Vanlig fyrdimensionell polyeder

Reguljära fyrdimensionella polyedrar är fyrdimensionella analoger av vanliga polyedrar i tredimensionellt utrymme och regelbundna polygoner i planet.

Vanliga 4-dimensionella polytoper beskrevs först av den schweiziske matematikern Ludwig Schläfli i mitten av 1800-talet, även om hela uppsättningen upptäcktes mycket senare.

Det finns sex konvexa och tiostjärniga vanliga 4-polytoper, totalt sexton.

Historik

Konvexa 4-dimensionella polyedrar beskrevs först av den schweiziske matematikern Ludwig Schläfli i mitten av 1800-talet. Schläfli upptäckte att det finns exakt sex sådana kroppar.

Schläfli hittade också fyra regelbundna 4-dimensionella polyedrar : den stora 120-cellsstjärnan , den stora 120-cellsstjärnan , den stora 600-cellsstjärnan och den stora stora 120-cellsstjärnan . Han hoppade över de återstående sex eftersom han inte tillät kränkningar av Euler-karakteristiken på celler eller vertexfigurer ( F  −  E  +  V  = 2). Detta exkluderar celler och vertexformer som {5,5/2} och {5/2,5} .

Edmund Hess (1843–1903) publicerade en fullständig lista i sin tyska bok Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyederteori om isoedriska och ekvikantiga polyedrar) 1883.

Byggnad

Förekomsten av en vanlig 4-dimensionell polyeder begränsas av förekomsten av regelbundna (3-dimensionella) polyedrar , som bildar dess celler och binder den dihedrala vinkeln

så att cellerna är slutna 3-dimensionella ytor.

De sex konvexa och tiostjärniga polyedrarna som beskrivs här är de enda lösningarna som uppfyller begränsningarna.

Det finns fyra icke-konvexa Schläfli-symboler {p,q,r} som har giltiga celler {p,q} och vertexfigurer {q,r} som klarar det dihedrala vinkeltestet men inte ger slutliga siffror - {3,5/ 2 ,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.

Vanliga konvexa 4-polyedrar

Reguljära konvexa 4-dimensionella polyedrar är de fyrdimensionella analogerna av de platonska fasta kropparna i tredimensionella rymden och konvexa regelbundna polygoner i tvådimensionella rymden.

Fem av dem kan förstås som nära analoger till de platonska fasta ämnena. Det finns ytterligare en figur, tjugofyra cellen , som inte har en nära tredimensionell motsvarighet.

Varje konvex regelbunden 4-polytop begränsas av en uppsättning 3-dimensionella celler , som är platoniska fasta ämnen av samma typ och storlek. Cellerna är i kontakt med varandra längs kanterna och bildar den korrekta strukturen.

Egenskaper

Följande tabeller listar några egenskaper hos de sex konvexa reguljära 4-dimensionella polyedrarna. Symmetrigrupperna för dessa 4-polyedrar är alla Coxeter-grupper och ges i denna artikel. Numret efter gruppnamnet är gruppens ordning .

Namn Bild Familj Schläfli
Coxeter		 Toppar revben Fasett Celler Versh.
figur		 Dubbel
_ 		Symmetrigrupp
fem
-cells pentaeder
4-simplex		 n -simplex
(Familj A n )		 {3,3,3}
CDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png		 5 tio 10
{3}		 5
{3,3}		 {3,3} (självdubbel
)		 A 4
[3,3,3]		 120
åtta
-cells tesserakt
4-kub		 n -kub
(Familj B n )		 {4,3,3}
CDel nod 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png		 16 32 24
{4}		 8
{4,3}		 {3,3} 16-celler B 4
[4,3,3]		 384
sexton
-cells 4-ortoplex		 n -ortoplex
(Familj B n )		 {3,3,4}
CDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png		 åtta 24 32
{3}		 16
{3,3}		 {3,4} 8-cell B 4
[4,3,3]		 384
tjugofyra
celler oktaplex
polyoktaeder (pO)		 Familj F n {3,4,3}
CDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png		 24 96 96
{3}		 24
{3,4}		 {4,3} (självdubbel
)		 F4 [ 3,4,3
]		 1152

120-cells dodecacontichoron dodecaplex
polydodecahedron
(pD)		 n-pentagonal polyeder
(familj H n )		 {5,3,3}
CDel nod 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png		 600 1200 720
{5}		 120
{5,3}		 {3,3} 600 celler H4 [ 5,3,3
]		 14400
sexhundra
cell tetraplex
polytetraeder (pT)		 n-pentagonal polyeder
(familj H n )		 {3,3,5}
CDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png		 120 720 1200
{3}		 600
{3,3}		 {3,5} 120 celler H4 [ 5,3,3
]		 14400

John Conway är en anhängare av namnen simplex, ortoplex, tesseract, octaplex eller polyoctahedron (pO), dodecaplex eller polydodecahedron (pD) och tetraplex eller polytetrahedron (pT) [1] .

Norman Johnson är en anhängare av namnen n-cell eller pentachoron, tesseract eller octachoron, hexadecachoron, icositetrachoron, hekatonikosahedron (eller dodecacontachoron) och hexacosichoron. [2] [3] [4]

Euler-karakteristiken för alla 4-dimensionella polyedrar är noll. Det finns en 4-dimensionell analog av Eulers formel för polyedrar:

där N k är antalet k -ytor i polyedern (en vertex är en 0-yta, en kant är en 1-yta, etc.).

Visualisering

Följande tabell visar några 2D-projektioner av 4D-polyedrar. Olika andra visualiseringar finns i externa länkar. Graferna för Coxeter-Dynkin-diagrammen finns också under Schläfli-symbolen .

A4 = [3,3,3 ] BC4 = [4,3,3 ] F4 = [3,4,3 ] H4 = [5,3,3 ]
Femceller 8-cell 16-celler 24-celler 120 celler 600 celler
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
CDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
3D ortografiska projektioner

tetraedriskt
skal
(cell/vertex centrerad)
kubiskt
skal
(cellcentrerad)
kubiskt
skal
(cellcentrerad)
kuboktaedriskt
skal
(cellcentrerad)
Trunkerad rhombic rhombic triacontahedron
(cellcentrerad)
pentakiikosi - dodekaedriskt skal
(cellcentrerad)
Wireframes av Schlegel-diagram ( Perspektivprojektion )

centrerad på cellen
centrerad på cellen
centrerad på cellen
centrerad på cellen
centrerad på cellen
topp centrerad
Wireframes av stereografiska projektioner ( 3-sfär )

Reguljära 4-polyedrar (Schläfli–Hess)

Schläfli-Hess 4- polyedrar är en komplett lista över tio regelbundna självkorsande 4 -polytoper [5] . Polyedrar är uppkallade efter deras upptäckare Ludwig Schläfli och Edmund Hess. Varje polyeder representeras av Schläfli-symbolen { p , q , r } , där ett av talen är 5/2 . Polyedrar liknar vanliga icke-konvexa Kepler-Poinsot polyedrar .

Namn

Namnen som ges här är givna av John Conway och är förlängningar av Cayleys namn för Kepler-Poinsot polyedrar - han lade storslagna till de stellerade och stora modifierarna . Conway definierade följande operationer:

  1. stellation (stellation formation) ersätter kanter med längre på samma linjer. (Exempel - en femhörning konverteras till ett pentagram )
  2. förstoring ersätter ansikten med större ytor på samma plan. (Exempel - ikosaedern ökar till en stor ikosaeder )
  3. förhöjning (exaltation) ersätter celler med stora i samma 3-dimensionella utrymmen. (Exempel - 600-celler är upphöjda till den stora 600-cellen )

Conway-namn för 10 former av 3 4-dimensionella polyedrar med vanliga celler - pT=polytetraeder (polytetraeder) {3,3,5} (tetraedrisk sexhundra celler), pI=polyikoshedron (polyikosaeder) {3,5,5/2} ( icosahedral 120-cell ) och pD=polydodecahedron (polydodecahedron) {5,3,3} (dodecahedral 120-cell ) med modifierande prefix g , a och s för stor (stor), stor (stor) och stellerad ( stellerad). Den slutliga stellationen, den stora stora stellerade polydodekaedern, skulle då betecknas gaspD .

Symmetri

Alla tio polychores har [3,3,5] ( H 4 ) hexacosichore symmetri . De genereras av sex kopplade symmetrigrupper av den rationella ordningen Goursat tetraedrar — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2 ,5,5/ 2], [5.5/2.3] och [3.3.5/2].

Varje grupp har 2 vanliga stjärnpolytoper, förutom två självdubbla grupper som innehåller en polytop vardera. Det finns alltså 4 dubbla par och 2 självdubbla former bland de tio vanliga stjärnpolyedrarna.

Egenskaper

Notera:

Celler (3-dimensionella polyedrar), deras ansikten (polygoner), polygonala kantfigurer , och polyedriska vertexfigurer representeras av deras Schläfli-symboler .

Namn
Förkortning
av Conway 		ortogonal
projektion 		Schläfli
Coxeter 		Celler
{p, q} 		Kanter
{p} 		revben
{r} 		Vertices
{q, r} 		Densitet [ sv χ
Icosahedral 120-cell
polyicosahedron (pI) 		{3,5,5/2}
CDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png 		120
{3,5}
 1200
{3}
 720
{5/2}
 120
{5,5/2}
 fyra 480
Liten stellerad 120-cell
stellerad
polydodekaeder
(spD) 		{5/2,5,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nod 1.png 		120
{5/2,5}
 720
{5/2}
 1200
{3}
 120
{5,3}
 fyra −480
Great 120-cell
great
polydodecahedron
(gpD) 		{5.5/2.5}
CDel nod 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 		120
{5,5/2}
 720
{5}
 720
{5}
 120
{5/2,5}
 6 0
Great 120-cell
great
polydodecahedron (apD) 		{5,3,5/2}
CDel nod 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png 		120
{5,3}
 720
{5}
 720
{5/2}
 120
{3,5/2}
 tjugo 0
Great stellated 120-cell
great stellated
polydodecahedron (gspD) 		{5/2,3,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nod 1.png 		120
{5/2.3}
 720
{5/2}
 720
{5}
 120
{3,5}
 tjugo 0
Great stellated 120-cell
great stellated
polydodecahedron
(aspD) 		{5/2,5,5/2}
CDel nod 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png 		120
{5/2,5}
 720
{5/2}
 720
{5/2}
 120
{5,5/2}
 66 0
Great great 120-cell
great great polydodecahedron (gapD) 		{5.5/2.3}
CDel nod 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 		120
{5,5/2}
 720
{5}
 1200
{3}
 120
{5/2.3}
 76 −480
Great icosahedral 120-cell
great
polyicosahedron
(gpI) 		{3.5/2.5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nod 1.png 		120
{3,5/2}
 1200
{3}
 720
{5}
 120
{5/2,5}
 76 480
Great six hundred cell
great
polytetrahedron
(apT) 		{3,3,5/2}
CDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png 		600
{3,3}
 1200
{3}
 720
{5/2}
 120
{3,5/2}
 191 0
Great great stellated
120-cell great great stellated
polydodecahedron
(gaspD) 		{5/2,3,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel nod 1.png 		120
{5/2.3}
 720
{5/2}
 1200
{3}
 600
{3,3}
 191 0

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Conway, 2008 .
  2. ↑ Johnson föreslog också termen polychoron för namnet på 4-dimensionella polyedrar som en analog av tredimensionella polyedrar (polyeder) och tvådimensionella polygoner (polygon) som en derivata av de grekiska orden πολύ ("många") och χώρος ( "utrymme", "rum")
  3. ↑ "Konvexa och abstrakta polytoper", Program och sammandrag, MIT, 2005 . Datum för åtkomst: 23 februari 2016. Arkiverad från originalet 29 november 2014.
  4. ↑ Johnson (2015), kapitel 11, avsnitt 11.5 Sfäriska Coxeter-grupper
  5. ↑ Coxeter, Star polytopes och Schläfli-funktionen f{α,β,γ) sid. 122 2. Schlafli-Hess polytoperna

Litteratur

Länkar