Isoedrisk tetraeder

En isoedrisk tetraeder  är en specifik typ av tetraeder i det euklidiska rymden .

Tydligen studerades isoedriska tetraedrar först i detalj av Adolf Schmidt 1884 [1] och David Besso 1886 [2] . 1935 presenterades isoedriska tetraedrars egenskaper systematiskt i boken [3] .

Definition

En tetraeder kallas isohedral om alla dess ytor är lika trianglar.

Egenskaper

Det finns ett antal motsvarande definitioner av den isoedriska tetraedern:

  1. parallellepipeden som beskrivs nära den  är rektangulär;
  2. dess utveckling, erhållen genom att skära den längs tre kanter som konvergerar vid en vertex, är en triangel (denna triangel måste vara spetsig, eftersom en trubbig eller rektangulär triangel inte kommer att bilda en tetraeder när den böjs längs mittlinjerna);
  3. dess utveckling, erhållen genom att skära en streckad linje av tre länkar, är ett parallellogram;
  4. den har tre symmetriaxlar - dessa är vanliga perpendicularer som dras till motsatta kanter, de är också bimedianer;
  5. alla dess triedriska vinklar är lika
  6. summan av trianglarnas vinklar vid varje vertex är lika med );
  7. summan av cosinuserna för de dihedriska vinklarna vid varje vertex är 1;
  8. alla dess medianer är lika;
  9. alla dess höjder är lika;
  10. centrumen för de inskrivna och omskrivna sfärerna och tyngdpunkten sammanfaller;
  11. radierna för de omskrivna cirklarna runt ytorna är lika;
  12. ytornas omkrets är lika;
  13. ytornas ytor är lika;
  14. motsatta dihedriska vinklar är lika;
  15. motsatta kanter är lika;
  16. centran för de beskrivna sfärerna ligger på den omskrivna sfären;
  17. bland konvexa polyedrar, isoedriska tetraedrar och endast de tillåter godtyckligt långa slutna geodesiker utan självkorsningar på sina ytor; [4] (Samma egenskap skiljer isoedriska tetraedrar bland alla slutna konvexa ytor. [5] )
  18. tetraedern är isoedrisk om och bara om jämlikheten håller . Här , , , och är volymen av tetraedern . [6]

Anteckningar

  1. ↑ Annons. Schmidt, Das gleichseitige Tetraeder Arkiverad 4 januari 2019 på Wayback Machine , Schlömilch Z. XXIX, 321-343 (1884).
  2. ↑ D. Besso, Sul tetraedro a facce eguali , Besso Per. I. 1-12 (1886).
  3. ↑ P. Couderc, A. Balliccioni. Premier livre du tetraedre. En l'usage des élèves de première, de mathématiques, des candidats aux grandes écoles et à l'agrégation. Paris, Gauthier-Villars (1935). 204 sid.
  4. ↑ V. Yu. Protasov . Om antalet slutna geodesiker på en polyeder // Uspekhi Mat . - 2008. - T. 63 , nr 5 (383) . — S. 197–198 .
  5. ↑ Akopyan, Arseniy; Petrunin, Anton; Lång geodetik på konvexa ytor. Matematik. Intelligencer 40 (2018), nr. 3, 26-31, arXiv : 1702.05172
  6. ↑ M. Mazur. En ojämlikhet för volymen av en tetraeder  //  The American Mathematical Monthly . - 2018. - T. 125 , nr 3 . - S. 273-275 . — ISSN 0002-9890 .

Litteratur

Länkar