Tetraeder

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 december 2019; kontroller kräver 36 redigeringar .

Tetrahedron ( forntida grekiska τετρά-Δρον " tetrahedron " [1] ← τέσσᾰρες / τέσσερες / τέτᾰρες / τέττορες / τέέοοοο " fyra" + ἕΔρ "säte, base", basen ", den enkelaste triangle av vilken are .

En tetraeder är en triangulär pyramid när någon av ytorna tas som bas. En tetraeder har 4 ytor, 4 hörn och 6 kanter. En tetraeder där alla ytor är liksidiga trianglar kallas regelbunden. Den regelbundna tetraedern är en av de fem regelbundna polyedrarna .

Egenskaper

Parallella plan som passerar genom tre par korsande kanter av tetraedern bestämmer parallellepipeden som beskrivs nära tetraedern .

Planet som passerar genom mittpunkterna av två korsande kanter på tetraedern delar den i två delar lika i volym [3] :216-217 .

En tetraeders bimedianer skär varandra i samma punkt som medianerna för en tetraeder.
- Bimedianer av en tetraeder är segment som förbinder mittpunkterna på dess korsande kanter (som inte har gemensamma hörn).

Sfärernas centrum som passerar genom tre hörn och ett incenter ligger på en sfär vars centrum sammanfaller med mitten av den omskrivna sfären.
- Detta påstående gäller även för externa centra.

Plan som passerar genom mitten av en kant och är vinkelräta mot den motsatta kanten skär varandra i en punkt (ortocenter).
- Ortocentret i en simplex definieras som skärningspunkten mellan hyperplan som är vinkelräta mot en kant och passerar genom tyngdpunkten för det motsatta elementet.

Sfärens centrum (F), som passerar genom tetraederns tyngdpunkter, tetraederns tyngdpunkt (M), mitten av den omskrivna sfären (R) och ortocentrum (H) ligger på samma räta linje. Samtidigt . $RM=MH=3\cdot MF$

Centrum för sfären (S) inskriven i den komplementära tetraedern, centrum av sfären (N) inskriven i den antikomplementära tetraedern, tyngdpunkten för tetraedern (M) och centrum för den inskrivna sfären (I) ligger på samma raka linje.

Låt punkten G 1 dela segmentet som förbinder ortocentrum (H) och vertex 1 i förhållandet 1:2. Låt oss släppa vinkelrät från punkten G 1 till ytan av motsatt vertex 1. Vinkeln skär ytan i punkten W 1 . Punkterna G 1 och W 1 ligger på en sfär (Feuerbach-sfären), som passerar genom tetraederns tyngdpunkter.

En sektion av ett plan som går genom mittpunkterna på de fyra kanterna på en tetraeder är ett parallellogram.

Typer av tetraedrar

Isoedrisk tetraeder

Alla dess ansikten är trianglar lika med varandra. Utvecklingen av en isoedrisk tetraeder är en triangel delad med tre medianlinjer i fyra lika trianglar . I en isoedrisk tetraeder ligger höjdernas baser, höjdernas mittpunkter och skärningspunkterna för höjderna på ytorna på ytan av en sfär (sfären med 12 punkter) (En analog till Eulercirkeln för en triangel ).

Egenskaper hos en isoedrisk tetraeder:

Alla dess ansikten är lika (kongruenta).
Korsande kanter är lika i par.
Triedriska vinklar är lika.
Motsatta dihedriska vinklar är lika.
Två plana vinklar baserade på samma kant är lika.
Summan av planvinklarna vid varje vertex är 180°.
Utvecklingen av en tetraeder är en triangel eller ett parallellogram .
Den beskrivna parallellepipeden är rektangulär.
Tetraedern har tre symmetriaxlar.
Vanliga vinkelräta kanter är parvis vinkelräta.
Medianlinjerna är parvis vinkelräta.
Ytornas omkrets är lika.
Ytornas ytor är lika.
Tetraederns höjder är lika.
Segmenten som förbinder hörnen med tyngdpunkterna på motsatta ytor är lika.
Radierna för cirklarna som beskrivs nära ytorna är lika.
Tyngdpunkten för tetraedern sammanfaller med mitten av den omskrivna sfären.
Tyngdpunkten sammanfaller med mitten av den inskrivna sfären.
Mitten av den omskrivna sfären sammanfaller med mitten av den inskrivna.
Den inskrivna sfären vidrör ansiktena i mitten av cirklar som är avgränsade kring dessa ansikten.
Summan av de yttre enhetsnormalerna (enhetsvektorer vinkelräta mot ytorna) är noll.
Summan av alla dihedriska vinklar är noll.
De utskrivna sfärernas centrum ligger på den omskrivna sfären.

Ortocentrisk tetraeder

Alla höjder som sjunkit från hörn till motsatta ytor skär varandra vid en punkt.

Tetraederns höjder skär varandra vid en punkt.
Baserna för tetraederns höjder är ytornas ortocenter.
Varje två motsatta kanter av en tetraeder är vinkelräta.
Summorna av kvadraterna på motsatta kanter av en tetraeder är lika.
Segmenten som förbinder mittpunkterna på motsatta kanter av tetraedern är lika.
Produkterna av cosinuserna för motsatta dihedriska vinklar är lika.
Summan av kvadraterna av ytornas ytor är fyra gånger mindre än summan av kvadraterna av produkterna av motsatta kanter.
En ortocentrisk cirkeltetraeder har 9 punkter ( Eulercirklar ) av varje yta som tillhör samma sfär (24-punktssfären).
I en ortocentrisk tetraeder , tyngdpunkterna och skärningspunkterna för höjderna på ytorna, samt de punkter som delar segmenten av varje höjd av tetraedern från spetsen till skärningspunkten för höjderna i ett förhållande av 2 :1, ligga på samma sfär (sfär med 12 punkter).

Rektangulär tetraeder

Alla kanter som gränsar till en av hörnen är vinkelräta mot varandra. En rektangulär tetraeder erhålls genom att skära av en tetraeder med ett plan från en rektangulär parallellepiped .

Skelett tetraeder

Det är en tetraeder som uppfyller något av följande villkor [4] :

det finns en sfär som rör vid alla kanter,
summan av längderna av de korsande kanterna är lika,
summan av dihedriska vinklar vid motsatta kanter är lika,
cirklar inskrivna i ansikten berör i par,
alla fyrhörningar som härrör från utvecklingen av en tetraeder är avgränsade,
vinkelrätheterna som rests mot ansiktena från mitten av cirklarna inskrivna i dem skär varandra vid en punkt.

En motsvarande tetraeder

Denna typ har samma bihöjder .

Egenskaper hos en motsvarande tetraeder:

Bi-höjder är lika. En tetraeders bihöjder är vanliga vinkelräta mot två av dess skärande kanter (kanter som inte har gemensamma hörn).
Projektionen av en tetraeder på ett plan vinkelrätt mot någon bimedian är en romb . Bimedianer av en tetraeder är segment som förbinder mittpunkterna på dess korsande kanter (som inte har gemensamma hörn).
Ytorna på den omskrivna parallellepipeden är lika.
Följande relationer gäller: , där och , och , och är längden på motsatta kanter. $4a^{2}{a_{1}}^{2}-(b^{2}+{b_{1}}^{2}-c^{2}-{c_{1}}^{2} )^{2}=4b^{2}{b_{1}}^{2}-(c^{2}+{c_{1}}^{2}-a^{2}-{a_{1 }}^{2})^{2}=4c^{2}{c_{1}}^{2}-(a^{2}+{a_{1}}^{2}-b^{2 }-(b_{1})^{2})^{2}$ $a$ $a_{1}$ $b$ $b_{1}$ $c$ $c_{1}$
För varje par av motsatta kanter av tetraedern är planen som dras genom en av dem och mittpunkten av den andra vinkelräta.
En sfär kan inskrivas i den beskrivna parallellepipeden av en motsvarande tetraeder.

Incentrisk tetraeder

I denna typ skär segmenten som förbinder tetraederns hörn med mitten av cirklar inskrivna i motsatta ytor vid en punkt. Egenskaper hos en incentrisk tetraeder:

Segmenten som förbinder tetraederytornas tyngdpunkter med motsatta hörn (tetraedermedianer) skär alltid varandra i en punkt. Denna punkt är tetraederns tyngdpunkt.
Anmärkning . Om vi i det sista tillståndet byter ut ansiktens tyngdpunkter med ansiktens ortocenter , blir det en ny definition av den ortocentriska tetraedern . Om vi ersätter dem med mitten av cirklar inskrivna i ytorna, ibland kallade incentra , får vi definitionen av en ny klass av tetraedrisk -incentriska .
Segmenten som förbinder tetraederns hörn med cirklarnas mittpunkter inskrivna i motsatta ytor skär varandra i en punkt.
Bisektrarna för vinklarna för två ytor som dras till en gemensam kant av dessa ytor har en gemensam bas.
Produkterna av längderna av motsatta kanter är lika.
Triangeln som bildas av de andra skärningspunkterna mellan tre kanter som utgår från en vertex med vilken sfär som helst som passerar genom de tre ändarna av dessa kanter är liksidig.

Vanlig tetraeder

Detta är en isoedrisk tetraeder, där alla ansikten är regelbundna trianglar . Det är en av de fem platoniska soliderna .

Egenskaper hos en vanlig tetraeder:

alla kanter på en tetraeder är lika,
Alla ytor på en tetraeder är lika
omkretsen och ytorna på alla ytor är lika.
En vanlig tetraeder är samtidigt ortocentrisk, trådram, isoedrisk, incentrisk och proportionell.
En tetraeder är regelbunden om den tillhör två typer av tetraedrar som listas: ortocentrisk, wireframe, incentrisk, proportionell, isoedrisk .
En tetraeder är regelbunden om den är isoedrisk och tillhör en av följande typer av tetraedrar: ortocentrisk, wireframe, incentrisk, proportionell .
En oktaeder kan inskrivas i en vanlig tetraeder, dessutom kommer fyra (av åtta) ytor på oktaedern att vara i linje med fyra ytor på tetraedern, alla sex hörn på oktaedern kommer att vara i linje med mitten av sex kanter på tetraedern .
En vanlig tetraeder består av en inskriven oktaeder (i mitten) och fyra tetraeder (längs hörnen), och kanterna på dessa tetraedrar och oktaedern är hälften så stora som kanterna på den vanliga tetraedern.
En vanlig tetraeder kan inskrivas i en kub på två sätt, dessutom kommer tetraederns fyra hörn att vara i linje med kubens fyra hörn.
En vanlig tetraeder kan inskrivas i en dodekaeder, dessutom kommer fyra hörn av tetraedern att vara i linje med fyra hörn av dodekaedern.
Korsande kanter på en vanlig tetraeder är ömsesidigt vinkelräta.

Volymen av en tetraeder

Volymen av en tetraeder (med hänsyn till tecknet), vars hörn är i punkter, är lika med $\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),$ $\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),$ $\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),$ $\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4}),$

V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}x_{ 2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}- z_{1}\\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{vmatrix}},

eller

V={\frac {1}{3}}\ SH,

var är arean av något ansikte, och är höjden släppt på detta ansikte. $S$ $H$

Volymen av en tetraeder i termer av kantlängder uttrycks med hjälp av Cayley-Menger-determinanten :

288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{ 2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14} ^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.

Denna formel har en platt analog för arean av en triangel i form av en variant av Herons formel genom en liknande determinant.
Volymen av tetraedern genom längderna av två motsatta kanter a och b , som korsande linjer, som är på avstånd h från varandra och bildar en vinkel med varandra , hittas av formeln: $\phi$

$V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi .$

Volymen av en tetraeder genom längderna av dess tre kanter a , b och c , som kommer ut från en vertex och bildar parvisa respektive plana vinklar , hittas av formeln [5] $\alfa ,\beta ,\gamma$

V={\frac {1}{6}}\ abc{\sqrt {D)),

var

D = | ett cos ⁡ γ cos ⁡ β cos ⁡ γ ett cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ α ett | . {\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix)) .}

D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix)) .

En analog för planet för den sista formeln är formeln för arean av en triangel i termer av längden på dess två sidor a och b , som kommer ut från en vertex och bildar en vinkel mellan dem : $\gamma$

S={\frac {1}{2}}\ab{\sqrt {D}},

var $D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.$

Notera

Det finns en analog till Herons formel för volymen av en tetraeder [6]

Formler för tetraedern i kartesiska koordinater i rymden

Beteckningar:

$\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),$ $\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),$ $\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),$ $\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})$ är koordinaterna för tetraederns hörn.

Volymen av tetraedern (med hänsyn till tecknet):

$V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}$ .

Tyngdpunktskoordinater (skärning av medianer): $\mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})$

$x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};$ $y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}});$ $z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.$

Koordinater för mitten av den inskrivna sfären: $\mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})$

$x_{r}={\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $z_{r}={\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},$

var är arean av ansiktet mittemot den första vertexen, är arean av ansiktet mittemot den andra vertexen, och så vidare. $S_{1}$ ${\displaystyle S_{2))$

Följaktligen är ekvationen för den inskrivna sfären:

$(x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4)){S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_ {3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\ frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_ {3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2} ,$

Ekvationen för den beskrivna sfären mittemot den första vertexen:

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+ S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

Ekvationen för en utskriven sfär mittemot de första och andra hörnen (antalet sådana sfärer kan variera från noll till tre):

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}- S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

Ekvationen för den omskrivna sfären:

${\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1 }^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2} &y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1 \\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.$

Tetraederformler i barycentriska koordinater

Beteckningar:

$\mathbf {J} (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})=\alpha _{1}\mathbf {J_{1 }} +\alpha _{2}\mathbf {J_{2}} +\alpha _{3}\mathbf {J_{3}} +\alpha _{4}\mathbf {J_{4}} ,$ är barycentriska koordinater.

Volym av tetraedern (med hänsyn till tecknet): Låt vara koordinaterna för tetraederns hörn. $\mathbf {J} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\mathbf {J} _{2}(x_{2},y_ {2},z_{2},t_{2}),\mathbf {J} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3},t_{3}),\mathbf {J } _{4}(x_{4},y_{4},z_{4},t_{4}).$

Sedan

$V={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\ x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&t_{4}\\\end{vmatrix}}{(x_{1}+y_ {1}+z_{1}+t_{1})(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2})(x_{3}+y_{3}+z_{3} +t_{3})(x_{4}+y_{4}+z_{4}+t_{4})}}V',$ var är volymen av den grundläggande tetraedern. $V'$

Tyngdpunktskoordinater (skärning av medianer): $\mathbf {J} _{T}(1,1,1,1).$

Koordinater för mitten av den inskrivna sfären: $\mathbf {J} _{r}(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}).$

Koordinater för mitten av den beskrivna sfären:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf { J_{4}} \\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\ alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{ 2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4, 2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}.$

Avstånd mellan punkter : $\mathbf {J} _{A}(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}),\mathbf {J} _{B}(B_{1},B_ {2},B_{3},B_{4})$

Låt och så vidare. $C_{1}={\frac {A_{1}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{1}}{ B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};C_{2}={\frac {A_{2}}{A_{1}+A_{2}+A_{3 }+A_{4}}}-{\frac {B_{2}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}}$

Då är avståndet mellan två punkter: $d^{2}=-(C_{1}C_{2}\alpha _{1,2}^{2}+C_{1}C_{3}\alpha _{1,3}^{ 2}+C_{1}C_{4}\alpha _{1,4}^{2}+C_{2}C_{3}\alpha _{2,3}^{2}+C_{2}C_ {4}\alpha _{2,4}^{2}+C_{3}C_{4}\alpha _{3,4}^{2}).$

Jämförelse av triangel- och tetraederformler

Area (Volym)
$S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2 }\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}$	$V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1} ^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{ 4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\ \1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}} }$ , var är avståndet mellan hörn 1 och 2 $\alpha _{1,2}$
$S={\frac {1}{2}}ah_{a}$	$V={\frac {1}{3}}S_{1}H_{1}$
$S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$	$V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2} )$ , var är vinkeln mellan ytorna 1 och 2, och är ytornas ytor mittemot hörn 1 och 2 $\phi _{1,2}$ ${\displaystyle S_{1))$ ${\displaystyle S_{2))$
Längd (area) av bisektrisen
$l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$	$L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+ S_{2}}}$
Medianlängd
$m_{c}={\frac {{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2)))){2))$	$m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4 }^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{ 3}}$
Radie av en inskriven cirkel (sfär)
$r={\frac {2S}{a+b+c))$	${\displaystyle r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4))))$
Radie av den omskrivna cirkeln (sfär)
$R={\frac {abc}{4S}}$	$R={\frac {S_{T}}{6V}}$ , där är arean av en triangel med sidor $S_{T}$ $\alpha _{1,2}\alpha _{3,4},\alpha _{1,3}\alpha _{2,4},\alpha _{1,4}\alpha _{2 ,3}$
Cosinussats
$\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$	$\cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}$ , där är vinkeln mellan ytorna 1 och 2, och är ytornas ytor mittemot hörn 1 och 2, är det algebraiska komplementet till matriselementet $\phi _{1,2}$ ${\displaystyle S_{1))$ ${\displaystyle S_{2))$ $A_{1,2}$ ${\displaystyle \alpha _{2,1}^{2))$ ${\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2 }\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3 ,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\ alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{pmatrix}}$
Sinussats
${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$	${\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}} {\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}$ , var är ytornas ytor mittemot hörn 1, 2, 3, 4, var är de tvåsidiga vinklarna på vertexen. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $\Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\\-\cos(A)&1&-\cos(C)\\-\cos( B)&-\cos(C)&1\\\end{vmatrix}}}$ $A,B,C$
Satsen om summan av vinklarna i en triangel (förhållandet mellan de tvåsidiga vinklarna i en tetraeder)
$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$	${\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \ left(\phi _{4,1}\right)\\-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&1&-\cos \left(\phi _{3,2}\right) &-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3, 2}\right)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)\\-\cos \left(\phi _{4,1}\right)&-\cos \left(\ phi _{4,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\\\end{vmatrix}}=0$ , var är vinkeln mellan ytorna 1 och 2 $\phi _{1,2}$
Avstånd mellan mitten av de inskrivna och beskrivna cirklarna (sfärerna)
$R^{2}-d^{2}=2Rr$	$R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha _{2,3}^{ 2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}$ , var är ytornas ytor mittemot hörnen 1, 2, 3, 4. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ Ett annat uttryck för uttrycket: var är avståndet mellan mitten av den omskrivna sfären och sfärens centrum, som går genom tre hörn och ett incenter. $R^{2}-d^{2}=2rT,$ $T$

Tetraeder i icke-euklidiska utrymmen

Volym av icke-euklidiska tetraedrar

Det finns många formler för att hitta volymen av icke-euklidiska tetraedrar. Till exempel Derevnin-Mednykh-formeln [7] för den hyperboliska tetraedern och J. Murakami-formeln [8] för den sfäriska tetraedern. Volymen av en tetraeder i det sfäriska rymden och i Lobachevsky-rymden uttrycks som regel inte genom elementära funktioner .

Förhållandet mellan de tvåsidiga vinklarna för en tetraeder

$\operatorname {det} \Psi >0$ för en sfärisk tetraeder.

$\operatorname {det} \Psi <0$ för en hyperbolisk tetraeder.

Var är grammatrisen för de dihedriska vinklarna för den sfäriska och hyperboliska tetraedern. $\Psi ={\begin{pmatrix}1&-\cos(A_{2,1})&-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{4,1})\\ -\cos(A_{2,1})&1&-\cos(A_{3,2})&-\cos(A_{4,2})\\-\cos(A_{3,1})&- \cos(A_{3,2})&1&-\cos(A_{4,3})\\-\cos(A_{4,1})&-\cos(A_{4,2})&-\ cos(A_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$A_{{i,j}}$ är vinkeln mellan ytorna mitt emot i och j till spetsen.

Cosinussatsen

$\cos(A_{i,j})=-{\frac {\Phi _{i,j)){\sqrt {\Phi _{i,i}\Phi _{j,j))} }$ — för sfärisk och hyperbolisk tetraeder.

$\cos(\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)){\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j)) }}$ för en sfärisk tetraeder.

$\operatorname {ch} (\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)){\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j, j}}}}$ för en hyperbolisk tetraeder.

Var är grammatrisen för de reducerade kanterna på den sfäriska tetraedern. $\Phi ={\begin{pmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1} )\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})\\\cos(\alpha _{ 3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$\Phi ={\begin{pmatrix}1&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{2,1})&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{3,1})&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{4,1})\\\operatörsnamn {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{3,2})&\operatörsnamn {ch} ( \alpha _{4,2})\\\operatörsnamn {ch} (\alpha _{3,1})&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatörsnamn {ch} (\ alfa _{4,3})\\\operatörsnamn {ch} (\alpha _{4,1})&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{4,2})&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$ är grammatrisen för de reducerade kanterna på den hyperboliska tetraedern.

${\displaystyle \alpha _{i,j))$ — minskat avstånd mellan i och j hörn.

${\displaystyle \Psi _{i,j))$ är det algebraiska komplementet till matrisen . $\psi$

Sinussatsen

${\frac {\Phi _{1,1}}{\Psi _{1,1}}}={\frac {\Phi _{2,2}}{\Psi _{2,2} ))={\frac {\Phi _{3,3}}{\Psi _{3,3}}}={\frac {\Phi _{4,4}}{\Psi _{4,4} }}$ — för sfärisk och hyperbolisk tetraeder.

Radie för den omskrivna sfären

${\begin{vmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})&1\ \\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})&1\\\cos(\alpha _{3 ,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alfa _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\cos ^{2}(R)))\\\end{vmatrix} }=0$ för en sfärisk tetraeder.

Ett annat sätt att skriva uttrycket: , var är normalerna för tetraederytorna. ${\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {n_{1}}}+{\ sqrt {\Phi _{2,2))}{\overrightarrow {n_{2))}+{\sqrt {\Phi _{3,3))}{\overrightarrow {n_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {n_{4))}|}{\sqrt {\operatörsnamn {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}},{\overrightarrow {n_{3}}},{\overrightarrow {n_{4}}}$

Eller med koordinaterna för tetraederns hörn: . ${\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\begin{vmatrix}0&{\overrightarrow {i_{1}}}&{\overrightarrow {i_{2}} }&{\overrightarrow {i_{3}}}&{\overrightarrow {i_{4}}}\\1&X_{1}&Y_{1}&Z_{1}&T_{1}\\1&X_{2}&Y_{2 }&Z_{2}&T_{2}\\1&X_{3}&Y_{3}&Z_{3}&T_{3}\\1&X_{4}&Y_{4}&Z_{4}&T_{4}\\\end{ vmatrix}}|}{\sqrt {\operatörsnamn {det} \Phi }}}$

${\begin{vmatrix}1&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{2,1})&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{3,1})&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{4,1})&1\\\operatörsnamn {ch} (\alpha _{2,1})&1&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{3,2})&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{4,2})&1\\\operatörsnamn {ch} (\alpha _{3,1})&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{3,2})&1&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\operatörsnamn {ch} (\alpha _{4,1})&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{4,2})&\operatörsnamn {ch} (\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\operatörsnamn {ch} ^{2}(R)))\\\end{vmatrix}}=0$ - för hyperbolisk tetraeder

Radie av en inskriven sfär

${\frac {1}{\sin ^{2}(r)))={\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3, 3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\cos(\alpha _{1,2})+2{ \sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\cos(\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _ {4,4}}}\cos(\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{ 2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\cos(\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _ {3,3}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{3,4})}{\operatörsnamn {det} \Phi }}$ för en sfärisk tetraeder.

Ett annat sätt att skriva uttrycket är , där är enhetsradievektorerna för tetraederns hörn. ${\displaystyle {\frac {1}{\sin(r)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {r_{1}}}+{\ sqrt {\Phi _{2,2))}{\överhögerpil {r_{2))}+{\sqrt {\Phi _{3,3))}{\överhögerpil {r_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {r_{4))}|}{\sqrt {\operatörsnamn {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{3}}},{\overrightarrow {r_{4}}}$

${\frac {1}{\operatörsnamn {sh} ^{2}(r)))=-{\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\operatörsnamn {ch} (\alpha _{1 ,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\operatörsnamn {ch} (\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\ Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\operatörsnamn {ch} (\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{ 3,3))}\operatörsnamn {ch} (\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\operatörsnamn {ch} (\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4))}\operatörsnamn {ch} (\alpha _{3,4})} {\operatörsnamn {det} \Phi }}$ för en hyperbolisk tetraeder.

Avståndet mellan mitten av de inskrivna och omskrivna sfärerna

${\frac {\cos(d)}{\sin(r)\cos(R)))={\frac ({\sqrt {\Phi _{1,1))}+{\sqrt { \Phi _{2,2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}}{\sqrt {\operatörsnamn {det} \Phi }}}$ för en sfärisk tetraeder.

Tetraederformler i barycentriska koordinater

Koordinater för mitten av den inskrivna sfären:

$\mathbf {J} _{r}({\sqrt {\Phi _{1,1))},{\sqrt {\Phi _{2,2))},{\sqrt {\Phi _ {3,3}}},{\sqrt {\Phi _{4,4}}}).$ för en sfärisk tetraeder.

Koordinater för mitten av den beskrivna sfären:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf { J_{4}} \\1&1&\cos(\alpha _{1,2})&\cos(\alpha _{1,3})&\cos(\alpha _{1,4})\\1&\ cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{2,3})&\cos(\alpha _{2,4})\\1&\cos(\alpha _{3,1 })&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{3,4})\\1&\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _ {4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{vmatrix}}.$ för en sfärisk tetraeder.

Tetraedrar i mikrokosmos

En vanlig tetraeder bildas under sp 3 -hybridisering av atomorbitaler (deras axlar är riktade mot hörnen på en vanlig tetraeder, och kärnan i den centrala atomen är belägen i mitten av den beskrivna sfären av den reguljära tetraedern), därför är många molekyler i vilka sådan hybridisering av den centrala atomen äger rum har formen av denna polyeder.
CH 4 metanmolekyl . _
Ammoniumjon NH4 + . _ _
Sulfatjon SO 4 2- , fosfatjon PO 4 3- , perkloratjon ClO 4 - och många andra joner.
Diamant C är en tetraeder med en kant som är lika med 2,5220 ångström .
Fluorit CaF 2 , en tetraeder med en kant lika med 3,8626 ångström .
Sphalerit , ZnS, en tetraeder med en kant lika med 3,823 ångström .
Zinkoxid , ZnO.
Komplexa joner [BF4 ] - , [ZnCl4 ] 2- , [Hg(CN) 4 ] 2- , [Zn(NH3) 4 ] 2+ .
Silikater , vars strukturer är baserade på kisel-syretetraedern [SiO 4 ] 4- .

Tetraedrar i naturen

Vissa frukter, som är fyra av dem på ena sidan, är belägna på hörnen av en tetraeder nära regelbunden. Denna design beror på det faktum att mitten av fyra identiska bollar som berör varandra är belägna vid hörn av en vanlig tetraeder. Därför bildar bollliknande frukter ett liknande ömsesidigt arrangemang. Till exempel kan valnötter ordnas på detta sätt .

Tetraedrar i teknik

Tetraedern bildar en stel, statiskt bestämd struktur. En tetraeder gjord av stavar används ofta som bas för rumsliga bärande strukturer av spännvidder av byggnader, tak, balkar, takstolar. Stavarna utsätts endast för längsgående belastningar.
Den rektangulära tetraedern används inom optik. Om ytorna som har en rät vinkel är täckta med en reflekterande sammansättning eller om hela tetraedern är gjord av ett material med stark ljusbrytning så att effekten av total inre reflektion uppstår, så kommer ljuset som riktas mot ansiktet mittemot spetsen med räta vinklar reflekteras i samma riktning som den kom ifrån. Denna egenskap används för att skapa hörnreflektorer , reflektorer .
Den kvartära triggergrafen är en tetraeder [9] .

Tetraedrar i filosofi

"Platon sa att de minsta eldpartiklarna är tetraedrar" [10] .

sekulära samhället. En av damerna berättar för sin dröm:

– Mina herrar, idag såg jag en hemsk dröm! Det är som att jag sticker in fingret

mun - och det finns inte en enda tand!

Rzhevsky:

- Fru - du har förmodligen lagt fingret på fel ställe ( tetraeder ) ...

Se även

Anteckningar

↑ Dvoretskys antika grekisk-ryska ordbok "τετρά-εδρον" (otillgänglig länk) . Hämtad 20 februari 2020. Arkiverad från originalet 28 december 2014. (obestämd)
↑ Selivanov D. F. ,. Geometrisk kropp // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i exempel och problem . - M . : Högre skola , 1985. - 232 sid. Arkiverad 10 januari 2014 på Wayback Machine
↑ V. E. MATIZEN Isohedral och ramtetrahedra "Quantum" nr 7, 1983
↑ Modenov P.S. Problem i geometri. - M . : Nauka, 1979. - S. 16.
↑ Markelov S. Formel för volymen av en tetraeder // Matematisk utbildning. Problem. 6. 2002. S. 132
↑ Källa . Hämtad 31 mars 2018. Arkiverad från originalet 30 augusti 2017. (obestämd)
↑ Källa . Hämtad 31 mars 2018. Arkiverad från originalet 31 mars 2018. (obestämd)
↑ http://knol.google.com/k/trigger#view Arkiverad 23 november 2010 på Wayback Machine Trigger
↑ Werner Heisenberg. Vid ursprunget till kvantteorin. M. 2004 s.107

Litteratur

Matizen V. E., Dubrovsky. Från tetraederns geometri "Quantum" , nr 9, 1988, s.66.
Zaslavsky A. A. Jämförande geometri av en triangel och en tetraeder // Matematisk utbildning, ser. 3 (2004), nr 8, s. 78-92.
Ponarin Ya. P. Elementär geometri. Volym 3. Trianglar och tetraedrar. 2009

Polyedra

korrekt

Tredimensionell (platoniska fasta ämnen)	vanlig tetraeder Kub Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Femceller tesserakt Hexadecimal cell tjugofyra celler 120 celler Sexhundra celler
Större dimension (anges inom parentes)	Vanlig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexaeder (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvex

Arkimedeiska fasta ämnen

Katalanska kroppar

Prismor
trekantsprisma fyrkantigt prisma Pentagonal prisma Sexkantigt prisma Heptagonal prisma Åttakantigt prisma Niovinklat prisma Dekagonalt prisma Elvavinklat prisma Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

Formler ,
satser ,
teorier

Övrig