Stellartad oktaeder
| stellartad oktaeder | |
|---|---|
| Sorts | Korrekt anslutning av polyedrar |
| ansikten | 8 trianglar |
| revben | 12 |
| Toppar | åtta |
| Symmetrigrupper Coxeter-gruppen |
Octahedral ( O h ) [4,3] eller [[3,3]] |
| Kärna | Oktaeder |
| Schläfli symbol | |
| Coxeter symbol | {4,3}[2{3,3}]{3,4} [1] |
| Coxeter diagram |    ∪ =  
|
| konvext skrov | Kub |
| Index | UC 4 , W 19 |
| Dubbel | Självdubbel |
Den stjärnformade oktaedern , eller stella octangula , är den enda stjärnformade formen av oktaedern . Det latinska namnet stella octangula gavs till polyedern av Kepler 1609, även om det var känt för tidigare geometrar . Så han är avbildad i Paciolis verk De Divina Proportione, 1509.
En polyeder är den enklaste av de fem vanliga polyederföreningarna .
Stjärnoktaedern kan ses som en tredimensionell generalisering av hexagrammet - ett hexagram är en tvådimensionell figur som bildas av två överlagrade regelbundna trianglar som är centralt symmetriska till varandra, och på exakt samma sätt kan en stellartad oktaeder bildas från två centralt symmetriska korsande tetraedrar. Det kan också ses som ett av stegen i konstruktionen av 3D Koch-snöflingan , en fraktalfigur som erhålls genom att upprepade gånger fästa mindre tetraedrar på varje triangulär yta av en större figur. Det första steget av att bygga en Koch-snöflinga är en central tetraeder, och det andra steget, som erhålls genom att lägga till fyra mindre tetraedrar till ytorna på den centrala tetraedern, kommer att vara en stellartad oktaeder.
Byggnad
Den stjärnformade oktaedern kan erhållas på flera sätt:
- Detta är bildandet av en stellik regelbunden oktaeder , som bevarar dess ansiktsplan. Stjärnans kanter är mycket enkla: (Se Wenninger-modellen W 19 ).
- Det är en vanlig förening av polyedrar om den är konstruerad som en förening av två tetraeder (en tetraeder och dess dubbla tetraeder ).
- Det kan erhållas genom att lägga till triangulära pyramider till varje yta av en vanlig oktaeder . I denna konstruktion har polyedern samma topologi som den konvexa katalanska solida triakisoctahedronen , som har mycket kortare pyramider.
- Detta är en facettering av en kub med bevarande av hörn.
Relaterade begrepp
Du kan bygga en anslutning av två sfäriska tetraedrar, som visas i figuren.
De två tetraedrarna i konjunktionen av en stellated octahedron är "desmic", vilket betyder (när de ses som linjer i projektivt utrymme ) att varje kant av en tetraeder skär den motsatta kanten av den andra tetraedern. En av dessa skärningar är synlig i den stjärnformade oktaedern. En annan skärningspunkt är vid en oändlig punkt av det projektiva planet mellan två parallella kanter på två tetraedrar. Dessa två tetraedrar kan kompletteras till ett desmiskt system tre tetraedrar, där den tredje tetraedern har som fyra hörn tre skärningspunkter i oändligheten och tyngdpunkten för två finita tetraedrar. Samma tolv hörn av tetraedrarna bildar punkterna i Reye-konfigurationen .
De stjärnformade oktaedernumren är figurativa tal som räknar antalet kulor som kan placeras inuti den stjärnformade oktaedern. Dessa siffror är lika
0, 1, 14 , 51 , 124 , 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, … ( OEIS - sekvens A007588 )I populärkulturen
Den stjärnformade oktaedern representeras tillsammans med några andra polyedrar och sammansättningar av polyedrar i Eschers "Stars" [2] och "Double Asteroid" (1949) [3] .
Galleri
Detta är en helt symmetrisk skuren kub |
|||
Anteckningar
- ↑ Coxeter, 1973 , sid. 48-50, 98.
- ↑ Hart, 1996 .
- ↑ Coxeter, 1985 , sid. 59–69.
Litteratur
- P. Cromwell. Polyedra. - Storbritannien: Cambridge University Press, 1997. - s. 79–86 Archimedean solids . - ISBN 0-521-55432-2 .
- HSM Coxeter . 3.6 De fem reguljära föreningarna , s.47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids , pp.96-104 // Regular Polytopes . — 3:e upplagan. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
- George W Hart. The Polyhedra of MC Escher // WEB-artikel. — 1996.
- HSM Coxeter. En speciell bokrecension: MC Escher: His life and complete graphic work // The Mathematical Intelligencer. - 1985. - T. 7 , nr. 1 . - doi : 10.1007/BF03023010 .
Externa länkar
- VRML- modell: [1]
- MathWorld, Stella Octangula Arkiverad 10 december 2015 på Wayback Machine
- KlitzingPolytopes|../incmats/so.htm Richard Klitzing, 3D-förening Arkiverad 6 november 2015 på Wayback Machine