Petri polygon

Den stabila versionen checkades ut den 16 juli 2022 . Det finns overifierade ändringar i mallar eller . Visualiseringar av icosahedron

perspektiv	Skanna	ortogonal
petri	Schlegel diagram	Vertex figur

En Petri-polygon för en vanlig polytop i dimension är en rymdpolygon [1] så att alla på varandra följande kanter (men inte ) tillhör samma dimensionella yta. Särskilt, $n$ $(n-1)$ $n$ $(n-1)$

Petripolygonen för en vanlig polygon är den reguljära polygonen själv.
Petripolygonen i en tredimensionell regelbunden polyeder är en tredimensionell polygon så att två på varandra följande sidor (men inte tre) hör till en av ytorna [2] .

För varje vanlig polyeder finns det en ortogonal projektion på planet, där Petri-polygonen blir en vanlig polygon , som innehåller alla andra delar av projektionen inuti den. I det här fallet är planet på vilket projektionen görs Coxeter-planet för polygonens symmetrigrupp , och antalet sidor är Coxeter-numret för Coxeter- gruppen . Dessa polygoner och projicerade grafer är användbara för att visa symmetristrukturerna hos högdimensionella regelbundna polyedrar. $h$

Historik

John Flinders Petrie (1907-1972) var den ende sonen till egyptologen Flinders Petrie [3] . Han föddes 1907 och redan en skolpojke visade anmärkningsvärda matematiska förmågor. Med full koncentration kunde han svara på svåra frågor om fyrdimensionella föremål genom att visualisera dem .

Han var den förste att uppmärksamma vikten av regelbundna rumsliga polygoner som uppstår på regelbundna polyedrars ytor. Coxeter 1937 förklarade hur han och Petrie började utöka den klassiska uppfattningen om vanliga polygoner:

En dag, 1926, berättade J. F. Petrie i stor spänning att han hade upptäckt två nya regelbundna polyedrar, oändliga men utan falska hörn. När min skepsis började avta, beskrev han dem för mig – en uppbyggd av kvadrater, sex vid varje vertex, och den andra uppbyggd av sexhörningar, fyra per vertex [4] .

År 1938 publicerade Petrie, Coxeter, Patrick Duvall och H. T. Flaser The Fifty-Nine Icosahedra ( Fifty-nine icosahedra ) [5] . Coxeter insåg vikten av de rumsliga polyedrarna som Petrie använde och döpte dem efter sin vän när han skrev boken Regular Polytopes ( Regular polyhedra ).

1972, några månader efter sin pensionering, dog Petrie när han försökte springa över en motorväg nära sitt hem i Surrey .

Petries idé om polygoner utökades senare till halvregelbundna polyedrar .

Petrie-polygoner av vanliga tredimensionella polyedrar

Petrie-polygonen i en vanlig polyeder med Schläfli-symbolen har sidor där ${\displaystyle \{p,q\))$ $h$

cos^{2}(\pi /h)=cos^{2}(\pi /p)+cos^{2}(\pi /q)

Petripolygoner är dubbla regelbundna polyedrar och har liknande projektioner. ${\displaystyle \{p,q\))$ $\{q,p\}$

Petripolygoner för vanliga polyedrar (röda polygoner)


tetraeder	kub	oktaeder	dodekaeder	icosahedron

centrerad på revbenen	vertex centrerad	kanten centrerad	kanten centrerad	vertex centrerad
4 sidor	6 sidor	6 sidor	10 sidor	10 sidor
$V:(4,0)$	$V:(6,2)$	$V:(6,0)$	$V:(10,10,0)$	$V:(10,2)$
Petrie-polygonerna är de yttre gränserna för dessa ortogonala projektioner. De "främre" revbenen visas i blått och de bakre revbenen visas i grått. Koncentriska ringar av vertex hörn räknas från utsidan till insidan med notationen: , slutar med noll om det inte finns några centrala hörn. $V:(a,b,\dots )$

Oändliga regelbundna rumsliga polygoner ( apeirogoner ) kan också definieras som Petrie-polygoner för regelbundna tessellationer med vinklar på 90, 120 och 60 grader (för kvadratiska, hexagonala respektive triangulära ytor).

Oändliga regelbundna rumsliga polygoner finns också som Petrie-polygoner för regelbundna hyperboliska plattsättningar som den triangulära plattsättningen av ordningen 7 {3,7}:

Petripolygoner av vanliga polyedrar i fyrdimensionellt utrymme (4-polyedrar)

Det är också möjligt att definiera Petri-polygoner av regelbundna polyedrar i det fyrdimensionella rummet { p , q , r }.

{3,3,3} femceller 5 sidor V :(5,0)	{3,3,4} hex cell 8 sidor V :(8,0)	{4,3,3} tesseract 8 sidor V :(8,8,0)
{3,4,3} Tjugofyra celler 12 sidor V :(12,6,6,0)	{5,3,3} 120 celler 30 sidor V :((30.60 ) 3.60 3.30.60.0 )	{3,3,5} Sexhundra celler 30 sidor V:(30,30,30,30,0 )

Projektioner av polygoner med regelbundna och enhetliga polyedrar av dimension 4 och högre

Petrie-polygonprojektioner är mest användbara för att visualisera polyedrar av dimension 4 och högre. Tabellen presenterar Petri-polygonerna av tre familjer av vanliga polytoper ( simplicerade , hyperkuber , ortoplexer ) och exceptionella enkla Lie-grupper E n , som bildar halvregelbundna och homogena polytoper för dimensioner från 4 till 8.

Tabell över irreducerbara familjer av polyedrar

Familj
n

n -enkelt

n- hyperkub

n -ortoplex

n- halvkub

1 k2

2k1 [ sv

k21 [ sv

femkantig polyeder

Grupp

A n

BC n

I 2 (p)

D n

E 6

E 7

E 8

F4 _

G2 _

H n

Triangel

Fyrkant

p-gon
(exempel: p=7 )

Kub

6-kub

6-semicube

1 22

221 [ sv

7-simplex

7-kub

7-ortoplex

7-semicube

1 32

231 [ sv

3 21

8-simplex

8-kub

8-ortoplex

8-kub

1 42

241 [ sv

4 21

8-simplex

9-kub

9-ortoplex

9-semicube

10-simplex

10-kub

10-ortoplex

10-semicube

Dual Petri

För att diskutera dubbla Petri-polygoner introducerar vi begreppet ett schema [7] Informellt är ett schema P en familj av polygoner (som kan vara oändligt vinklade) så att

Alla två polygoner har en gemensam kant eller vertex, eller skär sig inte alls.
Varje kant tillhör exakt två polygoner.
Polygonerna som innehåller den valda vertexen bildar en cykel av intilliggande polygoner (delningskanter).
Alla två polygoner är förbundna med en kedja av intilliggande polygoner.

Ett schema P kommer att ha en automorfismgrupp Γ ( P ) och P sägs vara regelbunden om Γ ( P ) är transitiv på uppsättningen F ( P ) av flaggor P. Om ett vanligt schema P har p-gonala ytor och q-gonala vertexfigurer, sägs det vara av (Schläfli) typ {p, q}. Vilken vanlig polytop eller infinitetope som helst genererar ett regelbundet mönster på ett naturligt sätt.

Petri-dualen ( Petrial [8] ) av en vanlig polytop är ett regelbundet schema vars hörn och kanter motsvarar topparna och kanterna på den ursprungliga polytopen, och vars ytor är uppsättningen av Petri-polygoner. Detta schema betecknas som operatorn π (som en upphöjd skrift) över en vanlig polytop. Varje kant tillhör två ytor (Petri-polygoner) [9] [10] [11] [12] .

Tetraederns petrial , {3,3} π , har 4 hörn, 6 kanter och 3 kvadratiska ytor (i form av rymdrutor, det vill säga kvadratens hörn ligger inte i samma plan). Med Euler-karakteristiken χ = 1 är petrialet topologiskt identiskt med halvkuben {4,3}/2.

Petrialkuben , {4,3} π , har 8 hörn, 12 kanter och 4 rumsliga hexagoner, som visas i rött, grönt, blått och orange i figuren. Den har Euler-karakteristiken 0 och kan ses som de fyra hexagonala ytorna på den toroidformade hexagonala plattan {6,3} (2,0) .

Oktaederns kronblad , {3,4} π , har 6 hörn, 12 kanter och 4 rumsliga sexkantiga ytor. Petrialet har Euler-karakteristik −2, och är mappad till en 4:e ordningens hyperbolisk hexagonal plattsättning , {6,4} 3 .

Dodekaederns petrial , {5,3} π , har 20 hörn, 30 kanter och 6 ytor i form av rumsliga dodekaedrar. Dess Euler-karakteristik är −4 och den är relaterad till den hyperboliska plattsättningen {10,3} 5 .

Ikosaederns kronblad , {3,6} π , har 12 hörn, 30 kanter och 6 ytor i form av rumsliga dodekaedrar. Dess Euler-karakteristik är −12 och den är relaterad till den hyperboliska plattsättningen {10,5} 3 .

Rätta petrials

Petrial av tetraedern {3,3} π = {4,3} 3 = {4,3}/2	Petrial kub {4,3} π = {6,3} 3 = {6,3} (2,0)	Petrial av dodekaedern {5,3} π = {10,3} 5 .
3 rymdrutor	4 rymdhexagoner	6 rumsliga dekagoner

{4,3} 3 = {4,3}/2	{6.3} 3 = {6.3} (2.0)

Anteckningar

↑ I engelsk litteratur - skev polygon, bokstavligen - en sned polygon . I rysk litteratur har termen rumslig polygon slagit rot , och termen skev polyhedron motsvarar termen skev polyhedron ( skew polyhedron ).
↑ Coxeter, 1995 , sid. 161, artikel 13.
↑ Stavningen av namnet Petri är också vanlig.
↑ Coxeter, 1937 , sid. 33-62.
↑ Coxeter, 1938 , sid. 1–26.
↑ Coxeter, 1973 , sid. 32.
↑ McMullen, Schulte, 2002 , sid. 17.
↑ Från Petri e du al
↑ McMullen, Schulte, 2002 , sid. 192-200.
↑ Ordlista . Hämtad 13 februari 2016. Arkiverad från originalet 7 maj 2021. (obestämd)
↑ Arkiverad kopia . Tillträdesdatum: 13 februari 2016. Arkiverad från originalet 4 mars 2016. (obestämd)
↑ Coxeter-Petrie-komplex av vanliga kartor

Litteratur

HSM Coxeter . 2.6 Petrie Polygons s. 24-25, Kapitel 12, s. 213-235 The generalized Petrie polygon // Regular Polytopes . - 3:a (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
HSM Coxeter . Avsnitt 4.3 Flaggor och ortoscheman, Avsnitt 11.3 Petriepolygoner // Regelbundna komplexa polytoper. - Cambridge, New York: Cambridge University Press, 1973. - ISBN 0-521-39490-2 .
W. Ball, G. Coxeter. Matematiska uppsatser och underhållning. - Moskva: "Mir", 1986. - S. 150.

HSM Coxeter . Kapitel 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogs // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. - Dover Publications, 1999. - ISBN 978-0486-40919-8 .
Peter McMullen, Egon Schulte. Abstrakta vanliga polytoper . — 1:a. - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-81496-0 .
HSM Coxeter . Proceedings of the London Mathematical Society. - 1937. - T. 43. - S. 33-62.
HSM Coxeter . papper 13, Diskreta grupper genererade av reflektioner, 1933, s. 161 // Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
HSM Coxeter . Den femtionio Icosaedran. - 1938. - S. 1-26. — ( University of Toronto studies, matematisk serie 6).

Länkar

Weisstein, Eric W. Petrie polygon (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Hypercube-grafer (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Cross polytope graphs (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. 24 -cellsgraf vid Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. 120-cellsgraf (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Weisstein, Eric W. 600-cellsgraf på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Gosset graf 3_21 på Wolfram MathWorld -webbplatsen .

Polyedra

Korrekt

Tredimensionell (platoniska fasta ämnen)	vanlig tetraeder Kub Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Femceller tesserakt Hexadecimal cell tjugofyra celler 120 celler Sexhundra celler
Större dimension (anges inom parentes)	Vanlig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexaeder (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvex

Arkimedeiska fasta ämnen

Katalanska kroppar

Prismor
trekantsprisma fyrkantigt prisma Pentagonal prisma Sexkantigt prisma Heptagonal prisma Åttakantigt prisma Niovinklat prisma Dekagonalt prisma Elvavinklat prisma Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

Formler ,
satser ,
teorier

Övrig