Alexandrovs svepsats

Alexandrovs utvecklingssats är ett teorem om existensen och unikheten hos en sluten konvex polyeder med en given utveckling, bevisat av Alexander Danilovich Aleksandrov . [1] Det unika i detta teorem är en generalisering av Cauchys polyhedrasats och har ett liknande bevis.

Generaliseringen av detta teorem till godtyckliga mått på sfären spelade en nyckelroll i bildandet och utvecklingen av Alexandergeometrin . Ett annat bevis, baserat på deformationen av ett tredimensionellt polyedriskt utrymme , föreslogs av Yu. A. Volkov i sin doktorsavhandling från 1955. [2]

Formulering

En polyedrisk metrik på en sfär är isometrisk med ytan av en konvex polyeder om och endast om summan av vinklarna vid någon av dess hörn inte överstiger . Dessutom definieras en polyeder av en metrik på dess yta upp till kongruens.

Det antas att polyedern urartar till en platt polygon, i detta fall definieras polyederns yta som en fördubbling av polygonen i dess gräns, det vill säga två kopior av polygonen limmade ihop vid motsvarande punkter på gränsen.

Anteckningar

• I den ursprungliga formuleringen använder Alexandrov konceptet med en utveckling av en polyeder på ett plan, det vill säga en uppsättning platta polygoner och reglerna för att limma dessa polygoner till en polyedrisk metrik. En av sådana utvecklingar kan erhållas från uppsättningen av alla ytor av en polyeder med en naturlig limningsregel. Men i allmänhet kan platta mönsterpolygoner överlappa flera ytor; se bild.

Variationer och generaliseringar

• (Aleksandrovs teorem) En inneboende metrik på en sfär är isometrisk till ytan av en konvex kropp om och endast om den har icke-negativ krökning i Alexandrovs mening . Det antas att kroppen urartar till en platt figur, i detta fall definieras figurens yta som dess fördubbling.
  • (Pogorelovs teorem) Dessutom är en konvex kropp unikt definierad upp till kongruens.
  • (Olovyanishnikovs sats) En komplett metrik på planet är isometrisk till ytan av en konvex mängd endast om den har icke-negativ krökning i betydelsen av Aleksandrov. Dessutom kan konen vid oändligheten ställas in godtyckligt, förutsatt att dess gräns är isometrisk till konen vid oändligheten .

Se även

• Alexandrovs monotonitetsteorem

Anteckningar

1. ↑ A. D. Alexandrov , konvexa polyedrar . M.; L.: GITTL, 1950.
2. ↑ Yu. A. Volkov. Förekomsten av en polyeder med en given utveckling  // Zap. vetenskaplig familj POMI. - 2018. - T. 476 . - S. 50-78 .

Litteratur

• N. Lebedeva och A. Petrunin. Aleksandrovs teorem om inbäddning av polytoper .