)
↑ [Symbolisk algebra och matematik med Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf ] . (obestämd)

Litteratur

Uppslagsverk och uppslagsverk

Differentialekvationer // Debtor - Eucalyptus. - M . : Soviet Encyclopedia, 1972. - ( Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / chefredaktör A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 8).
Differentialekvationer : [ arch. 10 november 2014 ] / I. P. Makarov // Mathematical Encyclopedia: i 5 volymer / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1979. - T. 2: D'Alembert-operatör - Samarbetsspel. — 552 sid. - 1104 stb.
Zaitsev VF , Polyanin AD Referensbok om vanliga differentialekvationer. — M.: Fizmatlit , 2001.
Zaitsev V. F. , Polyanin A. D. Handbok för första ordningens partiella differentialekvationer. Moskva: Fizmatlit, 2003.
Kamke E. Handbok i första ordningens partiella differentialekvationer. — M.: Nauka, 1966.
Kamke E. Handbok i vanliga differentialekvationer. — M.: Nauka, 1976.
Polyanin AD Handbok för linjära ekvationer i matematisk fysik. — M.: Fizmatlit, 2001.
Polyanin A.D. , Zaitsev V.F. Handbook of Nolinar Equations of Mathematical Physics: Exact Solutions. - M .: Fizmatlit, 2002.

Handledningar

Arnold V. I. Vanliga differentialekvationer. — M.: Nauka, 1966.
Diesperov VN Föreläsningar om differentialekvationer [text]: lärobok. lösning - M., MIPT, 2017. 242 sid. ISBN 978-5-7417-0630-5 .
Petrovsky IG Föreläsningar om teorin om vanliga differentialekvationer. — M.: Nauka, 1970.
Polyanin A. D. , Zaitsev V. F. , Zhurov A. I. Metoder för att lösa olinjära ekvationer av matematisk fysik och mekanik. — M.: Fizmatlit, 2005.
Pontryagin L. S. Vanliga differentialekvationer. — M.: Nauka, 1974.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Ekvationer av matematisk fysik. — M.: Nauka, 1972.
Tikhonov A. N. , Vasilyeva A. B. , Sveshnikov A. G. Differentialekvationer. - 4:e uppl. — Fizmatlit, 2005.
Umnov A. E. , Umnov E. A. Grunderna i teorin om vanliga differentialekvationer (pdf) (på författarens portal)
Filippov AF Introduktion till teorin om differentialekvationer . - Ed. 2:a. - 2007. - 240 sid. — ISBN 5354004160 .
Charles Henry Edwards, David E. Penny. Differentialekvationer och gränsvärdesproblem: Beräkning och modellering med Mathematica, Maple och MATLAB = Differentialekvationer och gränsvärdesproblem: Beräkning och modellering. - 3:e uppl. - M .: "Williams" , 2007. - ISBN 978-5-8459-1166-7 .
Elsgol'ts LE differentialekvationer och variationskalkylen. — M.: Nauka, 1969.

Uppgiftsböcker

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Samling av problem på vanliga differentialekvationer. - 3:e uppl. - M .: Högre skola, 1978.
Samoilenko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Differentialekvationer: exempel och problem. - 2:a uppl. - M .: Högre skola, 1989.
Filippov AF Samling av problem om differentialekvationer. - Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", 2000.

Länkar

Webbplats redigerad av A. D. Polyanin "The World of Mathematical Equations" — EqWorld
Ryskspråkiga resurser om differentialekvationer i den öppna katalogen .
Exempel på att lösa differentialekvationer
Expresskurs om differentialekvationer: manuella och videoföreläsningar av R. V. Shamin
Riktningsfältet för en differentialekvation av första ordningen är en utbildningsfilm, producerad av Lennauchfilm .

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNF : 133183122 GND : 4012249-9 J9U : 987007553020305171 LCCN : sh85037890 NDL : 00560651 NKC : ph119444

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder