Cykliskt nummer

Ett cykliskt tal  är ett heltal vars cykliska permutationer av siffrorna är produkterna av detta tal med successiva tal. Det mest kända exemplet på ett sådant nummer är 142857 :

142857 × 1 = 142857 142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142

Detaljer

För att ett tal ska vara cykliskt krävs att multiplikation med successiva tal ger permutationer av talets siffror. Talet 076923 anses alltså inte vara cykliskt eftersom, även om alla cykliska permutationer är produkten av talet med vissa heltalsfaktorer , är dessa faktorer inte på varandra följande heltal :

076923 × 1 = 076923 076923 × 3 = 230769 076923 × 4 = 307692 076923 × 9 = 692307 076923 × 10 = 769230 076923 × 12 = 923076

Följande typiska fall är vanligtvis uteslutna:

1. Ensiffriga t.ex. 5
2. upprepande siffror som 555
3. upprepade cykliska tal som 142857142857

Om inledande nollor inte är tillåtna i siffror är 142857 det enda cykliska talet i decimalnotation , vilket bestäms av den obligatoriska talstrukturen som beskrivs i nästa avsnitt. Om inledande nollor är tillåtna börjar sekvensen av cykliska tal med:

(10 6 −1) / 7 = 142857 (6 siffror) (10 16 −1) / 17 = 0588235294117647 (16 siffror) (10 18 −1) / 19 = 052631578947368421 (18 siffror) (10 22 −1) / 23 = 0434782608695652173913 (22 siffror) (10 28 −1) / 29 = 0344827586206896551724137931 (28 siffror) (10 46 −1) / 47 = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 siffror) (10 58 −1) / 59 = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 siffror) (10 60 −1) / 61 = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 siffror) (10 96 −1) / 97 = 01030927835051546391752577319587628865979381443298969072164948453608247422681613420 siffror 9

Samband med upprepade decimaltal

Cykliska tal är relaterade till periodiska decimalbråk av ett . Ett cykliskt tal med längden L har en decimalrepresentation

1/( L + 1).

Omvänt, om decimalperioden för talet 1 / p (där p är primtal) är [1]

p - 1

då representerar siffrorna ett cykliskt tal.

Till exempel:

1/7 = 0,142857 142857….

Att multiplicera denna bråkdel ger en cyklisk permutation:

1/7 = 0,142857 142857... 2/7 = 0,285714 285714... 3/7 = 0,428571 428571… 4/7 = 0,571428 571428... 5/7 = 0,714285 714285… 6/7 = 0,857142 857142….

Cyklisk talformat

Med hjälp av sambandet med bråkdelar av ett kan det visas att de cykliska talen har formen av Fermats kvot

,

där b  är basen i talsystemet (10 för decimal ) och p  är ett primtal som inte delar b . (Primtal p som bildar cykliska tal till bas b kallas fullt upprepade primtal eller långa primtal till bas b [2] ).

Till exempel, för b = 10, ger p = 7 det cykliska talet 142857, och för b = 12 ger p = 5 det cykliska talet 2497.

Inte alla p -värden ger cykliska tal enligt denna formel. Till exempel, för b = 10 ger p = 13 076923076923 10 och för b = 12 ger p = 19 076B45076B45076B45 12 . Dessa tal är inte cykliska eftersom de består av upprepade sekvenser.

De första p -värdena för vilka formeln ger cykliska tal i basdecimal ( b = 10) ( OEIS -sekvens A001913 )

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 36 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593. 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, …

För b = 12 ( duodecimal ) är dessa p -värden (sekvens A019340 i OEIS )

5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197. 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617. 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, …

För b = 2 ( binärt ) är dessa p -värden (sekvens A001122 i OEIS )

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 62, 197, 62 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541. 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, …

För b = 3 ( ternär ) är dessa p -värden (sekvens A019334 i OEIS )

2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 212, 3, 212, 3, 3, 5 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557. 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, …

Det finns inga sådana p- tal i hexadecimal .

Kända scheman för sådana sekvenser erhålls från algebraisk talteori , nämligen denna sekvens är uppsättningen av primtal p så att b är en primitiv rot modulo p .

Konstruktion av cykliska tal

Cykliska tal kan erhållas genom följande procedur :

Låt b  vara basen i talsystemet (10 för decimaltal)
Låt p  vara ett primtal som inte är en divisor av b .
Låt t = 0.
Låt r = 1.
Låt n = 0.
cykla:

Låt t = t + 1 Låt x = r b _ Låt oss sätta d = heltalsdel ( x / p ) Låt r = x mod p Låt n = n b + d _ Om r ≠ 1, gå till början av loopen.

Om t = p − 1 är n ett cykliskt tal.

Proceduren fungerar genom att beräkna siffrorna i bråkdelen 1/ p till basen b med hjälp av division med en kolumnalgoritm . Vid varje steg är r resten och d är nästa siffra.

Steg

n = n b + d _

ger helt enkelt sammansättningen av siffrorna i ett nummer. För datorer som inte kan beräkna mycket stora heltal kan dessa tal helt enkelt skrivas ut eller samlas in på annat sätt.

Observera att när t når gränsen p /2 måste det resulterande talet vara cykliskt och det finns inget behov av att beräkna ytterligare siffror.

Egenskaper för cykliska tal

Obs : Nedanför sänkt betyder bas. Så, 142 10 betyder talet 142 i bas 10, och 142 5 betyder siffra 142 i bas 5 (det vill säga 47 10 ).

• Om vi ​​multiplicerar ett tal med ett genererande primtal får vi sekvensen av siffror ́bas −1' (9 i fallet med en decimalbas). 142857 10  × 7 = 999999 10 .
• Om vi ​​delar upp talet i grupper av siffror (två, tre, fyra, etc. siffror) och sedan adderar de resulterande talen, får vi sekvenser av nio. 14 + 28 + 57 = 99 , 142 + 857 = 999 , 1428 + 5714+ 2857 = 9999 etc... (Detta är ett specialfall av Midis sats .)
• Alla cykliska tal är delbara med ́ bas −1' (9 vid bas decimal).

Hur många cykliska tal?

Antalet cykliska tal som inte överstiger 10 n för naturligt n bildar en sekvens (sekvens A086018 i OEIS ):

1, 9, 60, 467, 3617, 25883, 248881, 2165288, 19016617...

Det har antagits (ännu inte bevisat) att det finns en oändlig uppsättning cykliska tal [2] . Enligt Emil Artins gissning [3] innehåller denna sekvens 37.395..% av primtal (för b från sekvens A085397; sekvens A085397 i OEIS ).

Andra nummersystem

Med ovanstående teknik kan du hitta cykliska tal i andra talsystem.

I binärt börjar sekvensen av cykliska tal med: (sekvens A001122 i OEIS )

11 2 =3 10 → 01 2 101 2 = 5 10 → 0011 2 1011 2 = 11 10 → 0001011101 2 1101 2 = 13 10 → 000100111011 2 10011 2 =19 10 → 000011010111100101 2 11101 2 =29 10 → 00001000110100111110111001011 2 100101 2 = 37 10 → 000001101110101100111110010001010011 2

I ternärt : (sekvens A019334 i OEIS )

2 3 =2 10 → 1 3 12 3 = 5 10 → 0121 3 21 3 = 7 10 → 010212 3 122 3 = 17 10 → 0011202122110201 3 201 3 =19 10 → 001102100221120122 3 1002 3 = 29 10 → 0002210102011122200121202111 3 1011 3 = 31 10 → 0002121112210202222010111001202 3

I det kvartära systemet:

(inga cykliska siffror)

I quinary: (sekvens A019335 i OEIS )

2 5 = 2 10 → 2 5 3 5 = 3 10 → 13 5 12 5 = 7 10 → 032412 5 32 5 = 17 10 → 0121340243231042 5 43 5 = 23 10 → 0102041332143424031123 5 122 5 = 37 10 → 003142122040113342441302322404331102 5 133 5 = 43 10 → 002423141223434043111442021303221010401333 5

I hexadecimal: (sekvens A167794 i OEIS )

15 6 = 11 10 → 0313452421 6 21 6 = 13 10 → 024340531215 6 25 6 = 17 10 → 0204122453514331 6 105 6 = 41 10 → 0051335412440330234455042201431152253211 6 135 6 = 59 10 → 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541 6 141 6 = 61 10 → 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335 6 211 6 =79 10 → 002422325434441304033512354102140052450553133230121114251522043201453415503105

I sjuttonär: (sekvens A019337 i OEIS )

2 7 = 2 10 → 3 7 5 7 = 5 10 → 1254 7 14 7 = 11 10 → 0431162355 7 16 7 = 13 10 → 035245631421 7 23 7 = 17 10 → 0261143464055232 7 32 7 = 23 10 → 0206251134364604155323 7 56 7 = 41 10 → 0112363262135202250565543034045314644161 7

I oktal : (sekvens A019338 i OEIS )

3 8 = 3 10 → 25 8 5 8 = 5 10 → 1463 8 13 8 = 11 10 → 0564272135 8 35 8 = 29 10 → 0215173454106475626043236713 8 65 8 = 53 10 → 0115220717545336140465103476625570602324416373126743 8 73 8 = 59 10 → 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415 8 123 8 = 83 10 → 0061262710366576352321570224030531344173277165150674112014254562075537472464583604

I decimalsystem:

2 9 = 2 10 → 4 9 (inga andra)

I unix 11: (sekvens A019339 i OEIS )

2 11 = 2 10 → 5 11 3 11 = 3 10 → 37 11 12 11 = 13 10 → 093425A17685 11 16 11 = 17 10 → 07132651A3978459 11 21 11 = 23 10 → 05296243390A581486771A 11 27 11 = 29 10 → 04199534608387A69115764A2723 11 29 11 = 31 10 → 039A32146818574A71078964292536 11

I duodecimal : (sekvens A019340 i OEIS )

5 12 = 5 10 → 2497 12 7 12 = 7 10 → 186A35 12 15 12 = 17 10 → 08579214B36429A7 12 27 12 = 31 10 → 0478AA093598166B74311B28623A55 12 35 12 = 41 10 → 036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207 12 37 12 = 43 10 → 0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765 12 45 12 = 53 10 → 02872B3A23205525A784640AA4B9349081989B6696143757B117 12

Tretton: (sekvens A019341 i OEIS )

2 13 = 2 10 → 6 13 5 13 = 5 10 → 27A5 13 B 13 = 11 10 → 12495BA837 13 16 13 = 19 10 → 08B82976AC414A3562 13 25 13 = 31 10 → 055B42692C21347C7718A63A0AB985 13 2B 13 = 37 10 → 0474BC3B3215368A25C85810919AB79642A7 13 32 13 = 41 10 → 04177C08322B13645926C8B550C49AA1B96873A6 13

Hexadecimal : (sekvens A019342 i OEIS )

3 14 = 3 10 → 49 14 13 14 = 17 10 → 0B75A9C4D2683419 14 15 14 = 19 10 → 0A45C7522D398168BB 14 19 14 = 23 10 → 0874391B7CAD569A4C2613 14 21 14 = 29 10 → 06A89925B163C0D73544B82C7A1D 14 3B 14 = 53 10 → 039AB8A075793610B146C21828DA43253D6864A7CD2C971BC5B5 14 43 14 = 59 10 → 03471937B8ACB5659A2BC15D09D74DA96C4A62531287843B21C80D4069 14

Hexadecimal : (sekvens A019343 i OEIS )

2 15 = 2 10 → 7 15 D 15 = 13 10 → 124936DCA5B8 15 14 15 = 19 10 → 0BC9718A3E3257D64B 15 18 15 = 23 10 → 09BB1487291E533DA67C5D 15 1E 15 = 29 10 → 07B5A528BD6ACDE73949C6318421 15 27 15 = 37 10 → 061339AE2C87A8194CE8DBB540C26746D5A2 15 2B 15 = 41 10 → 0574B51C68BA922DD80AE97A39D286345CC116E4 15

I hexadecimal :

(inga cykliska siffror)

Hexadecimal : (sekvens A019344 i OEIS )

2 17 = 2 10 → 8 17 3 17 = 3 10 → 5B 17 5 17 = 5 10 → 36DA 17 7 17 = 7 10 → 274E9C 17 B 17 = 11 10 → 194ADF7C63 17 16 17 = 23 10 → 0C9A5F8ED52G476B1823BE 17 1E 17 = 31 10 → 09583E469EDC11AG7B8D2CA7234FF6 17

Hexadecimal : (sekvens A019345 i OEIS )

5 18 = 5 10 → 3AE7 18 B18 = 1110 → 1B834H69ED 18 1B 18 = 29 10 → 0B31F95A9GDAE4H6EG28C781463D 18 21 18 = 37 10 → 08DB37565F184FA3G0H946EACBC2G9D27E1H 18 27 18 = 43 10 → 079B57H2GD721C293DEBCHA86CA0F14AFG5F8E4365 18 2H 18 = 53 10 → 0620C41682CG57EAFB3D4788EGHBFH5DGB9F51CA3726E4DA9931 18 35 18 =59 10 → 058F4A6CEBAC3BG30G89DD227GE0AHC92D7B53675E61EH19844FFA13H7 18

Hex : (sekvens A019346 i OEIS )

2 19 = 2 10 → 9 19 7 19 = 7 10 → 2DAG58 19 B 19 = 11 10 → 1DFA6H538C 19 D 19 = 13 10 → 18EBD2HA475G 19 14 19 = 23 10 → 0FD4291C784I35EG9H6BAE 19 1A 19 = 29 10 → 0C89FDE7G73HD1I6A9354B2BF15H 19 1I 19 = 37 10 → 09E73B5C631A52AEGHI94BF7D6CFH8DG8421 19

I vigesimal : (sekvens A019347 i OEIS )

3 20 = 3 10 → 6D 20 D 20 = 13 10 → 1AF7DGI94C63 20 H 20 = 17 10 → 13ABF5HCIG984E27 20 13 20 = 23 10 → 0H7GA8DI546J2C39B61EFD 20 1H 20 = 37 10 → 0AG469EBHGF2E11C8CJ93FDA58234H5II7B7 20 23 20 = 43 10 → 0960IC1H43E878GEHD9F6JADJ17I2FG5BCB3526A4D 20 27 20 = 47 10 → 08A4522B15ACF67D3GBI5J2JB9FEHH8IE974DC6G381E0H 20

I 21-decimalsystem: (sekvens A019348 i OEIS )

2 21 = 2 10 → A 21 J 21 = 19 10 → 1248HE7F9JIGC36D5B 21 12 21 = 23 10 → 0J3DECG92FAK1H7684BI5A 21 18 21 = 29 10 → 0F475198EA2IH7K5GDFJBC6AI23D 21 1A 21 = 31 10 → 0E4FC4179A382EIK6G58GJDBAHCI62 21 2B 21 = 53 10 → 086F9AEDI4FHH927J8F13K47B1KCE5BA672G533BID1C5JH0GD9J 21 38 21 = 71 10 → 06493BB50C8I721A13HFE42K27EA785J4F7KEGBH99FK8C2DIJAJH356GI0ID6ADCF1G5D 21

I 22-decimalsystem: (sekvens A019349 i OEIS )

5 22 = 5 10 → 48HD 22 H 22 = 17 10 → 16A7GI2CKFBE53J9 22 J 22 = 19 10 → 13A95H826KIBCG4DJF 22 19 22 = 31 10 → 0FDAE45EJJ3C194L68B7HG722I9KCH 22 1F 22 = 37 10 → 0D1H57G143CAFA2872L8K4GE5KHI9B6BJDEJ 22 1J 22 = 41 10 → 0BHFC7B5JIH3GDKK8CJ6LA469EAG234I5811D92F 22 23 22 = 47 10 → 0A6C3G897L18JEB5361J44ELBF9I5DCE0KD27AGIFK2HH7 22

I 23-decimalsystem: (sekvens A019350 i OEIS )

2 23 = 2 10 → B 23 3 23 =3 10 → 7F ​​​​23 5 23 = 5 10 → 4DI9 23 H 23 = 17 10 → 182G59AILEK6HDC4 23 21 23 = 47 10 → 0B5K1AHE496JD4KCGEFF3L0MBH2LC58IDG39I2A6877J1M 23 2D 23 = 59 10 → 08M51CJK65AC1LJ27I79846E9H3BFME0HLA32GHCAL13KF4FDEIG8D5JB7 23 3K 23 = 89 10 → 05LG6ADG0BK9CL4910HJ2J8I21CF5FHD4327B8C3864EMH16GC96MB2DA1IDLM53K3E4KLA7H759IJKFBEAJEGI8 23

I 24-decimalsystem: (sekvens A019351 i OEIS )

7 24 = 7 10 → 3A6KDH 24 B 24 = 11 10 → 248HALJF6D 24 D 24 = 13 10 → 1L795CM3GEIB 24 H 24 = 17 10 → 19L45FCGME2JI8B7 24 17 24 = 31 10 → 0IDMAK327HJ8C96N5A1D3KLG64FBEH 24 1D 24 = 37 10 → 0FDEM1735K2E6BG54CN8A91MGKI3L9HC7IJB 24 1H 24 = 41 10 → 0E14284G98IHDB2M5KBGN9MJLFJ7EF56ACL1I3C7 24

I det 25-åriga systemet:

2 25 = 2 10 → C 25 (inga andra)

Observera att för en ternär bas ( b = 3) ger fallet p = 2 1, vilket enligt reglerna inte är ett cykliskt tal (trivialt kasus, en siffra). Här ges detta fall för fullständigheten av teorin att alla tal erhålls på detta sätt.

Det kan visas att cykliska tal (andra än de triviala ensiffriga fallen) inte existerar i kvadratbaserade talsystem, det vill säga baserna 4, 9, 16, 25 osv.

Se även

• Periodisk fraktion
• Fermats lilla sats
• Cyklisk permutation av siffror i heltal

Anteckningar

1. ↑ Gardner, 2009 , sid. 114.
2. ↑ 1 2 Vasilenko .
3. ↑ Artin's Constant - från Wolfram MathWorld

Litteratur

• S.L. Vasilenko. Dolda mönster av cykliska numeriska former . (obestämd)
• Martin Gardner. Mathematical Circus: Fler pussel, spel, paradoxer och andra matematiska underhållningar från Scientific American. New York: The Mathematical Association of America, 1979. s. 111–122.
  • Martin Gardner. De bästa mattespelen och pusslen (Eller en riktig mattecirkus). - Moskva: AST Astrel, 2009. - S. 111–121. - ISBN 978-5-17-058244-0 ; 978-5-271-23247-3; UDC 159,9 BBK 88,37.

Läsning för vidare läsning

• Dan Kalman. Bråk med cykelsiffror  // The College Mathematics Journal. - 1996. - Mars ( vol. 27 , nummer 2 ). — S. 109–115 .
• John Leslie. Aritmetikens filosofi: Uppvisar en progressiv syn på teorin och praktiken av ..... . - Longman, Hurst, Rees, Orme, Brown, 1820. - ISBN 1-4020-1546-1 .
• David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . — Penguin Press. — ISBN 0-14-008029-5 .

Länkar

• Weisstein, Eric W. Cyclic Number  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
• Youtube: "Cyclic Numbers - Numberphile"

Klasser av naturliga tal
Befogenheter och relaterade siffror	Akilles Grad 2 10 grader 12 grader rutor Kuba fjärde grader Femte graden Perfekt examen Full multipel Potens för ett primtal
Tal i formen a × 2 b ± 1	Cullen Dubbla Mersenne-nummer Gårdsnummer Mersenne Catalana - Mersenne Prota Sabita Woodala
Andra polynomtal _	Carola Gilbert Lämpliga nummer Kenya Leyland Lyckliga Euler-nummer Återförenar
Rekursivt definierade tal	fibonacci Jacobsthal Leonardo Luca Padovan sekvens Pella Perrina
Uppsättningar av nummer med specifika egenskaper	Knodel Riesel Sierpinsky
Uttryckt i belopp	Icke-hypotenus Praktisk Principiellt halvenkelt Ulama Wolsenholm
Erhålls med en sil	lyckotal
Relaterade koder _	Mirtens
lockiga siffror	2-dimensionell centrerad _ triangulär fyrkant femsidig hexagonal sjukantig åttkantig icke-kantig dekagonal stellate utanför centrum triangulär fyrkant kvadratisk triangulär hexagonal åttkantig 3-dimensionell centrerad _ tetraedrisk kubisk oktaedrisk dodekaedral icosahedral utanför centrum tetraedrisk oktaedrisk dodekaedral icosahedral Stjärnoktaedral pyramidal _ fyrkant femsidig hexagonal sjukantig 4-dimensionell centrerad _ pentakorisk triangulär i en kvadrat utanför centrum pentatop
Pseudoenkelt	Carmichael Catalana elliptisk Euler Euler-Jacobi Odla Frobenius Luca Somera - Luca starkt pseudoenkelt
kombinatoriska siffror	Klocknummer tårtnummer Catalana Dedekind Delanoya Euler Fussa - Catalana central polygonal Lobba Motzkin-nummer Narayana Antal Bell-beställningar Schroeder nummer Schroeder - Hipparchus
Aritmetiska funktioner	σ( n ) överflödig nästan perfekt aritmetisk kolossalt överflödig Descartes halvperfekta siffror mycket överflödiga siffror höga komponentnummer hyperperfekta siffror multiperfekta siffror engagerad praktisk primitiv överflödig något överflödig tau nummer majestätiska siffror överflödiga siffror supersammansatta tal superperfekta siffror Ω( n ) nästan enkelt halvenkel φ( n ) mycket kovalent hög satsning perfekt totient lite totient s( n ) vänlig engagerad otillräcklig halvperfekt Euklid förmögenhetstal
Genom divisorer	Viferikha Fibonacci - Viferiha Wolstenholm Wilson
Andra primtalare eller relaterade till delbarhet	Blomma Erdős - Woods coprime vänlig blygsam Jugi Malmnummer Luca - Carmichael rektangulär regelbunden k-grov slät festlig sphenisk Sturmer Super Poole-siffror Zeisel
Underhållande matematik	Nummersystem _ automorft nummer cyklisk Osiris Dudeni lika siffror extravagant Factorion Friedman nöjd Nivena Kita Lichrel belopp med saknad siffra Armstrong palindromisk pandigital parasitisk skadlig magisk primitiv repdigits återföreningar självgenererad självbeskrivande Smarandsha - Wellena strikt icke-palindromisk växlare förflyttning trimorf vågig vampyrer Aronson sekvens pannkaksnummer