Vanlig polyeder

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 september 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

En regelbunden polyeder eller platonisk solid är en konvex polyeder , som består av identiska regelbundna polygoner och har rumslig symmetri.

Definition

En polyeder kallas regelbunden om:

den är konvex;
alla dess ytor är lika regelbundna polygoner ;
samma antal kanter konvergerar vid var och en av dess hörn .

Lista över vanliga polyedrar

I det tredimensionella euklidiska rummet finns det bara fem vanliga polyedrar [1] (ordnade efter antalet ansikten):

vanlig polyeder	Antal hörn	Antal kanter	Antal ansikten	Antal sidor på ett ansikte	Antal kanter intill en vertex	Typ av rumslig symmetri
Tetraeder	fyra	6	fyra	3	3	T d
Hexaeder	åtta	12	6	fyra	3	O h
Oktaeder	6	12	åtta	3	fyra	O h
Dodekaeder	tjugo	trettio	12	5	3	jag h
icosahedron	12	trettio	tjugo	3	5	jag h

Namnet på varje polyeder kommer från det grekiska namnet för antalet ansikten och ordet "ansikte".

Historik

Regelbundna polyedrar har varit kända sedan urminnes tider. Deras prydnadsmönster kan hittas på huggna stenkulor från den sena neolitiska perioden i Skottland , åtminstone 1000 år före Platon . I tärningarna som människor spelade med i civilisationens gryning, gissar man redan formerna på vanliga polyedrar.

Till stor del studerades vanliga polyedrar av de gamla grekerna . Vissa källor (som Proclus Diadochus ) tillskriver Pythagoras äran av deras upptäckt . Andra hävdar att endast tetraedern, kuben och dodekaedern var bekanta för honom, och äran att upptäcka oktaedern och ikosaedern tillhör Theaetetus från Aten , en samtida med Platon. Theaetetus gav i alla fall en matematisk beskrivning av alla fem reguljära polyedrar och det första kända beviset på att det finns exakt fem.

Regelbundna polyedrar är karakteristiska för Platons filosofi , efter vilken de fick namnet "platoniska fasta ämnen". Platon skrev om dem i sin avhandling Timaeus (360 f.Kr.), där han jämförde vart och ett av de fyra elementen (jord, luft, vatten och eld) med en viss regelbunden polyeder. Tetraedern motsvarade eld, hexaedern mot jorden, oktaedern till luft och icosahedronen till vatten. Dessa jämförelser förklarades av följande associationer: eldsvärmen känns tydligt och skarpt, som tetraedriska pyramider; oktaederns minsta luftkomponenter är så släta att de knappt kan kännas; vatten rinner ut när det tas i handen, som om det vore gjort av många små kulor, som ikosaedrar är närmast; i motsats till vatten utgör hexaederkuberna, helt olik bollen, jorden, vilket gör att jorden smulas sönder i händerna, i motsats till det jämna flödet av vatten. När det gäller det femte elementet, dodekaedern, gjorde Platon en vag kommentar: "... Gud definierade det för universum och tog till det som en modell."

Aristoteles lade till ett femte element, eter , och postulerade att himlen var gjord av detta element, men han likställde det inte med Platons femte element.

Euklid gav en fullständig matematisk beskrivning av regelbundna polyedrar i den sista, XIII boken av början . Propositionerna 13-17 i denna bok beskriver strukturen av tetraedern, oktaedern, kuben, ikosaedern och dodekaedern i denna ordning. För varje polyeder fann Euklid förhållandet mellan diametern på den omskrivna sfären och kantens längd. Proposition 18 säger att det inte finns några andra vanliga polyedrar. Andreas Speiser, en matematiker vid universitetet i Basel, hävdade att konstruktionen av fem vanliga polyedrar är huvudmålet för det deduktiva geometrisystemet, eftersom det skapades av grekerna och kanoniserades i Euklids element [2] . Mycket av informationen i bok XIII av elementen kan ha kommit från Theaetetos skrifter.

På 1500-talet försökte den tyske astronomen Johannes Kepler hitta ett samband mellan de fem planeterna i solsystemet som var kända vid den tiden (exklusive jorden) och vanliga polyedrar. I The Secret of the World , publicerad 1596, lade Kepler upp sin modell av solsystemet. I den placerades fem vanliga polyedrar den ena inuti den andra och åtskilda av en serie inskrivna och omskrivna sfärer. Var och en av de sex sfärerna motsvarade en av planeterna ( Merkurius , Venus , Jorden , Mars , Jupiter och Saturnus ). Polyedrarna var ordnade i följande ordning (från inre till yttre): oktaeder, följt av icosahedron, dodecahedron, tetrahedron och slutligen kuben. Således bestämdes solsystemets struktur och förhållandet mellan avstånden mellan planeterna av vanliga polyedrar. Senare måste Keplers ursprungliga idé överges, men resultatet av hans sökande blev upptäckten av två lagar för omloppsdynamik - Keplers lagar - som förändrade fysikens och astronomiförloppet, såväl som regelbundna stellerade polyedrar ( Kepler-Poinsot kroppar ) .

Kombinatoriska egenskaper

Euler härledde en formel som relaterar antalet hörn (B), ytor (G) och kanter (P) av en konvex polyeder genom ett enkelt förhållande : C + D = P + 2.

Förhållandet mellan antalet hörn på en vanlig polyeder och antalet kanter på en av dess ytor är lika med förhållandet mellan antalet ytor på samma polyeder och antalet kanter som kommer ut från en av dess hörn. För tetraedern är detta förhållande 4:3, för hexaedern och oktaedern är det 2:1, och för dodekaedern och ikosaedern är det 4:1.

En vanlig polyeder kan beskrivas kombinatoriskt med Schläfli-symbolen { p , q }, där: p är antalet kanter i varje yta; q är antalet kanter som konvergerar vid varje vertex.

Schläfli-symbolerna för vanliga polyedrar ges i följande tabell:

Polyeder	Toppar	revben	Fasett	Schläfli symbol
tetraeder	fyra	6	fyra	{3, 3}
hexaeder (kub)	åtta	12	6	{4, 3}
oktaeder	6	12	åtta	{3, 4}
dodekaeder	tjugo	trettio	12	{5, 3}
icosahedron	12	trettio	tjugo	{3, 5}

En annan kombinatorisk egenskap hos en polyeder, som kan uttryckas i termer av talen p och q , är det totala antalet hörn (B), kanter (P) och ytor (D). Eftersom vilken kant som helst förbinder två hörn och ligger mellan två ytor, gäller följande relationer: $p\Gamma =2{\mbox{P}}=q{\mbox{B}}.$

Från dessa relationer och Euler-formeln kan vi få följande uttryck för V, P och G:

{\mbox{B}}={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2))),\quad {\mbox{P}}={\frac {2pq}{4-( p-2)(q-2))),\quad \Gamma ={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2))).

Geometriska egenskaper

Vinklar

Varje vanlig polyeder har vissa vinklar associerade med sig, vilket kännetecknar dess egenskaper. Den dihedriska vinkeln mellan intilliggande ytor av en vanlig polyeder {p, q} ges av:

$\sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p))).$

Ibland är det bekvämare att använda uttrycket genom tangenten :

\operatörsnamn {tg}\,{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h))),

där tar värdena 4, 6, 6, 10 och 10 för tetraedern, kuben, oktaedern, dodekaedern respektive ikosaedern. $h$

Hörndefekten vid spetsen av en polyeder är skillnaden mellan 2π och summan av vinklarna mellan kanterna på varje yta vid denna vertex. Defekt vid valfri vertex av en vanlig polyeder: $\delta$

\delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \över p}\höger).

Enligt Descartes teorem är det lika med delat med antalet hörn (det vill säga den totala defekten för alla hörn är lika med ). $4\pi$ $4\pi$

Den tredimensionella analogen av en plan vinkel är rymdvinkeln . Den rymda vinkeln Ω vid spetsen av en vanlig polyeder uttrycks i termer av den dihedrala vinkeln mellan intilliggande ytor av denna polyeder med formeln:

\Omega =q\theta -(q-2)\pi .

Den rymda vinkeln som täcks av en yta av en vanlig polyeder, med dess spets i mitten av denna polyeder, är lika med den rymda vinkeln för hela sfären ( steradian) dividerat med antalet ytor. Det är också lika med vinkeldefekten hos polyedern som är dubbel till den givna. $4\pi$

Olika vinklar för vanliga polyedrar anges i följande tabell. Numeriska värden för heldragna vinklar anges i steradianer . Konstanten är det gyllene snittet . $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Polyeder	Dihedral vinkel θ	$\operatörsnamn {tg}{\frac {\theta }{2}}$	Platt vinkel mellan kanter vid spetsen	Hörndefekt (δ)	Vertex rymdvinkel (Ω)		Hel vinkel subtraherad med ett ansikte
tetraeder	70,53°	${1 \över {{\sqrt 2}}}$	60°	$\pi$	$\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)$	$\ungefär 0,551286$	$\pi$
kub	90°	ett	90°	${\pi \över 2}$	${\frac {\pi }{2))$	$\ungefär 1,57080$	${2\pi \över 3}$
oktaeder	109,47°	√2	60°, 90°	${{2\pi } \över 3}$	$4\arcsin \left({1 \over 3}\right)$	$\ungefär 1,35935$	${\pi \över 2}$
dodekaeder	116,57°	$\varphi$	108°	${\pi \över 5}$	$\pi -\operatörsnamn {arctg}\left({\frac {2}{11}}\right)$	$\ungefär 2,96174$	${\pi \över 3}$
icosahedron	138,19°	$\varphi ^{2}$	60°, 108°	${\pi \över 3}$	$2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)$	$\ungefär 2,63455$	${\pi \över 5}$

Radier, ytor och volymer

Tre koncentriska sfärer är associerade med varje vanlig polyeder:

Den omskrivna sfären som går genom polyederns hörn;
Median sfär som berör var och en av dess kanter i mitten;
En inskriven sfär som tangerar var och en av dess ytor i mitten.

Radierna för de omskrivna ( ) och inskrivna ( ) sfärerna ges av formlerna: $R$ $r$

R={a \över 2}\cdot \operatörsnamn {tg}{\frac {\pi }{q))\cdot \operatörsnamn {tg}{\frac {\theta }{2))

r={a \över 2}\cdot \operatörsnamn {ctg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatörsnamn {tg}{\frac {\theta }{2)),

där θ är den tvåsidiga vinkeln mellan intilliggande ytor av polyedern. Radien för mittsfären ges av formeln:

\rho ={\frac {a\cos(\pi /p)}{2\sin(\pi /h))),

där h är värdet som beskrivs ovan vid bestämning av dihedriska vinklar (h = 4, 6, 6, 10 eller 10). Förhållandena mellan de omskrivna radierna och de inskrivna radierna är symmetriska med avseende på p och q:

{R \over r}=\operatörsnamn {tg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatörsnamn {tg}{\frac {\pi }{q}}.

Ytarean S för en vanlig polyeder {p, q} beräknas som arean av en vanlig p-gon multiplicerat med antalet ytor Г:

S=\left({a \over 2}\right)^{2}\Gamma p\,\operatörsnamn {ctg}{\frac {\pi}{p)).

Volymen av en vanlig polyeder beräknas som volymen av en vanlig pyramid multiplicerad med antalet ytor , vars bas är en vanlig p-gon, och höjden är radien för den inskrivna sfären r:

V={1\över 3}rS.

Tabellen nedan innehåller en lista över olika radier, ytareor och volymer av vanliga polyedrar. Kantlängdsvärdet a i tabellen är lika med 2.

Polyeder ( a = 2)	Radie för den inskrivna sfären ( r )	Mediansfärens radie (ρ)	Radie av den omskrivna sfären ( R )	Ytarea ( S )	Volym ( V )
tetraeder	${1 \över {{\sqrt 6}}}$	${1 \över {{\sqrt 2}}}$	${\sqrt {3 \over 2}}$	$4{\sqrt 3}$	${\frac {2{\sqrt 2}}{3}}$
kub	$ett$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {3}}$	$24$	$åtta$
oktaeder	${\sqrt {2 \over 3}}$	$ett$	${\sqrt {2}}$	$8{\sqrt 3}$	${\frac {8{\sqrt 2}}{3}}$
dodekaeder	${\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}$	$\varphi ^{2}$	${\sqrt 3}\,\varphi$	$60{\frac {\varphi }{\xi }}$	$20{\frac {\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}$
icosahedron	${\frac {\varphi ^{2}}{{\sqrt 3}}}$	$\varphi$	$\xi \varphi$	$20{\sqrt 3}$	${\frac {20\varphi ^{2}}{3}}$

Konstanterna φ och ξ ges av uttrycken

\varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5} ={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}={\sqrt {3-\varphi } }.

Bland vanliga polyedrar representerar både dodekaedern och ikosaedern den bästa approximationen till en sfär. Ikosaedern har det största antalet ytor, den största dihedriska vinkeln och är hårdast pressad mot sin inskrivna sfär. Å andra sidan har dodekaedern den minsta vinkeldefekten, den största rymdvinkeln vid spetsen, och fyller sin omskrivna sfär så mycket som möjligt.

I högre dimensioner

Det finns sex vanliga polyedrar (polyhedra) i fyrdimensionellt utrymme :

Femceller	tesserakt	Hexadecimal cell	tjugofyra celler	120 celler	Sexhundra celler

Det finns tre vanliga polyedrar ( polytoper ) i vart och ett av de högre dimensionella utrymmena : $n>4$

n-dimensionell reguljär simplex
n-dimensionell hyperkub
n-dimensionell hyperoktaeder

Se även

Anteckningar

↑ Selivanov D. F. ,. Geometrisk kropp // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
↑ Hermann Weil. "Symmetri". Översättning från engelska av B. V. Biryukov och Yu. A. Danilov, redigerad av B. A. Rosenfeld. Förlaget "Science". Moskva. 1968. s. 101

Länkar

Smirnov E. Yu. Coxeter-grupper och vanliga polyedrar // Sommarskola "Modern Mathematics". — Dubna, 2008.
Weisstein, Eric W. Platonic Solids (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Fans av matematik/geometri . (Engelsk)
Pappersmodeller av vanliga polyedrar . (Engelsk)
Vetenskap/Geometri/Platoniska och Arkimedeiska fasta ämnen . (Engelsk)
Platonska, arkimediska fasta ämnen, prismor, Kepler-Poinsot-fasta ämnen och trunkerade Kepler-Poinsot-fasta ämnen . (Engelsk)
M. Wenninger . polyedra modeller. - Moskva: Mir, 1974. - 236 sid.
Gonchar VV Modeller av polyedrar . - Moskva: Akim, 1997. - 64 sid. — ISBN 5-85399-032-2 .
Gonchar V. V., Gonchar D. R. Modeller av polyedrar . - Rostov-on-Don: Phoenix, 2010. - 143 sid. — ISBN 978-5-222-17061-8 .

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4046302-3

Polyedra

korrekt

Tredimensionell (platoniska fasta ämnen)	vanlig tetraeder Kub Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Femceller tesserakt Hexadecimal cell tjugofyra celler 120 celler Sexhundra celler
Större dimension (anges inom parentes)	Vanlig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexaeder (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvex

Arkimedeiska fasta ämnen

Katalanska kroppar

Prismor
trekantsprisma fyrkantigt prisma Pentagonal prisma Sexkantigt prisma Heptagonal prisma Åttakantigt prisma Niovinklat prisma Dekagonalt prisma Elvavinklat prisma Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

Formler ,
satser ,
teorier

Övrig