Pentagonal hexecontahedron

Den femkantiga hexecontahedronen (från annan grekisk πέντε - "fem", γωνία - "vinkel", ἑξήκοντα - "sextio" och ἕδρα - "ansikte") är en halvregelbunden till dub-catal polyhedron , ( dokatal -polyhedron ) . Består av 60 identiska oregelbundna femhörningar .

Har 92 hörn. Vid 12 hörn (arrangerade på samma sätt som ikonernas hörn ) konvergerar 5 ytor i sina spetsiga vinklar; i 20 hörn (placerade på samma sätt som hörn av dodekaedern ) konvergerar på 3 ytor med de trubbiga vinklar som är längre bort från spetsen; i de återstående 60 hörnen konvergerar två ytor med sina trubbiga vinklar närmast en spetsig, och en med en trubbig vinkel långt från en spetsig.

12 hörn är ordnade på samma sätt som ikonernas hörn
20 hörn är ordnade på samma sätt som hörn på dodekaedern

Den femkantiga hexecontahedronen har 150 kanter - 60 "långa" och 90 "korta".

Till skillnad från de flesta andra katalanska fasta ämnen är den femkantiga hexekontaedern (tillsammans med den femkantiga icositetrahedronen ) kiral och finns i två olika spegelsymmetriska (enantiomorfa) versioner - "höger" och "vänster".

Metriska egenskaper och vinklar

När man bestämmer de metriska egenskaperna hos en femkantig hexekontaeder måste man lösa kubiska ekvationer och använda kubrötter - medan det för akirala katalanska fasta ämnen inte krävs något mer komplicerat än andragradsekvationer och kvadratrötter . Därför tillåter den femkantiga hexekontaedern, till skillnad från de flesta andra katalanska fasta ämnen, inte en euklidisk konstruktion . Detsamma gäller för den femkantiga icositetrahedronen, såväl som för dess dubbla arkimedeiska fasta ämnen.

I formlerna nedan är konstanten den enda reella roten [1] av ekvationen $\xi$

8x^{3}+8x^{2}=\Phi ^{2},

där är förhållandet mellan det gyllene snittet ; denna rot är $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

\xi ={\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9+{\sqrt {81\Phi -15))) ))+{\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9-{\sqrt {81\Phi -15))))))-4\right)\approx 0{,}4715756.

Om de tre "korta" sidorna av ett ansikte har längd , så har de två "långa" sidorna längd $b$

a={\frac {1+2\xi }{2(1-2\xi ^{2)))))b\approx 1{,}7498526b.

Ytarean och volymen av polyedern uttrycks sedan som

S={\frac {30(2+3\xi){\sqrt {1-\xi ^{2)))){1-2\xi ^{2))}\;b^{2 }\approx 162{,}6989642b^{2},

V={\frac {5(1+\xi )(2+3\xi )}{(1-2\xi ^{2}){\sqrt {1-2\xi ))))\ ;b^{3}\approx 189{,}7898521b^{3}.

Radien för den inskrivna sfären (som vidrör alla ytor på polyedern i deras centrum ) blir då lika med

r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1+\xi }{(1-\xi )(1-2\xi )))}\;b\approx 3 {,}4995278b,

radie av en halvinskriven sfär (vidrör alla kanter) -

\rho ={\sqrt {\frac {1+\xi }{2(1-2\xi )}}}\;b\approx 3{,}5976248b,

radie av cirkeln inskriven i ansiktet —

r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2))}={\frac {1}{2)){\sqrt {\frac { 1+\xi }{1-\xi }}}\;b\approx 0{,}8343915b,

ansikte diagonalt parallellt med en av de "korta" sidorna -

e=(1+2\xi )b\approx 1{,}9431513b.

Det är omöjligt att beskriva en sfär runt en femkantig hexecontahedron så att den passerar genom alla hörn.

Alla fyra trubbiga vinklar på ansiktet är lika , den spetsiga vinkeln på ansiktet (mellan de "långa" sidorna) är lika med $\arccos \,(-\xi )\approx 118{,}14^{\circ };$ $\arccos \,(8\xi ^{2}-8\xi ^{4}-1)\approx 67{,}45^{\circ }.$

Den dihedriska vinkeln för varje kant är densamma och lika med $\arccos \,{\frac {\xi }{\xi -1))\approx 153{,}18^{\circ }.$

Anteckningar

↑ Se rötterna till denna ekvation .

Länkar

Weisstein, Eric W. Pentagonal hexecontahedron vid Wolfram MathWorld .

Polyedra

Korrekt

Tredimensionell (platoniska fasta ämnen)	vanlig tetraeder Kub Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Femceller tesserakt Hexadecimal cell tjugofyra celler 120 celler Sexhundra celler
Större dimension (anges inom parentes)	Vanlig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexaeder (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvex

Arkimedeiska fasta ämnen

Katalanska kroppar

Prismor
trekantsprisma fyrkantigt prisma Pentagonal prisma Sexkantigt prisma Heptagonal prisma Åttakantigt prisma Niovinklat prisma Dekagonalt prisma Elvavinklat prisma Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

Formler ,
satser ,
teorier

Övrig