Vanligt nummer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 juni 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Reguljära tal är tal som jämnt delar potenser av 60 (eller, motsvarande potenser av 30 ). Till exempel, 60 2 = 3600 = 48 × 75, så både 48 och 75 är divisorer av potensen 60. De är alltså vanliga tal . På motsvarande sätt är dessa tal vars enda primtalsdelare är 2, 3 och 5.

Tal som delar sig jämnt till en potens av 60 förekommer inom flera områden av matematiken och dess tillämpningar, och har olika namn hämtade från dessa olika studieområden.

Talteori

Formellt är ett vanligt tal ett heltal av formen 2 i ·3 j ·5 k för icke-negativa heltal i , j och k . Detta nummer är en divisor . Regelbundna tal kallas också 5 - släta , vilket indikerar att deras största primtal är högst 5.

Första några vanliga nummer

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, ... (sekvens A051037 i OEIS ).

Vissa andra sekvenser i OEIS har definitioner som inkluderar 5-släta tal [2] .

Även om vanliga tal verkar täta i intervallet 1 till 60, är ​​de ganska sällsynta bland stora heltal. Ett regelbundet tal n = 2 i 3 j 5 k är mindre än eller lika med N om och endast om punkten ( i , j , k ) tillhör en tetraeder , avgränsad av koordinatplanen och planet

som kan ses genom att ta logaritmen för båda sidor av olikheten 2 i ·3 j ·5 k ≤ N . Därför kan antalet reguljära tal som inte överstiger N uppskattas som volymen av denna tetraeder, som är lika med

Ännu mer exakt, att använda "O"-notationen är stor , antalet vanliga tal upp till N är

och det har föreslagits att felet i denna approximation faktiskt är [3] . En liknande formel för antalet 3-släta tal upp till N ges av Srinivasa Ramanujan i hans första brev till Godfrey Harold Hardy [4] .

Babylonisk matematik

I babylonisk sexagesimal notation har det reciproka av ett regelbundet tal en finit representation, så det är lätt delbart. I synnerhet, om n delar 60 k , så är den sexagesimala representationen av 1/ n 60 k / n förskjuten med ett visst antal platser.

Anta till exempel att vi vill dividera med det gemensamma talet 54 = 2 1 3 3 . 54 är en divisor av 603 och 603/54 = 4000, så att dividera med 54 i sexagesimal kan göras genom att multiplicera med 4000 och flytta tre siffror. I sexagesimal 4000 = 1x3600 + 6x60 + 40x1, eller (som sagt av Joyce) 1:6:40. Så 1/54 i sexagesimal är 1/60 + 6/60 2 + 40/60 3 , vilket också betecknas 1:6:40, som de babyloniska konventionerna gjorde. utan att ange graden av den initiala siffran. Omvänt, 1/4000 = 54/60 3 , så att dividera med 1:6:40 = 4000 kan göras genom att multiplicera med 54 och skifta tre sexagesimala siffror.

Babylonierna använde tabeller med ömsesidiga regelbundna siffror, av vilka några har överlevt till denna dag (Sachs, 1947). Dessa tabeller existerade relativt oförändrade under hela den babyloniska tiden [5] .

Även om huvudskälet till att föredra vanliga siffror framför andra är ändligheten hos deras ömsesidiga, inkluderade vissa babyloniska beräkningar förutom ömsesidiga också vanliga siffror. Till exempel har tabeller med reguljära kvadrater hittats [5] , och den trasiga kilskriften av Plimpton- tavlan 322 har tolkats av Otto E. Neugebauer som en uppräkning av pythagoras trippel genererade av båda de reguljära talen p , q som är mindre än 60 [6] .

Musikteori

I musikteorin inkluderar den naturliga stämningen av den diatoniska skalan vanliga tal: tonhöjderna i en oktav av denna skala har frekvenser som är proportionella mot siffrorna i sekvensen 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 nästan på varandra följande regelbundna tal. För ett instrument med denna stämning är alltså alla tonhöjder regelbundna övertoner med samma grundfrekvens . Denna skala kallas 5 -limit stämning, vilket innebär att intervallet mellan två valfria toner kan beskrivas som produkten av 2 i 3 j 5 k potenser av primtal upp till 5, eller motsvarande, som ett förhållande mellan regelbunden tal.

Andra 5-limit-musikskalor än den välbekanta diatoniska skalan i västerländsk musik har också använts både i traditionell musik från andra kulturer och i modern experimentell musik: Honingh & Bod (2005 ) listar 31 olika 5-limit-skalor hämtade från en stor databas med musikaliska skalor. Var och en av dessa 31 skalor delar med diatonisk intonation egenskapen att alla intervall är förhållanden mellan reguljära tal. Euler Tonal Grid ger en bekväm grafisk representation av tonhöjden i valfri 5-limit-stämning genom att extrahera oktavförhållanden (tvåpotenser) så att de återstående värdena bildar ett plant rutnät . Vissa musikteoretiker har mer generellt sagt att regelbundna nummer är grundläggande för själva tonmusiken, och att tonhöjdsförhållanden baserade på primtal större än 5 inte kan vara konsonanta [7] . Det lika temperamentet hos moderna pianon är dock inte en 5-limit-stämning, och vissa moderna kompositörer har experimenterat med stämningar baserade på primtal större än 5.

I samband med tillämpningen av vanliga siffror på musikteori är det av intresse att hitta par av vanliga tal som skiljer sig med ett. Det finns exakt tio sådana par ( x , x + 1) [8] och varje sådant par definierar en superpartikelrelation ( x + 1)/ x , vilket är vettigt som ett musikaliskt intervall. Det är 2/1 ( oktav ), 3/2 ( perfekt femte ), 4/3 ( perfekt fjärde ), 5/4 ( dur tredje ), 6/5 ( moll tredje ), 9/8 ( dur sekund ), 10/9 ( moll sekund ), 16/15 ( diatonisk halvton ), 25/24 ( kromatisk halvton ) och 81/80 ( syntoniskt kommatecken ).

Algoritmer

Algoritmer för att beräkna vanliga tal i stigande ordning populariserades av Edsger Dijkstra . Dijkstra [9] [10] tillskriver Hamming problemet med att konstruera en oändligt ökande sekvens av alla 5-släta tal; detta problem är nu känt som Hamming-problemet , och siffrorna som erhålls på detta sätt kallas även Hamming-tal . Dijkstras idéer för att beräkna dessa siffror är följande:

Denna algoritm används ofta för att demonstrera kraften i ett lat funktionellt programmeringsspråk , eftersom (implicit) parallella effektiva implementeringar som använder ett konstant antal aritmetiska operationer per genererat värde enkelt konstrueras enligt beskrivningen ovan. Lika effektiva strikta funktionella eller imperativa sekventiella implementeringar är också möjliga, medan explicit parallella generativa lösningar kan vara icke-triviala [11] .

I programmeringsspråket Python används lat funktionskod för att generera vanliga siffror som ett av de inbyggda testerna för korrektheten av språkimplementeringen [12] .

Ett relaterat problem som diskuteras i Knuth (1972 ) är att lista alla k -siffriga hexadecimala tal i stigande ordning, vilket gjordes (för k = 6) av seleukidtidens skrivare Inakibit-Anu i tabletten AO6456. I algoritmiska termer är detta ekvivalent med att generera (i ordning) en undersekvens av en oändlig sekvens av vanliga tal i intervallet 60 k till 60 k + 1 . Se Gingerich (1965 ) för en tidig beskrivning av datorkoden som genererar dessa siffror ur ordning och sedan sorterar dem; Knuth beskriver en speciell algoritm, som han tillskriver Bruins (1970 ), för att generera sexsiffriga tal snabbare, men den generaliserar inte på ett direkt sätt till stora värden på k . Eppstein (2007 ) beskriver en algoritm för att beräkna tabeller av denna typ i linjär tid för godtyckliga värden på k .

Andra applikationer

Heninger, Rains & Sloane (2006 ) visar att när n är ett regelbundet tal delbart med 8, är den genererande funktionen för ett n -dimensionellt extremalt jämnt unimodulärt gitter n : te potensen av ett polynom.

Som med andra klasser av jämna tal är regelbundna tal viktiga som problemstorlekar i datorprogram för att utföra Fast Fourier Transform , en teknik för att analysera dominerande signalfrekvenser i tidsvarierande data . Till exempel kräver Tempertons (1992 ) metod att längden på transformationen är ett vanligt tal.

Bok 8 i Platons The States har en allegori om äktenskap baserad på det mycket regelbundna talet 60 4 = 12 960 000 och dess delare. Senare forskare använde både babylonisk matematik och musikteori i ett försök att förklara denna passage [13] . (Se Platons nummer .)

Anteckningar

  1. ↑ Inspirerad av liknande diagram av Erkki Kurenniemi i " Chords, scales and divisor lattices" Arkiverad 10 februari 2021 på Wayback Machine .
  2. ↑ OEIS-sökning efter sekvenser med 5-jämnhet Arkiverad 10 april 2021 på Wayback Machine .
  3. ↑ Neil Sloan . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Hämtad 10 april 2021. Arkiverad från originalet 6 maj 2021.
  4. ↑ Berndt, Bruce K. & Rankin, Robert Alexander, red. (1995), Ramanujan: Letters and Commentaries , vol. 9, History of Mathematics, American Mathematical Society, sid. 23, ISBN 978-0-8218-0470-4  .
  5. ↑ 12 Aaboe (1965 ).
  6. ↑ Se Conway & Guy (1996 ) för en populär behandling av denna tolkning. Plimpton 322 har andra tolkningar, för vilka se hans artikel, men de inkluderar alla vanliga siffror.
  7. ↑ Asmussen (2001 ) säger till exempel att "i vilket stycke som helst tonalmusik" måste alla intervall vara förhållanden av regelbundna tal, vilket återspeglar liknande påståenden från mycket tidigare författare som Habens (1889 ). I samtida musikteoretisk litteratur tillskrivs detta påstående ofta Longuet-Higgins (1962 ), som använde en grafisk design nära ett tonalt nätverk för att organisera 5-limit tonhöjder.
  8. ↑ Halsey & Hewitt (1972 ) noterade att detta följer av Størmers teorem ( Størmer 1897 ) och gav bevis i detta fall; se även Silver (1971 ).
  9. ↑ Dijkstra, Edsger W. (1976), 17. En övning som tillskrivs RW Hamming , A Programming Discipline , Prentice-Hall, sid. 129–134 , ISBN 978-0132158718 , < https://archive.org/details/disciplineofprog0000dijk/page/129 > 
  10. ↑ Dijkstra, Edsger W. (1981), Hamming Exercise in SASL , Rapport EWD792. Ursprungligen distribuerad privat som en handskriven lapp. , < http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd07xx/EWD792.PDF > Arkiverad 4 april 2019 på Wayback Machine 
  11. ↑ Se till exempel Hemmendinger (1988 ) eller Yuen (1992 ).
  12. ↑ Funktion m235 på test_generators.py Arkiverad 29 september 2007 på Wayback Machine .
  13. ↑ Barton (1908 ); McClain (1974 ).

Länkar

Externa länkar