Vanliga flerdimensionella polyedrar

En vanlig n -dimensionell polytop är en n - dimensionell euklidisk rymdpolytop som är den mest symmetriska i någon mening. Regelbundna tredimensionella polyedrar kallas också platoniska fasta ämnen .

Historik

En klassificering av vanliga flerdimensionella polyedrar erhölls av Ludwig Schläfli . [ett]

Definition

Flaggan för en n -dimensionell polytop är uppsättningen av dess ansikten , där är den dimensionella framsidan av polytopen P, och för . $P$ $F=(F_{0},F_{1},\dots ,F_{{n-1}})$ $F_{i}$ $i$ $F_{i}\subseteq F_{{n-1}}$ $i=1,2,\prickar ,n-1$

En vanlig n -dimensionell polyeder är en konvex n -dimensionell polyeder , för vilken två av dess flaggor och det finns en rörelse som tar till . $P$ $F$ $F'$ $P$ $F$ $F'$

Klassificering

Dimension 4

Det finns 6 vanliga fyrdimensionella polyedrar (multiceller):

namn	Schläfli symbol	Cell	Antal celler	Antal ansikten	Antal kanter	Antal hörn
Femceller	{3,3,3}	vanlig tetraeder	5	tio	tio	5
tesserakt	{4,3,3}	kub	åtta	24	32	16
Hexadecimal cell	{3,3,4}	vanlig tetraeder	16	32	24	åtta
tjugofyra celler	{3,4,3}	oktaeder	24	96	96	24
120 celler	{5,3,3}	dodekaeder	120	720	1200	600
Sexhundra celler	{3,3,5}	vanlig tetraeder	600	1200	720	120

Dimensioner 5 och uppåt

I var och en av de högre dimensionerna finns det 3 vanliga polyedrar ( polytoper ):

namn	Schläfli symbol
n - dimensionell regelbunden simplex	{3;3;...;3;3}
n -dimensionell hyperkub	{4;3;...;3;3}
n - dimensionell hyperoktaeder	{3;3;...;3;4}

Geometriska egenskaper

Vinklar

Den dihedriska vinkeln mellan (n-1)-dimensionella angränsande ytor av en vanlig n-dimensionell polytop, given av dess Schläfli-symbol , ges av formeln [2] [3] [4] : $\{p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{{N-3}},p_{{N-2}},p_{{N-1}}\}$

\sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{{n-1))))}{1-{\frac {\cos ^{2 }{\frac {\pi }{p_{{n-2))))}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{{n-3))} )){{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3)))){1-{\frac {\cos ^{2 }{\frac {\pi }{p_{2)))){1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1))))))))))))))) )))) }

där är halva vinkeln mellan (n-1)-dimensionella intilliggande ytor av en vanlig n-dimensionell polyeder $\beta$

Radier, volymer

Radie av en inskriven N-dimensionell sfär:

r_{N}=r_{N-1}\operatörsnamn {tg} {\beta },

var är radien för den inskrivna (N-1)-dimensionella sfären i ansiktet. $r_{{N-1}}$

Volym av en N-dimensionell polyeder:

V_{N}={\frac {1}{N}}V_{{N-1}}A_{{N-1}}r_{N},

där är volymen av en (N-1)-dimensionell yta, är antalet (N-1)-dimensionella ytor. $V_{{N-1}}$ $A_{{N-1}}$

Plattläggningar

I dimension n = 4

Tesseract
cellbikakor
Tjugofyra

I dimension n ≥ 5

Hyperkubisk honungskaka

Se även

Anteckningar

↑ Schläfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38:1–237.
↑ Sommerville DMY En introduktion till n dimensioners geometri . - London, 1929. - S. 189. - 196 sid.
↑ Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes . - London, 1948. - S. 134. - 321 sid. Arkiverad 5 maj 2016 på Wayback Machine
↑ Rosenfeld B.A. Flerdimensionella utrymmen . - Vetenskap, 1966. - S. 193.

Länkar

Visuellt exempel på YouTube

Vanliga polytoper (platoniska fasta ämnen) i 4D (ej tillgänglig länk) (2003). Datum för åtkomst: 30 januari 2011. Arkiverad från originalet den 4 maj 2012. (obestämd)

E. Yu. Smirnov. Reflektionsgrupper och vanliga polyedrar . - M. : MTSNMO, 2009. - 48 sid. - ISBN 978-5-94057-525-2 .

E. B. Vinberg, O. V. Shvartsman. Diskreta grupper av rörelser av utrymmen med konstant krökning // Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Modern prob. matta. Fundam. vägbeskrivningar. - 1988. - T. 29 . — S. 147–259 .

Polyedra

korrekt

Tredimensionell (platoniska fasta ämnen)	vanlig tetraeder Kub Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Femceller tesserakt Hexadecimal cell tjugofyra celler 120 celler Sexhundra celler
Större dimension (anges inom parentes)	Vanlig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexaeder (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvex

Arkimedeiska fasta ämnen

Katalanska kroppar

Prismor
trekantsprisma fyrkantigt prisma Pentagonal prisma Sexkantigt prisma Heptagonal prisma Åttakantigt prisma Niovinklat prisma Dekagonalt prisma Elvavinklat prisma Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

Formler ,
satser ,
teorier

Övrig

Grundläggande konvexa regelbundna och homogena polytoper i dimensionerna 2–10
Familj	A n	B n	I2 (p) / Dn	E6 / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H4
vanlig polygon	rät triangel	Fyrkant	Vanlig p-gon	Vanlig hexagon	vanlig femhörning
Uniform polyeder	vanlig tetraeder	Vanlig oktaeder • Kub	halv kub		Vanlig dodekaeder • Vanlig ikosaeder
Uniform multicell	Femceller	16-celler • Tesseract	Semitesseract	24-celler	120-celler • 600-celler
Homogen 5-polytop	Vanlig 5-simplex	5-ortoplex • 5-hyperkub	5-semihyperkub
Homogen 6-polytop	Vanlig 6-simplex	6-ortoplex • 6-hyperkub	6-semihyperkub	1 22 • 2 21
Homogen 7-polytop	Vanlig 7-simplex	7-ortoplex • 7-hyperkub	7-semihyperkub	1 32 • 2 31 • 3 21
Homogen 8-polytop	Vanlig 8-simplex	8-ortoplex • 8-hyperkub	8-halv-hyperkub	1 42 • 2 41 • 4 21
Homogen 9-polytop	Vanlig 9-simplex	9-ortoplex • 9-hyperkub	9-semihyperkub
Homogen 10-polytop	Vanlig 10-simplex	10-ortoplex • 10-hyperkub	10-halv-hyperkub
Uniform n - polytop	Vanlig n - simplex	n - ortoplex • n - hyperkub	n - semi-hyperkub	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - femkantig polyeder
Ämnen: Familjer av polytoper • Regelbundna polytoper • Lista över vanliga polytoper och deras sammansättningar