Femdimensionell polyeder

I femdimensionell geometri är en femdimensionell polytop eller 5-polytop en polytop i ett 5-dimensionellt utrymme som begränsas av 4-dimensionella ytor. Dessutom tillhör varje 3-dimensionell polyedrisk cell exakt två 4-dimensionella ytor.

Definition

En 5-polytop är en sluten 5-dimensionell figur med hörn , kanter , ytor , celler och 4-sidor . En vertex är en punkt där fem eller fler kanter möts. En kant är ett segment som tillhör fyra eller flera ytor. Ett ansikte är en polygon som tillhör tre eller flera celler. En cell är en (3-dimensionell) polytop , och en 4-face är en 4-dimensionell polytop . Dessutom måste följande krav uppfyllas:

1. Varje cell måste angränsa till exakt två 4-dimensionella ytor.
2. Intilliggande 4-dimensionella ytor ligger inte på samma 4-dimensionella hyperplan .
3. Figuren är inte en kombination av andra figurer som uppfyller kraven.

Egenskaper

Topologin för en given 5-dimensionell polyeder definieras av dess Betti-tal och torsionskoefficienter [1] .

Betydelsen av Euler-karaktäristiken , som används för att karakterisera polytoper, generaliserar inte korrekt till högre dimensioner, oavsett den underliggande topologin. Denna inkonsekvens i Euler-egenskapen för att tillförlitligt skilja mellan olika topologier i höga dimensioner leder till uppkomsten av mer förfinade Betti-tal [1] .

På liknande sätt är begreppet orienterbarhet av en polyeder otillräcklig för att karakterisera vridningen av ytorna på toroidformade polyedrar, vilket leder till användningen av torsionskoefficienter [1] .

Klassificering

5-dimensionella polyedrar kan klassificeras efter egenskaper som " konvexitet " och " symmetri ".

• En 5-polytop är konvex om dess gränser (inklusive celler, (3-dimensionella) ytor och kanter) inte skär sig själva (i princip kan polytopens ytor passera inuti skalet), och linjesegmenten som förbinder två punkter på 5-polytopen är helt innesluten inuti den. Annars anses polyedern vara icke- konvex . Självskärande femdimensionella polyedrar är också kända som stjärnpolyedrar , analogt med de stjärnliknande formerna av icke-konvexa Kepler-Poinsot-polyedrar .

• likformiga 5-polytoper har en symmetrigrupp för vilken alla hörn är likvärdiga, och 4-dimensionella ytor är likformiga 4-polytoper . De 4-dimensionella ytorna på en enhetlig polyeder måste vara regelbundna . En komplett uppsättning av homogena femdimensionella polyedrar har inte etablerats.

• en halvregelbunden 5-polytop innehåller två eller flera typer av vanliga 4-dimensionella ytor. Det finns bara en sådan figur, som har namnet semipenteract .

• En vanlig 5-polytop har alla 4-dimensionella ytor identiska. Alla vanliga 5-polytoper är konvexa.

• en prismatisk 5-polytop är en direkt produkt av lägre dimensionella polyedrar. En prismatisk 5-dimensionell polyeder är homogen om dess faktorer i den direkta produkten är homogena. Hyperkuben är prismatisk (produkten av en kvadrat och en kub ), men behandlas separat eftersom den har en högre symmetri än de symmetrier som ärvts från faktorerna.

• En 4-dimensionell plattsättning är en nedbrytning av ett 4-dimensionellt euklidiskt utrymme till ett regelbundet gitter av polyedrar. Strängt taget är plattsättningar inte polyedrar eftersom det inte finns några begränsningar, men vi inkluderar dem här för fullständighetens skull eftersom de liknar polyedrar på många sätt. En enhetlig 4-dimensionell plattsättning är en plattsättning vars hörn bildar en kristallografisk grupp och vars ytor är enhetliga 4-dimensionella polyedrar.

Vanliga 5-polyedrar

Vanliga 5-dimensionella polyedrar kan representeras av Schläfli-symbolen {p,q,r,s}.

Det finns exakt tre sådana konvexa vanliga 5-polytoper:

1. {3,3,3,3} - Hexatheron (5-dimensionell simplex)
2. {4,3,3,3} - Penteract (5d-kub)
3. {3,3,3,4} — Femdimensionell ortoplex

För 3 konvexa vanliga 5-polytoper och en semi-regelbunden är elementen:

namn	Symbol(er) för Schläfli	Coxeter diagram(n)	Toppar	revben	ansikten	Celler	4-dimensionella ansikten	Symmetri ( beställ )
Hexateron	{3,3,3,3}		6	femton	tjugo	femton	6	A 5 , (120)
Penteract	{4,3,3,3}		32	80	80	40	tio	BC5 , (3820 )
5-ortoplex	{3,3,3,4} {3,3,3 1,1 }		tio	40	80	80	32	BC 5 , (3840) 2×D 5

Uniforma 5-dimensionella polyedrar

För tre halvregelbundna 5-polyedrar är elementen:

namn	Symbol(er) för Schläfli	Coxeter diagram(n)	Toppar	revben	Fasett	Celler	4-ansikten	Symmetri ( beställ )
Utökad 5-simplex	t 0,4 {3,3,3,3}		trettio	120	210	180	162	2×A 5 , (240)
5-semicube	{3,3 2,1 } h{4,3,3,3}		16	80	160	120	26	D5 , ( 1920) ½BC5
Rectified 5-ortoplex	t 1 {3,3,3,4} t 1 {3,3,3 1,1 }		40	240	400	240	42	BC 5 , (3840) 2×D 5

Den utökade 5-dimensionella simplexen är vertexfiguren för de enhetliga femdimensionella simplex-bikakorna ,. Hönsfiguren av femdimensionella bikakor av halvkuber ,, är en rätad 5-ortoplex , och ytorna är 5-ortoplexer och 5-semikuber .

Pyramider

Pyramidala 5-polyedrar ( 5-pyramider ) kan bildas genom att använda en 4-dimensionell polyedrisk bas i 4-dimensionell hyperrymd kopplad till en punkt som inte ligger på hyperplanet. Den 5-dimensionella simplexen är det enklaste exemplet med en 4-dimensionell simplex i basen.

Se även

• Lista över vanliga 5-dimensionella polyedrar

Anteckningar

1. ↑ 1 2 3 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy , Princeton, 2008.

• T. Gosset On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions // Messenger of Mathematics . — Macmillan, 1900.
• A. Boole Stott Geometrisk deduktion av halvregelbundna från vanliga polytoper och rymdfyllningar // Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam. - Amsterdam, 1910. -T. Eerste Sectie 11,nr. 1.
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, London, 1954
  • HSM Coxeter . Vanliga polytoper . - 3:a (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• HSM Coxeter . Kalejdoskop: Utvalda skrifter av HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Papper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (Papper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Papper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Norman Johnson . Teorin om enhetliga polytoper och honungskakor. – Ph.D. Avhandling. — University of Toronto, 1966.
• Richard Klitzing, 5D, enhetliga polytoper (polytera) ]

Länkar

• Polytopes of Various Dimensions , Jonathan Bowers
• Uniform Polytera , Jonathan Bowers
• George Olshevsky Polytope på ordlista för hyperrymden

• Flerdimensionell ordlista , Garrett Jones