Bilinsky dodekaeder

Bilinsky dodekaeder

( roterande modell )
Egenskaper konvex , zonoeder
Kombinatorik
Element
12 ytor
24 kanter
14 hörn 		X  = 2
Fasett 12 diamanter
Vertex-konfiguration 4+4(4.4.4)
4+2(4.4.4.4)
Klassificering
Symmetrigrupp D2h _
 Mediafiler på Wikimedia Commons

Bilinskys dodekaeder [1] är en polyeder ( zonoeder ) som består av 12 identiska gyllene romber .

Den är topologically isomorphic till den rhombic dodecahedronen , men, till skillnad från den, är inte isohedral (även om alla dess ansikten är också kongruenta ) och har en olik symmetrigrupp .

Bilinsky-dodekaederns ytor är romber med förhållandet mellan diagonalerna lika med det gyllene snittet ; de är något mer långsträckta än ytorna på den rombiska dodekaedern, som är romber med förhållandet mellan diagonalerna

Har 14 toppar. Vid 2 hörn konvergerar fyra ansikten med sina skarpa hörn; vid 4 hörn konvergerar tre ytor med trubbiga vinklar; i 4 hörn konvergerar en yta med en spetsig vinkel och två trubbiga; i 4 hörn sammanstrålar tre ytor med skarpa hörn och en trubbig.

Bilinsky-dodekaedern har 24 lika långa kanter. Med 12 kanter (intill hörnen markerade med rött i figuren ) är dihedriska vinklar lika med 8 kanter (mellan gröna och blå hörn) - med 4 kanter (mellan svarta och gröna hörn) -

I koordinater

Bilinsky-dodekaedern kan placeras i det kartesiska koordinatsystemet så att dess hörn har koordinater

I detta fall kommer polyederns symmetricentrum att sammanfalla med origo, tre symmetriaxlar kommer att sammanfalla med axlarna Ox, Oy och Oz, och tre symmetriplan kommer att sammanfalla med planen xOy, xOz och yOz.

Metriska egenskaper

Om Bilinsky-dodekaedern har en längdkant , uttrycks dess yta och volym som

Historik

För första gången finns denna polyeder under namnet "dodecarombe" 1752 i en illustration i boken av den engelske matematikern John Lodge Cowley [2] [3] .

Den återupptäcktes 1960 av den kroatiske matematikern Stanko Bilinsky [4] , som kallade den "en rombisk dodekaeder av det andra slaget" [5] . Bilinskys upptäckt fyllde en lucka som förblev obemärkt i 75 år i klassificeringen av konvexa polyedrar med kongruenta rombiska ansikten, beskriven av Evgraf Fedorov [6] .

Harold Coxeter i en tidning från 1962 [7] påstod felaktigt att Bilinsky-dodekaedern kan erhållas genom en affin transformation av den rombiska dodekaedern. Detta påstående är falskt [6] .

Bevis Betrakta två segment i illustrationerna ovan: diagonalen på polyedern som förbinder två blå hörn och diagonalen på ansiktet som förbinder den röda hörn med den gröna I Bilinsky-dodekaedern är dessa segment inte parallella, men i den rombiska dodekaedern är segmenten som motsvarar dem parallella. Och eftersom den affina transformationen bevarar segmentens parallellitet, är det omöjligt att erhålla en polyeder från en annan med affina expansioner och sammandragningar.

Anteckningar

  1. ↑ W. Ball, G. Coxeter . Matematiska uppsatser och underhållning. — M.: Mir, 1986. — P. 157.
  2. ↑ John Lodge Cowley. Geometri på ett enkelt sätt; Eller en ny och metodisk förklaring av geometrins element. - London, 1752. - Tavla 5, Fig. 16.
  3. ↑ Hart, George W. (2000), A color-matching dissection of the rhombic enneacontahedron , Symmetry: Culture and Science vol. 11 (1–4): 183–199 , < http://www.georgehart.com/dissect -re/dissect-re.htm >  . ( Arkiverad 1 oktober 2015 på Wayback Machine )
  4. ↑ Bilinski, S. (1960), Uber die Rhombenisoeder, Glasnik Mat. Fiz. Astr. T. 15: 251–263  .
  5. ↑ Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra: Ett av geometrins mest charmiga kapitel , Cambridge: Cambridge University Press , s. 156, ISBN 0-521-55432-2 , < https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA156 >  .
  6. ↑ 1 2 Grünbaum, Branko (2010), The Bilinski dodecahedron and assorted parallellohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra , The Mathematical Intelligencer vol 32 (4): 5–15 , DOI 10.102891-8.10289-8  .
  7. ↑ Coxeter, HSM (1962), Klassificeringen av zonohedrar med hjälp av projektiva diagram, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées vol. 41: 137–156  .

Länkar