Kompisnummer

Vänliga tal  är två eller flera naturliga tal med samma redundansindex , förhållandet mellan summan av talens divisorer och själva talet. Två tal med samma redundans bildar ett vänskapspar , n tal med samma redundans bildar en vänskaplig n -tuppel .

Att vara vänner är en ekvivalensrelation och genererar därför en uppdelning av positiva naturliga tal i klubbar ( ekvivalensklasser ) av parvisa vänskapliga tal.

Ett nummer som inte ingår i något vänskapspar kallas en eremit .

Redundansindexet för talet n  är ett rationellt tal , där det betyder summan av divisorer . Ett nummer n är vänligt om det finns sådant att . Observera att redundans inte är detsamma som överskott , vilket definieras som .

Redundans kan också uttryckas som , där är divisorfunktionen för c lika med summan av de k: te potenserna av divisorerna för n .

Siffror från 1 till 5 är eremiter. Det minsta vänskapstalet är 6, vilket parar sig med 28 med ett redundansindex på . Det totala värdet 2 är ett heltal i detta fall, vilket inte är sant i många andra fall. Tal med ett redundansindex på 2 kallas även perfekta tal . Det finns ett antal olösta problem relaterade till vänliga nummer.

Trots likheten mellan namn finns det inget direkt samband mellan vänliga siffror och vänliga siffror eller följeslagare , även om definitionerna av dessa siffror också använder divisorfunktionen.

Exempel

I tabellen har blå siffror visat sig vara vänliga (sekvens A074902 i OEIS ), röda siffror är bevisade eremiter (sekvens A095739 i OEIS ), siffror n som är relativt primtal till c (sekvens A014567 i OEIS ) är inte färgade här , även om de uppenbarligen är eremiter. De återstående numren har en okänd status och är markerade i gult .

n n n n
ett ett ett 37 38 38/37 73 74 74/73 109 110 110/109
2 3 3/2 38 60 30/19 74 114 57/37 110 216 108/55
3 fyra 4/3 39 56 56/39 75 124 124/75 111 152 152/111
fyra 7 7/4 40 90 9/4 76 140 35/19 112 248 31/14
5 6 6/5 41 42 42/41 77 96 96/77 113 114 114/113
6 12 2 42 96 16/7 78 168 28/13 114 240 40/19
7 åtta 8/7 43 44 44/43 79 80 80/79 115 144 144/115
åtta femton 15/8 44 84 21/11 80 186 93/40 116 210 105/58
9 13 13/9 45 78 26/15 81 121 121/81 117 182 14/9
tio arton 9/5 46 72 36/23 82 126 63/41 118 180 90/59
elva 12 12/11 47 48 48/47 83 84 84/83 119 144 144/119
12 28 7/3 48 124 31/12 84 224 8/3 120 360 3
13 fjorton 14/13 49 57 57/49 85 108 108/85 121 133 133/121
fjorton 24 12/7 femtio 93 93/50 86 132 66/43 122 186 93/61
femton 24 8/5 51 72 24/17 87 120 40/29 123 168 56/41
16 31 31/16 52 98 49/26 88 180 45/22 124 224 56/31
17 arton 18/17 53 54 54/53 89 90 90/89 125 156 156/125
arton 39 13/6 54 120 20/9 90 234 13/5 126 312 52/21
19 tjugo 20/19 55 72 72/55 91 112 16/13 127 128 128/127
tjugo 42 21/10 56 120 15/7 92 168 42/23 128 255 255/128
21 32 32/21 57 80 80/57 93 128 128/93 129 176 176/129
22 36 18/11 58 90 45/29 94 144 72/47 130 252 126/65
23 24 24/23 59 60 60/59 95 120 24/19 131 132 132/131
24 60 5/2 60 168 14/5 96 252 21/8 132 336 28/11
25 31 31/25 61 62 62/61 97 98 98/97 133 160 160/133
26 42 21/13 62 96 48/31 98 171 171/98 134 204 102/67
27 40 40/27 63 104 104/63 99 156 52/33 135 240 16/9
28 56 2 64 127 127/64 100 217 217/100 136 270 135/68
29 trettio 30/29 65 84 84/65 101 102 102/101 137 138 138/137
trettio 72 12/5 66 144 24/11 102 216 36/17 138 288 48/23
31 32 32/31 67 68 68/67 103 104 104/103 139 140 140/139
32 63 63/32 68 126 63/34 104 210 105/52 140 336 12/5
33 48 16/11 69 96 32/23 105 192 64/35 141 192 64/47
34 54 27/17 70 144 72/35 106 162 81/53 142 216 108/71
35 48 48/35 71 72 72/71 107 108 108/107 143 168 168/143
36 91 91/36 72 195 65/24 108 280 70/27 144 403 403/144

Ett annat exempel är att 30 och 140 bildar ett vänskapspar eftersom 30 och 140 har samma redundansindex:

Siffrorna 2480, 6200 och 40640 är medlemmar i klubben, eftersom alla tre nummer har ett redundansindex på 12/5.

Som ett exempel på udda vänliga siffror, överväg 135 och 819 (redundansindex 16/9). Det finns också fall där jämna tal är vänliga med udda, som 42 och 544635 (index 16/7).

En perfekt kvadrat kan vara ett vänligt tal, till exempel 693479556 (kvadraten på 26334) och 8640 har ett redundansindex på 127/36 (det här exemplet är av Dean Hickerson).

Eremitnummer

Nummer som tillhör en klubb med ett element, eftersom det inte finns några andra siffror som är vänskapliga med dem, är eremiter. Alla primtal är eremiter. Mer generellt, om talen n och är coprime , det vill säga den största gemensamma divisorn för dessa tal är 1, och därför är en irreducerbar bråkdel, då är talet n en eremit (sekvens A014567 i OEIS ). För ett primtal p har vi , och detta tal är relativt primtal till p .

Ingen allmän metod är känd för att avgöra om ett nummer är ett eremitnummer eller ett vännummer. Det minsta antalet vars klassificering är okänd (från och med 2009) är siffran 10. Det finns ett förslag att det är en eremit, om det inte är det, är dess minsta vän ett ganska stort antal, som siffran 24 - även om siffran 24 är vänlig, dess minsta vän är numret 91.963.648. För nummer 10 finns det inget vänskapsnummer som är mindre än 2.000.000.000 [1] .

Stora klubbar

Ett öppet problem är om det finns oändligt stora klubbar eller ömsesidigt vänskapliga nummer. De perfekta talen bildar en klubba och det finns ett antagande att det finns oändligt många perfekta tal (minst lika många som det finns Mersenne-tal ), men det finns inga bevis. År 2018 är 50 perfekta tal kända, och det största kända talet har över 46 miljoner siffror i decimalnotation . Det finns klubbar med mer kända medlemmar, i synnerhet klubbar som bildas av multiperfekta tal , det vill säga nummer vars redundansindex är ett heltal. I början av 2013 hade vänskapsklubben med ett index på 9 2094 medlemmar [2] . Även om klubbor med multiperfekta nummer är kända för att vara ganska stora (med undantag för själva perfekta numren), finns det gissningar att dessa klubbor är ändliga.

Anteckningar

  1. ↑ Cemra .
  2. ↑ Flammenkamp, ​​​​2008 .

Litteratur