Hyperbol (matematik)

Hyperbola ( annan grekisk ὑπερβολή , från ὑπερ - "top" + βαλειν - "kastning") är platsen för punkterna M på det euklidiska planet , för vilka det absoluta värdet av skillnaden i avstånd från M till två utvalda punkter och (kallade brännpunkter) ) är konstant. Mer exakt, $F_{1}$ $F_{2}$

{\bigl |}|F_{1}M|-|F_{2}M|{\bigr |}=2a,

och

|F_{1}F_{2}|>2a>0.

Tillsammans med ellipsen och parabeln är hyperbeln en konisk sektion och en quadric . En hyperbel kan definieras som en konisk sektion med en excentricitet större än en.

Historik

Termen "hyperbol" ( grekiska ὑπερβολή - överskott) introducerades av Apollonius av Perga (ca 262 f.Kr. - ca 190 f.Kr. ), eftersom problemet med att konstruera en punkt av en hyperbel reduceras till problemet med att applicera med ett överskott.

Definitioner

En hyperbel kan definieras på flera sätt.

Konisk sektion

En hyperbel kan definieras som en uppsättning punkter som bildas som ett resultat av en sektion av en cirkulär kon av ett plan som skär av båda delarna av konen. Andra resultat av att skära en kon med ett plan är en parabel , en ellips och degenererade fall som skärande och sammanfallande linjer och en punkt, som uppstår när skärplanet passerar genom konens spets. I synnerhet kan skärande linjer betraktas som en degenererad hyperbel som sammanfaller med dess asymptoter.

Som plats för punkter

Genom tricks

En hyperbel kan definieras som punkters locus , det absoluta värdet av skillnaden i avstånd från vilken till två givna punkter, kallade foci, är konstant.

Som jämförelse: en kurva av en konstant summa av avstånd från någon av dess punkter till foci är en ellips , ett konstant förhållande är cirkeln av Apollonius , en konstant produkt är Cassini-ovalen .

Genom rektor och fokus

Platsen för punkter för vilka förhållandet mellan avståndet till fokus och till en given rät linje, kallad direktrix , är konstant och större än en, kallas en hyperbel. Den givna konstanten kallas hyperbelns excentricitet . $\varepsilon >1$

Relaterade definitioner

En hyperbel består av två separata kurvor, som kallas för grenar .
Punkterna på hyperbelns två grenar närmast varandra kallas hörn .
Det kortaste avståndet mellan två grenar av en hyperbel kallas hyperbelns huvudaxel .
Mitten av storaxeln kallas hyperbelns centrum .
Avståndet från hyperbelns centrum till en av hörnen kallas hyperbelns halvstora axel .
- Betecknas vanligtvis med en .
Avståndet från hyperbelns centrum till en av brännpunkterna kallas brännvidden .
- Betecknas vanligtvis c .
Båda brännpunkterna för hyperbeln ligger på fortsättningen av huvudaxeln på samma avstånd från hyperbelns centrum. Den räta linjen som innehåller hyperbolens huvudaxel kallas hyperbelns verkliga eller tvärgående axel.
En rät linje som är vinkelrät mot den verkliga axeln och som går genom dess centrum kallas hyperbelns imaginära eller konjugata axel.
Segmentet mellan hyperbelns och hyperbelns fokus, vinkelrätt mot dess verkliga axel, kallas fokalparametern .
Avståndet från fokus till hyperbelns asymptot kallas för effektparametern .
- Betecknas vanligtvis b .
I problem relaterade till kroppars rörelse längs hyperboliska banor kallas avståndet från fokus till närmaste vertex av hyperbeln det pericentriska avståndet
- Betecknas vanligtvis . $r_{p}$

Förhållanden

För egenskaperna hos hyperbeln definierade ovan finns följande relationer

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2))$ .
$\varepsilon=c/a$ .
$b^{2}=a^{2}\left(\varepsilon ^{2}-1\right)$ .
$r_{p}=a\left(\varepsilon -1\right)$ .
$a={\frac {p}{\varepsilon ^{2}-1))$ .
${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-1))))$ .
$c={\frac {p\varepsilon }{\varepsilon ^{2}-1}}$ .
$p={\frac {b^{2}}{a}}$ .

Equosceles hyperbel

En hyperbel, där , kallas likbent eller liksidig . En likbent hyperbel i något rektangulärt koordinatsystem beskrivs av ekvationen $a=b$

xy=a^{2}/2,

i detta fall är hyperbelns foci belägna vid punkterna ( a , a ) och (− a , − a ). En liksidig hyperbel är en graf över den omvända proportionaliteten som ges av formeln

y={\frac {k}{x)),\quad k\neq 0.

Excentriciteten hos en sådan hyperbel är . ${\sqrt {2}}$

Cyperts överdrift

En liksidig hyperbel som en Kiepert-hyperbol kan definieras genom trianglar i trilinjära koordinater [1] som ett ställe av punkter (se figur): $N$

Om tre trianglar , och byggda på sidorna av triangeln , är lika , likbenta med baser på sidorna av den ursprungliga triangeln, och lika placerade (det vill säga de är alla byggda antingen från utsidan eller inifrån), då linjer och skär varandra vid en punkt .

XBC

YCA

ZAB

ABC

AX

BY

CZ

N

Om den gemensamma vinkeln vid basen är , har de tre trianglarnas hörn följande trilinjära koordinater: $\theta$

X{\big (}-\sin \theta :\sin(C+\theta):\sin(B+\theta){\big )},

Y{\big (}\sin(C+\theta):-\sin \theta :\sin(A+\theta){\big )},

Z{\big (}\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta):-\sin \theta {\big )}.

Ekvationer

Kartesiska koordinater

En hyperbel ges av en andragradsekvation i kartesiska koordinater ( x , y ) på planet:

A_{{xx}}x^{{2}}+2A_{{xy}}xy+A_{{yy}}y^{{2}}+2B_{{x}}x+2B_{{y}} y+C\,=\,0

där koefficienterna A xx , A xy , A yy , B x , B y och C uppfyller följande samband

D={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0

och

\Delta :={\begin{vmatrix}A_{{xx}}&A_{{xy}}&B_{{x}}\\A_{{xy}}&A_{{yy}}&B_{{y}}\\ B_{{x}}&B_{{y}}&C\end{vmatrix}}\not =0.

Kanonisk form

Genom att flytta hyperbelns centrum till origo och rotera det runt centrum, kan ekvationen för hyperbeln reduceras till den kanoniska formen:

{\frac {{x}^{{2}}}{a^{{2}}}}-{\frac {{y}^{{2}}}{b^{{2}}}}= ett

var är hyperbelns verkliga halvaxel; - hyperbelns imaginära halvaxel [2] . I det här fallet är excentriciteten $a$ $b$

\varepsilon ={\frac {c}{a}}={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.

Polära koordinater

Om polen är i fokus för hyperbeln och hyperbelns vertex ligger på fortsättningen av polaxeln, då

r={\frac {p}{1-\varepsilon \cos \varphi }}

Om polen är i fokus för hyperbeln och polaxeln är parallell med en av asymptoterna, då

{\frac {1}{r}}={\frac {a}{b^{2}}}\left(1-\cos \theta \right)+{\frac {1}{b}}\sin \theta

Ekvationer i parametrisk form

Precis som en ellips kan representeras av parametriska ekvationer som inkluderar trigonometriska funktioner, kan en hyperbel i ett rektangulärt koordinatsystem vars centrum är samma som dess centrum och x-axeln passerar genom foci representeras av parametriska ekvationer som inkluderar hyperboliska funktioner [3 ] .

${\begin{cases}x=\pm a\operatörsnamn {ch} t,\\y=b\operatörsnamn {sh} t,\end{cases}}\quad -\infty <t<+\infty .$

I den första ekvationen motsvarar tecknet "+" hyperbelns högra gren och "−" - dess vänstra gren.

Egenskaper

optisk egenskap. Ljus från en källa som är belägen vid en av hyperbelns brännpunkter reflekteras av den andra grenen av hyperbeln på ett sådant sätt att fortsättningarna av de reflekterade strålarna skär varandra vid det andra fokuset.
- Med andra ord, om och är fokus för hyperbeln, då är tangenten vid vilken punkt som helst av hyperbeln vinkelns bisektris . $F_{1}$ $F_{2}$ $X$ $\angle F_{1}XF_{2}$
För varje punkt som ligger på en hyperbel är förhållandet mellan avstånden från denna punkt till fokus och avståndet från samma punkt till riktningen ett konstant värde.
Hyperbeln har spegelsymmetri kring de verkliga och imaginära axlarna, såväl som rotationssymmetri när den roteras genom en vinkel på 180 ° runt hyperbelns centrum.
Varje hyperbel har en konjugerad hyperbel , för vilken de reella och imaginära axlarna är omvända, men asymptoterna förblir desamma. Den konjugerade hyperbeln är inte resultatet av en 90° rotation av den initiala hyperbeln; hyperboler skiljer sig i form vid . $a \neq b$
Tangentsegmentet vid varje punkt av hyperbeln, inneslutet mellan två asymptoter av hyperbeln, delas med tangentpunkten på mitten och skär av en triangel med konstant area från de två asymptoterna.

Asymptoter

Asymptotekvationer för en hyperbel givna i kanonisk form

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

utmatas enligt följande. Låt . Antag att asymptoten finns och har formen . Sedan $x,y>0$ $y=kx+l$

k=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac ({\frac {b }{a}}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a}}\ vänster({\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a}}\left({ \sqrt {{\frac {a^{2}}{x^{2}}}+1}}\right)={\frac {b}{a}}),

l=\lim _{x\to +\infty }\left(f(x)-kx\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a)) \left({\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a}}\cdot { \frac {a^{2}}{{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+x}}=0.

Således är ekvationerna för de två asymptoterna :

$y=\pm {\frac {b}{a}}x$

eller

{\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0.

Diametrar och ackord

Diametern på en hyperbel, som den för alla koniska sektioner, är en rät linje som går genom mittpunkterna av parallella ackord. Varje riktning av parallella ackord har sin egen konjugerade diameter. Alla diametrar på en hyperbel passerar genom dess centrum. Diametern som motsvarar kordan parallellt med den imaginära axeln är den reella axeln; diametern som motsvarar ackord parallella med den reella axeln är den imaginära axeln.

Lutningen för parallella ackord och lutningen för motsvarande diameter är relaterad till förhållandet $k$ $k_{1}$

k\cdot k_{1}=\varepsilon ^{2}-1={\frac {b^{2}}{a^{2}}}.

Om diameter a delar korda parallellt med diameter b , så delar diameter b korda parallellt med diameter a . Sådana diametrar kallas ömsesidigt konjugerade . Huvuddiametrarna kallas ömsesidigt konjugerade och ömsesidigt vinkelräta diametrar. En hyperbel har bara ett par huvudsakliga diametrar, den reella och den imaginära axeln.

Tangent och normal

Eftersom hyperbeln är en jämn kurva kan man vid var och en av dess punkter ( x 0 , y 0 ) rita en tangent och en normal . Ekvationen för tangenten till hyperbeln som ges av den kanoniska ekvationen är:

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1

eller, vilket är detsamma,

y=y_{0}+{\frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}\left(x-x_{0}\right)

Härledning av tangentekvationen
Tangentekvationen för en godtycklig platt linje har formen $y-y_{0}=y'\left(x_{0},y_{0}\right)\cdot \left(x-x_{0}\right)$ Den kanoniska ekvationen för en hyperbel kan representeras som ett par funktioner $y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$ . Då har derivatan av dessa funktioner formen $y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}$ . Genom att ersätta denna ekvation med den allmänna tangentekvationen får vi $y-y_{0}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\left(x-x_{0} \höger)$ ${\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}={\frac {x_{0}^{2}}{ a^{2}}}-{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$

Härledning av tangentekvationen

Tangentekvationen för en godtycklig platt linje har formen

y-y_{0}=y'\left(x_{0},y_{0}\right)\cdot \left(x-x_{0}\right)

Den kanoniska ekvationen för en hyperbel kan representeras som ett par funktioner

y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}

Då har derivatan av dessa funktioner formen

y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}

Genom att ersätta denna ekvation med den allmänna tangentekvationen får vi

y-y_{0}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\left(x-x_{0} \höger)

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}={\frac {x_{0}^{2}}{ a^{2}}}-{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1

Normalens ekvation till en hyperbel har formen:

y=y_{0}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0} \höger)

Härledning av normalekvationen
Ekvationen för normalen för en godtycklig platt linje har formen $y-y_{0}={\frac {1}{y'\left(x_{0},y_{0}\right)}}\left(x_{0}-x\right)$ . Den kanoniska ekvationen för en hyperbel kan representeras som ett par funktioner $y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$ . Då har derivatan av dessa funktioner formen $y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}$ . Genom att ersätta denna ekvation med normalens allmänna ekvation får vi $y-y_{0}=-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0 }\höger)$ .

Härledning av normalekvationen

Ekvationen för normalen för en godtycklig platt linje har formen

y-y_{0}={\frac {1}{y'\left(x_{0},y_{0}\right)}}\left(x_{0}-x\right)

Den kanoniska ekvationen för en hyperbel kan representeras som ett par funktioner

y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}

Då har derivatan av dessa funktioner formen

y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}

Genom att ersätta denna ekvation med normalens allmänna ekvation får vi

y-y_{0}=-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0 }\höger)

Krökning och evolution

Krökningen av hyperbeln vid var och en av dess punkter ( x , y ) bestäms från uttrycket:

K={\frac {ab}{\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}+{\frac {b^{2}}{a^{ 2}}}x^{2}\höger)^{{3/2}}}}

Följaktligen har krökningsradien formen:

R={\frac 1K}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}+{\frac {b^{2}}{ a^{2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{ab}}

I synnerhet vid punkten ( a , 0 ), är krökningsradien

R\left(a,0\right)={\frac {b^{2}}{a}}=p

Härledning av formeln för krökningsradien
Formeln för krökningsradien för en plan linje given parametiskt är: $R_{c}={\frac {\left(x'^{2}\ +y'^{2}\right)^{{3/2))}{\left\|x'y''-x' 'y'\right\|}}$ . Vi använder den parametriska representationen av hyperbeln: ${\begin{cases}x=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)\\y=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)\end{cases}}$ Då har den första derivatan av x och y med avseende på t formen ${\begin{cases}x'=a\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)={\frac {a}{b}}y\\y'=b\cdot {\mathrm {ch} }\,(t)={\frac {b}{a}}x\end{cases}}$ , och den andra derivatan är ${\begin{cases}x''=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)=x\\y''=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)=y \end{cases}}$ Genom att ersätta dessa värden i formeln för krökning får vi: $R_{c}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b^{2}}{a^ {2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{\left\|a{\frac {y^{2}}{b}}-b{\frac {x^{ 2}}{a}}\right\|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b ^{2}}{a^{2}}}x^{2}\höger)^{{3/2}}}{ab\left\|{\frac {y^{2}}{b}}- {\frac {x^{2}}{a}}\right\|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} \ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{ab}}$ .

Härledning av formeln för krökningsradien

Formeln för krökningsradien för en plan linje given parametiskt är:

R_{c}={\frac {\left(x'^{2}\ +y'^{2}\right)^{{3/2))}{\left|x'y''-x' 'y'\right|}}

Vi använder den parametriska representationen av hyperbeln:

{\begin{cases}x=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)\\y=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)\end{cases}}

Då har den första derivatan av x och y med avseende på t formen

{\begin{cases}x'=a\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)={\frac {a}{b}}y\\y'=b\cdot {\mathrm {ch} }\,(t)={\frac {b}{a}}x\end{cases}}

och den andra derivatan är

{\begin{cases}x''=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)=x\\y''=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)=y \end{cases}}

Genom att ersätta dessa värden i formeln för krökning får vi:

R_{c}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b^{2}}{a^ {2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{\left|a{\frac {y^{2}}{b}}-b{\frac {x^{ 2}}{a}}\right|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b ^{2}}{a^{2}}}x^{2}\höger)^{{3/2}}}{ab\left|{\frac {y^{2}}{b}}- {\frac {x^{2}}{a}}\right|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} \ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{ab}}

Koordinaterna för krökningscentrum ges av ett par ekvationer:

{\begin{cases}x_{c}={\frac {x^{3}}{a^{2}}}\left(1+{\frac {b^{2}}{a^{2} }}\right)\\y_{c}=-{\frac {y^{3}}{b^{2}}}\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{ 2}}}\right)\end{case}}

Genom att ersätta i det sista ekvationssystemet istället för x och y deras värden från den parametriska representationen av hyperbeln, får vi ett par ekvationer som definierar en ny kurva som består av hyperbelns krökningscentrum. Denna kurva kallas hyperbelns utveckling.

{\begin{cases}x=\pm a\,{\mathrm {ch))^{3}\,t\left(1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}} \right)\\y=b\,{\mathrm {sh}}^{3}\,t\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right) \end{cases}}

Generalisering

En hyperbel är en sinusformad spiral vid . $n=-2$

Applikation

Familjen konfokala ( konfokala ) hyperboler bildar tillsammans med familjen konfokala ellipser ett tvådimensionellt elliptiskt koordinatsystem .

Andra ortogonala tvådimensionella koordinatsystem byggda med hjälp av hyperboler kan erhållas med andra konforma transformationer. Till exempel mappar transformationen w = z² kartesiska koordinater till två familjer av ortogonala hyperboler.

Genom att invertera en hyperbel med ett centrum som ligger i sitt eget centrum, vid ett fokus eller vid en vertex, kan man få respektive Bernoullis lemniskat , Pascals snigel , eller strofoid .

Hyperboler kan ses på många solur . Under vilken dag som helst på året beskriver solen en cirkel på den himmelska sfären , och dess strålar som faller på toppen av solursgnomonen beskriver en ljuskon . Skärningslinjen för denna kon med planet för ett horisontellt eller vertikalt solur är en konisk sektion . På de mest befolkade breddgraderna och under större delen av året är denna koniska sektion en hyperbel. Solur visar ofta linjer som beskrivs av skuggan från toppen av gnomon under dagen under flera dagar om året (till exempel sommar- och vintersolståndets dagar ), så de visar ofta vissa hyperboler, vars utseende är olika för olika dagar på året och olika breddgrader. .

AMS , som övervinner attraktionen från huvudkroppen som påverkar den och flyger långt bort från den, i frånvaro av störningar, bör röra sig längs en hyperbolisk bana eller parabolisk bana , eftersom det i detta fall är teoretiskt möjligt att flytta bort från denna kropp till oändligheten [4] . I synnerhet är banorna för AMS " Voyager-1 " och AMS " Voyager-2 " hyperboliska i förhållande till solen, med excentriciteter på 3,7 och 6,3 och halvstora axlar på 480,9 miljoner km respektive 601,1 miljoner km [5 ] [6] . Den hyperboliska banan för en himlakropp i solsystemet kan indikera dess interstellära ursprung. I slutet av 2010-talet upptäcktes den första interstellära asteroiden och den första interstellära kometen [7] , deras banor är hyperboliska. Men tidigare kända kometer med en hyperbolisk bana av en liten excentricitet kommer bara att bli interstellära: efter att ha upplevt störningar från en planet som Jupiter under sitt "liv" i solsystemet , faller de på en interstellär kurs [8] .

Se även

Hyperboloid
Hyperboler omskrivna kring en triangel
Frätande
Koniska sektioner
Kurva av andra ordningen
Cirkel
Parabel
Ellips
Kurvan för den konstanta summan av avstånden mellan två punkter är en ellips ,
Kurvan för en konstant skillnad i avstånd mellan två punkter är en hyperbel,
Kurvan för konstant relation är Apollonius cirkel ,
Kurvan för konstant produkt är Cassini-ovalen .
Utjämnad oktagon § Konstruktion

Anteckningar

↑ Eddy, RH och Fritsch, R. The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle. Matematik. Mag. 67, sid. 188-205, 1994.
↑ Schneider V.E. En kort kurs i högre matematik . — Ripol Classic. — ISBN 9785458255349 .
↑ Pogorelov A.V. Geometry . - M . : Nauka , 1983. - S. 15 -16. — 288 sid.
↑ Sikharulidze Yu. G. Ballistik av flygplan. - M . : Nauka , 1982. - S. 162-163. - 5750 exemplar.
↑ Voyager - Hyperboliska orbitala element . NASA . Hämtad 29 oktober 2019. Arkiverad från originalet 6 maj 2021. (obestämd)
↑ Ulivi P., Harland DM Robotic Exploration of the Solar System. Del I: Guldåldern 1957-1982 . - Springer, Praxis, 2007. - S. 441. - ISBN 978-0-387-49326-8 . Innehåller excentriciteten för Voyager 2-banan i förhållande till solen efter Neptunus förbiflygning .
↑ Namngivning av den nya interstellära besökaren: 2I/Borisov . MAC (24 september 2019). Hämtad 24 september 2019. Arkiverad från originalet 23 april 2020. (obestämd)
↑ Carl Sagan , Ann Druyan. komet . - New York: Ballantine Books, 1997. - S. 104. - ISBN 0-345-41222-2 .

Litteratur

Bronstein I. Hyperbole // Kvant . - 1975. - Nr 3 .
Grave D. A. Hyperbolas // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 ytterligare). - St Petersburg. 1890-1907.
Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer). M.: Soviet Encyclopedia , 1982.
Markushevich AI Anmärkningsvärda kurvor // Populära föreläsningar om matematik . - Gostekhizdat, 1952. - Nummer. 4 . Arkiverad från originalet den 14 september 2008.

Ordböcker och uppslagsverk	Great Soviet (1 upplaga) Brockhaus och Efron Britannica (11:e) Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4161034-9 NKC : ph973163

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta

Koniska sektioner
Huvudsorter	Ellips Hyperbel Parabel
Degenererad	Punkt Hetero Ett par raka linjer
Ett specialfall av en ellips	Cirkel
Geometrisk konstruktion	konisk sektion Dandelin bollar Steiners design
se även	Konisk konstant
Matematik • Geometri