Snubbig dodekaeder
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 april 2022; verifiering kräver 1 redigering .| snubbig dodekaeder | |
|---|---|
| Sorts | Halvregelbunden polyeder |
| kant | femhörning , triangel |
| ansikten | |
| revben | |
| Toppar | |
| Fasetter i toppen | |
| Gedigen vinkel |
3-3:164°10'31"(164,18°) |
| Schläfli symbol | sr{5,3} eller |
| Wythoff symbol | 2 3 5 |
| Coxeter diagram |   
|
| Rotationssymmetrier | I , [5,3] + , (532), order 60 |
| Dubbel polyeder |
Pentagonal hexacontahedron |
| Skanna | |
Med kantfärgning |
|
Den snubbade dodekaedern [1] [2] , snubben dodekaedern [3] , eller snub icosidodecahedron är en halvregelbunden polyeder (Archimedean solid), en av tretton konvexa isogonala ickeprismatiska solider vars ytor är två eller flera regelbundna polygoner .
Den snubbade dodekaedern har 92 ansikten (det största antalet av alla arkimediska fasta ämnen), 12 av dem är femhörningar , och de återstående 80 är regelbundna trianglar . Den har 150 kanter och 60 hörn.
Polyedern har två distinkta former som är spegelbilder (eller " enantiomorphic view ") av varandra. Föreningen av båda typerna bildar en sammansättning av två snubbade dodekaeder , och det konvexa skrovet av denna konstruktion är en rhombotruncated icosidodecahedron .
Kepler gav den ursprungligen namnet 1619 till den latinska dodecahedron simum i sin bok Harmonices Mundi . Harold Coxeter märkte att en polyeder kunde erhållas lika mycket från en dodekaeder eller en ikosaeder och gav den namnet den snubbade icosidodekaedern , med den vertikala Schläfli-symbolen .
Förhållandet mellan längden på revbenet "a" och diametern på den omskrivna kulan "D":
D=4,311675*a
Kartesiska koordinater
De kartesiska koordinaterna för spetsen av snubbdodekaedern är alla jämna permutationer
(±2α, ±2, ±2β), (±(α+β/ϕ+ϕ), ±(−αϕ+β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ−1)), (±(α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ−β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ+1)), (±(−α/ϕ+βϕ+1), ±(−α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β−1/ϕ)) och (±(−α/ϕ+βϕ−1), ±(α−β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β+1/ϕ)),med ett jämnt antal plustecken, där
α = ξ − 1 / ξoch
β = ξϕ + ϕ 2 + ϕ /ξ,Här är ϕ = (1 + √5)/2 det gyllene snittet och ξ är den verkliga lösningen av ekvationen ξ 3 − 2ξ = ϕ och detta tal är
![\xi = \sqrt[3]{\frac{\phi}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\phi - \frac{5}{27))} + \sqrt[3]{ \frac{\phi}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\phi - \frac{5}{27}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece82cface6818cdc3ab95d570839064eae3faa7)
eller ungefär 1,7155615.
Denna snubbade dodekaeder har en kantlängd på cirka 6,0437380841.
Om vi tar udda permutationer av ovanstående koordinater med ett jämnt antal plustecken får vi en annan, enantiomorf form av den första. Även om det inte är omedelbart uppenbart, är kroppen som erhålls från jämna permutationer densamma som från udda permutationer. På samma sätt kommer spegelbilden av en polyeder att motsvara antingen jämna eller udda permutationer.
Yta och volym
För en snubbig dodekaeder med kantlängd 1 är ytan
och volymen är
,
där ϕ är det gyllene snittet .
Den snubbade dodekaedern har den högsta sfäriciteten av något arkimedisk fast ämne .
Ortografiska projektioner
Den snubbade dodekaedern har två speciella ortogonala projektioner centrerade på två typer av ytor - triangulära och femkantiga, motsvarande Coxeterplanen A 2 och H 2 .
| Centrerad släkting | triangulärt ansikte |
Femkantigt ansikte |
Revben |
|---|---|---|---|
| Bild | |||
| Projektiv symmetri |
[3] | [5] + | [2] |
| Dubbel polyeder |
Geometriska länkar
| Rotation av snubbdodekaedern |
|---|
Den snubbade dodekaedern kan erhållas från de tolv regelbundna femkantiga ytorna på dodekaedern genom att dra dem utåt så att de inte längre rör vid varandra. När det sträcks till ett lämpligt avstånd kommer detta att ge en rhombicosidodecahedron , om det resulterande utrymmet mellan de delade kanterna är fyllt med kvadrater och mellan de delade hörnen med trianglar. Men för att få ett snubbigt utseende fyller vi bara de triangulära ytorna och lämnar de fyrkantiga luckorna tomma. Nu roterar vi femhörningarna runt sina centrum tillsammans med trianglarna tills de kvadratiska mellanrummen förvandlas till liksidiga trianglar.
Dodekaeder |
Rhombicosidodecahedron ( förlängd dodecahedron ) |
snubbig dodekaeder |
Den snubbade dodekaedern kan också erhållas från den trunkerade icosidodecahedronen genom att alternera . De sextio hörnen av den trunkerade icosidodecahedronen bildar en polyeder som topologiskt motsvarar en snubbdodekaeder. De återstående sextio bildar dess spegelbild. Den resulterande polyedern är vertextransitiv , men inte homogen, eftersom den har kanter av olika längder, är viss deformation nödvändig för att få den till en homogen polyeder.
Relaterade polyedrar och plattsättningar
| Symmetri : [5,3] , (*532) | [5,3] + , (532) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 
|
|
|
|
|
|
|
|
| {5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
| Dubbla till enhetliga polyedrar | |||||||
| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Denna semireguljära polytop tillhör sekvensen av snubbade [ polyedrar och plattsättningar med vertexfigur (3.3.3.3. n ) och Coxeter-Dynkin-diagram 
. Dessa figurer och deras dualer har (n32) rotationssymmetri [ och existerar i det euklidiska planet för n=6 och det hyperboliska planet för vilket n som helst som är större än 6. Vi kan anta att sekvensen börjar med n=2, om vi antar att vissa fasta ansikten urartar till bikagoner .
| Symmetri n 32 |
sfärisk | euklidisk | Kompakt hyperbolisk. | Paracomp. | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
| Snubbiga figurer |
||||||||
| Konfiguration | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
| siffror | ||||||||
| Konfiguration | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Snub dodecahedron graf
| snub dodecahedron graf | |
|---|---|
| Toppar | 60 |
| revben | 150 |
| Automorfismer | 60 |
| Egenskaper |
Hamiltonian stammis |
| Mediafiler på Wikimedia Commons | |
Inom grafteorin är grafen för snubbdodekaedern grafen över hörn och kanter snubbdodekaedern. Den har 60 hörn och 150 kanter och är en arkimedesk graf [4] .
Se även
- Konvertera en platt polygon till en polyederanimation
- ccw och cw är roterande dodekaedrar
Anteckningar
- ↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , sid. 437, 435.
- ↑ Lyusternik, 1956 , sid. 183.
- ↑ Wenninger 1974 , sid. 20, 42.
- ↑ Läs, Wilson, 1998 , sid. 269.
Litteratur
- M. Wenninger . polyedra modeller. - Världen , 1974.
- Polygoner och polyedrar // Encyclopedia of elementary mathematics. Bok fyra. Geometri / Ed. P.S. Aleksandrov , A.I. Markushevich , A. Ya. Khinchin . - M .: Statens förlag för fysisk och matematisk litteratur , 1963. - S. 382-447.
- L. A. Lyusternik . Konvexa figurer och polyedrar. - M . : Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur , 1956.
- Udaya Jayatilake. Beräkningar på ansikte och vertex regelbundna polyedrar // Mathematical Gazette. - 2005. - T. 89 , nr. 514 (mars) . — s. 76–81 .
- Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . - Dover Publications, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X .. (Avsnitt 3-9)
- P. Cromwell. Polyedra. - Storbritannien: Cambridge, 1997. - s. 79–86 Arkimedeiska fasta ämnen . - ISBN 0-521-55432-2 .
- RC Read, RJ Wilson. En atlas av grafer. — Oxford University Press, 1998.
Länkar
- Weisstein, Eric W. Snub dodecahedral graph (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
- 3D konvexa enhetliga polyedrar Arkiverad 22 december 2015 på Wayback Machine
- Redigerbart utskrivbart nät av en Snub Dodecahedron med interaktiv 3D-vy Arkiverad 23 december 2015 på Wayback Machine
- The Uniform Polyhedra Arkiverad 11 februari 2008 på Wayback Machine
- Virtual Reality Polyhedra Arkiverad 23 februari 2008 på Wayback Machine The Encyclopedia of Polyhedra
- The Snub Dodecahedron gjord med LEGO Arkiverad 22 december 2015 på Wayback Machine av Antonio Nicassio (ITALIEN)