Kakel (geometri)

Parkett eller kakel - dela ett plan i polygoner eller utrymme i polyedrar utan luckor och lager.

Förutom parketter på det euklidiska planet , i matematik, betraktas "parketter" på sfären , det hyperboliska planet , i tredimensionellt och flerdimensionellt rum.

Terminologi

Kakel, mosaik, parketter, skiljeväggar

Parketter kallas annars för plattsättningar , mosaiker ( engelska  tessellation , kakel ), partitioner av planet ( engelska  partition ), parketter . Plattläggning av tredimensionellt utrymme och utrymmen av högre dimensioner kallas ofta för honeycombs .

På sidan 16 i Grünbaum och Shepards Tilings and Patterns (1987) 2] finns följande anteckning:

I matematisk litteratur används orden tessellation , stenläggning , mosaik och parkett omväxlande eller med liknande betydelser. De tyska orden för mosaik är Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung och Zerlegung ; Franska ord - pavage , carrelage och dallage ; Ryska ord - parkett , skiljevägg och plattsättning .

Originaltext  (engelska)[ visaDölj] I matematisk litteratur används orden tessellation , stenläggning , mosaik och parkettläggning synonymt eller med liknande betydelser. De tyska orden för plattsättning är Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung och Zerlegung . De franska orden är pavage , carrelage och dallage . De ryska orden är parkett , partitionering och plattsättning .

Parketter med ytor (plattor) av godtycklig form kallas ibland kartor (se t.ex. fyrfärgssatsen ).

Beläggningar och förpackningar

Om föreningen av flera figurer innehåller en given figur Φ , så sägs dessa figurer utgöra en täckning av figuren Φ . I det här fallet kan täckfigurerna överlappa varandra, men de täcker F -figuren utan mellanrum.

Packning är placeringen inuti en given figur av flera figurer som inte har gemensamma punkter, förutom, kanske, gräns (dvs utan överlappning).

En tessellation är en uppdelning av en figur i delar. En plattsättning är både en täckning och en packning [2] [3] .

Protopiler

Parkettprototiler ( engelska  prototiles , även prototyper [4] ) är plattor (former) som ingår i parketten. Varje parkettplatta är kongruent med en av prototilerna [5] .

Så, den enda prototilen för en sexkantig parkett är en vanlig sexkant; prototilen för en vanlig sfärisk femkantig parkett är en femkant ; uppsättningen av protopiler av en rhombotrihexagonal parkett består av en liksidig triangel, en kvadrat och en hexagon .

En parkett kallas k -hedral om uppsättningen av dess prototiler ( protoset ) består av k brickor [2] [4] .

Parkettplattor kallas också för ytor , och sidorna av polygonplattor kallas kanter , i analogi med terminologin för polyedrar [6] .

Vertex- och ansiktskonfigurationer

Rhombotrihexagonal parkett består av tre typer av plattor: liksidig triangel, kvadratisk och hexagon . Dessa brickor är arrangerade runt var och en av hörnen i följande ordning: triangel, kvadrat, hexagon, kvadrat. Denna beställning kallas för parkett- toppkonfigurationen och skrivs i formen 3.4.6.4. Om två eller flera siffror i denna sekvens står i rad används en förkortad notation: en triangulär parkett kan betecknas som 3.3.3.3.3.3 eller som 3 6 . I det här fallet betecknar poster som skiljer sig endast i en cyklisk permutation av siffror eller en förändring i ordningen för inmatningen till den motsatta (till exempel 3.3.4.3.4 och 4.3.3.4.3) samma vertexkonfiguration; samtidigt är 3.4.4.6 inte ekvivalent med 3.4.6.4 [4] [7] [8] [9] [10] .

I heterogena parketter kan hörn med olika konfigurationer förekomma.

Konfigurationen av ett ansikte är sekvensen av grader av hörnen på detta ansikte när man går runt det i en riktning. Ansiktskonfiguration skrivs som en sekvens av siffror inom hakparenteser [2] eller prefixet med V.

Om alla hörn på någon parkett har samma konfiguration med notationen a 1 .a 2 ....a k , så har alla ytor på dess dubbla parkett samma konfiguration med notationen Va 1 .a 2 ....a k . Till exempel skrivs ansiktskonfigurationerna för parketten dual till den rombiska trihexagonala parketten 3.4.6.4  som V3.4.6.4.

Typer av parkett

I många fall accepteras villkoret att var och en av parkettprototilerna motsvarar en topologisk skiva ; med andra ord, brickan ska inte bestå av flera delar ( quasi-polyomino [11] ), innehålla "hål", vara en ändlös remsa osv. [2] [4] .

Plana parketter

Rätta parketter

Parketter som är uppbyggda av identiska regelbundna polygoner kallas vanliga parketter ( eng.  regular tilings ). Det finns tre vanliga plattsättningar av planet: triangulär parkett , fyrkantig parkett och sexkantig parkett [9] [12] [13] .

Vanliga parketter kallas även platonparketter [14] .

Polyformer som ligger på vanliga parketter kallas polyamonds , polyominoes respektive polyhexes .

Schläfli-symbolen { p , q } används för att beteckna en parkett av vanliga p - goner arrangerade q runt varje vertex . Schläfli-symbolerna för de tre vanliga plattsättningarna är {3,6}, {4,4} och {6,3} [6] .

Halvvanliga parketter

Parketter som består av regelbundna polygoner av två eller flera typer, så att det för varje två hörn av parketten finns en symmetriomvandling (självsammanfall) som omvandlar en av dem till den andra, kallas halvregelbundna plattor eller arkimedeiska parketter [9] [ 15 ] [16] [17] .  

Det finns 8 halvvanliga parketter [7] [10] [12] [16] [17] . En av de åtta semi-reguljära parketterna ( snubbnosad trihexagonal parkett ) är kiral , det vill säga den sammanfaller inte med sin egen spegelbild [4] [7] [16] [17] .

Det finns två definitioner som leder till samma uppsättning av 8 semi-vanliga parketter på planet.

Den första, "lokala" definitionen, är att vertexkonfigurationerna för alla hörn måste matcha. Med andra ord måste sekvenserna av ansikten runt alla två hörn av parketten vara desamma: samma polygoner måste gå i samma (eller motsatt) ordning.

Den andra, "globala" definitionen, kräver att det för två av parkettens hörn finns en symmetritransformation (självkombination av parketten), vilket översätter en av dem till den andra.

Grünbaum och Shepard delar termerna "Archimedean parkett" ( engelsk  Archimedean tiling ) och " homogenous parkett " ( engelska  uniformsplattor ): den första gruppen inkluderar parketter som motsvarar den "lokala" definitionen, och den andra - "global". Även om dessa två uppsättningar sammanfaller på det euklidiska planet , finns det i andra utrymmen arkimedeiska parketter som inte är homogena [2] .

I den matematiska litteraturen varierar betydelsen av begreppen "Arkimedesparkett", "halvvanlig parkett" och "homogen parkett".

Kvasi-vanliga parketter

Kvasiregelbunden parkett (eller polyeder) ( engelska  quasiregular tiling ) - en homogen parkett (eller polyeder), bestående av ytor av två typer, alternerande runt varje vertex; med andra ord, varje ansikte är omgivet av ansikten av olika typ [18] [19] [20] .

Det finns bara en kvasi-regelbunden parkett på det euklidiska planet — en trehexagonal parkett med vertexkonfiguration 3.6.3.6. Det finns två kvasi-regelbundna parketter ( sfäriska polyeder ) på sfären - kuboktaedern och icosidodecahedronen .

På Lobachevsky-planet finns en oändlig uppsättning kvasi-regelbundna parketter av den form där

Heterogena parketter

Det finns ett oändligt antal olikformiga ( engelska  non-uniform ) parketter, bestående av vanliga polygoner.

  • Icke-homogena parketter från vanliga polygoner

  • 3 2 .6 2 , 3 6

  • 3 2 .6 2 , 3.6.3.6

  • 3 2 .4.12, 3 6

  • 3.4 2.6 , 3.6.3.6

Periodiska inhomogena parketter kan klassificeras efter antalet banor av hörn, kanter och ytor. Om antalet vertexbanor är lika med n kallas parketten n -uniform ( engelska  n-uniform ) eller n -isogonal; om antalet kantbanor är n - n - isotoxal ( eng.  n -isotoxal ). Ovanstående exempel är fyra av tjugo 2-homogena parketter [2] [9] [21] .


Icke-periodiska parketter och aperiodiska uppsättningar av plattor

En partition T kallas periodisk om det bland symmetrierna för T finns två parallella översättningar i icke-parallella riktningar. I det här fallet kan mosaiken anses bestå av upprepningar av ett litet fragment, utlagt från element vid noderna i något gitter. Uppsättningen av prototyper (protoset) P kallas aperiodisk om den realiseras i vissa partitioner i planet, men ingen av dessa partitioner är periodisk [4] .

Det första exemplet på en aperiodisk uppsättning plattor hittades av Robert Berger 1966 och inkluderade 20 426 Wang-plattor [2] [24] . Wangs brickor är kvadrater av samma storlek med målade sidor; när man bygger en mosaik är det tillåtet att kombinera kakel med endast enfärgade sidor och det är förbjudet att vända plattorna.

Senare hittades aperiodiska protoset med färre brickor. Roger Penrose upptäckte aperiodiska protosets bestående av två brickor [2] [23] [25] .

År 2010 föreslog Joshua Socolar och John Taylor en aperiodisk uppsättning bestående av en enda bricka , som är en vanlig hexagon markerad med färgade linjer och med ytterligare restriktioner relaterade till den relativa positionen för icke- rörande plattor [26] . Det finns en modifiering som inte använder sådana begränsningar, utan använder en frånkopplad bricka, det vill säga en bricka som inte är en topologisk skiva . Förekomsten av en enda ansluten platta utan ytterligare markeringar och begränsningar, som endast kan täcka planet enstaka gånger, förblir ett öppet problem [26] [27] .

Sfäriska polyedrar

En sfärisk parkett eller en sfärisk polyeder är en uppdelning av en sfär i sfäriska polygoner genom bågar av storcirklar [28] .

Var och en av de 5 platoniska soliderna motsvarar en vanlig sfärisk parkett. Formellt, låt S vara en sfär med centrum O som sammanfaller med mitten av polyedern P . Strålarna som dras från O som passerar genom hörnen på polyedern P skär sfären S vid punkter som är hörn på motsvarande sfäriska parkett; kanterna på polyedern P motsvarar storcirklarbågar på S .

Förutom de sfäriska analogerna av de fem "platoniska fasta kropparna" finns det två familjer av vanliga sfäriska polyedrar som inte har motsvarigheter bland polyedrar med plana ytor: osohedra - polyedrar med två hörn placerade vid sfärens poler, vars ytor är kongruenta digoner , och dihedra - dihedra dual till osohedra, vars hörn är vid sfärens ekvator.

Hyperboliska parketter

Euklids axiom för parallellism (mer exakt, ett av dess motsvarande uttalanden) säger:

Genom en punkt som inte ligger på en given linje går det högst en linje som ligger med den givna linjen i samma plan och inte skär den.

I Lobachevsky-geometri accepteras istället följande axiom:

Genom en punkt som inte ligger på en given linje passerar minst två linjer som ligger med den givna linjen i samma plan och inte skär den.

För att avbilda ett hyperboliskt plan används en av de befintliga modellerna - Beltrami-Klein- modellen , Poincaré- konformskivan , Poincaré-modellen på halvplan [29] .

På det euklidiska planet finns det bara tre vanliga parketter och 8 halvvanliga parketter. Det finns ett oändligt antal jämna vanliga parketter på det hyperboliska planet, inklusive parketter med sju eller fler liksidiga trianglar runt en vertex, fem eller fler kvadrater, fyra eller fler regelbundna pentagoner (en parkett med tre femhörningar runt en vertex är en sfärisk dodekaeder ) , fyra eller fler regelbundna hexagoner och tre eller fler lika regelbundna polygoner med fler än 6 sidor.

Problem på parketter

Ett stort antal uppgifter och pussel är förknippade med uppdelningen av rektanglar (eller andra sammankopplade former) i brickor från en viss given uppsättning prototiler. I det här fallet kan prototilerna själva kopplas samman kombinationer av celler av en vanlig parkett .

I synnerhet finns det en klass av problem vid tessellation av m  ×  n rektanglar med dominobrickor på ett sådant sätt att det i den resulterande partitionen inte finns någon rät linje som skär rektangeln från kant till kant och inte skär några dominobrickor; sådana rektanglar kallas "starka" [4] [11] [30] .

I andra uppgifter sätts en extra gräns för antalet brickor av varje typ som används i plattsättningen. I problem relaterade till pentominoer krävs det att täcka med 12 figurer en given delmängd av en fyrkantig parkett, bestående av 60 celler (rektanglar 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10, ett schackbräde med en kvadratisk tetramino skär ut i mitten , etc.); dock måste varje bricka användas exakt en gång [11] [30] .

Uppräkning av parketter

Problemet med att bestämma antalet parketter som består av konvexa polygoner av en given typ har endast lösts delvis:

  • Vilken triangel eller fyrhörning som helst kan belägga planet [4] [31] [32] .
  • Det finns 15 kända pentagoner som kan belägga ett plan; det är inte känt om denna lista är komplett [1] . Problemet med att räkna upp femkantiga parketter har en rik historia [4] , och kan redan ha lösts [33] [34] .
  • Det finns 3 kända typer av hexagoner som kan belägga ett plan [4] [35] .
  • Det är inte möjligt att belägga ett plan med identiska konvexa polygoner med mer än eller lika med sju sidor [4] [36] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Pentagon Tiling  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  2. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B. Grünbaum , G. C. Shephard. Kakel och mönster . — New York: W.H. Freeman & Co., 1987. — ISBN 0-7167-1193-1 .
  3. ↑ Hur icke-standardiserade uppgifter löses / Ed. V. O. Bugaenko. - M. : MTSNMO , 2008. - S. 49. - 96 sid. - ISBN 978-5-94057-331-9 .
  4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 David A. Klarner . Matematisk blomsterträdgård.
  5. ↑ Prototil . Encyclopedia of Mathematics. Hämtad 12 augusti 2013. Arkiverad från originalet 2 september 2013.
  6. ↑ 1 2 Coxeter, Introduction to Geometry, 1966, §6, sid. 100 - 104.
  7. ↑ 1 2 3 Henry Martyn Cundy, A. P. Rollett. Matematiska  modeller . - 2:a uppl. - Oxford University Press, 1961. - S. 59-65.
  8. ↑ Paul Burke. Uniform polyhedra . Hämtad 12 augusti 2013. Arkiverad från originalet 2 september 2013.
  9. ↑ 1 2 3 4 Chavey, D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings  (obestämd)  // Datorer och matematik med tillämpningar . - 1989. - T. 17 . - S. 147-165 . - doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
  10. ↑ 1 2 Vad är en tessellation? . Matematikforum. Hämtad 12 augusti 2013. Arkiverad från originalet 2 september 2013.
  11. ↑ 1 2 3 Golomb S.V. Polyomino \u003d Polyominoes / Per. från engelska. V. Firsova. Förord och ed. I. Yagloma. — M .: Mir, 1975. — 207 sid.
  12. ↑ 1 2 Uppslagsverk för barn. T. 11. Matematik / Kapitel. ed. M. D. Aksenova; metod. och resp. ed. V. A. VOLODIN - M . : Avanta + , 2003. - S. 297-300. — 688 sid. — ISBN 5-94623-072-7 .
  13. ↑ Weisstein, Eric W. Regelbunden Tessellation  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  14. ↑ Steven Gillispie. De platonska plana plattorna . Arkiverad från originalet den 26 oktober 2008.
  15. ↑ Weisstein, Eric W. Semiregular Tessellation  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  16. ↑ 1 2 3 Steven Dutch. Archimedean Tilings (2 juli 1999). Arkiverad från originalet den 20 januari 2013.
  17. ↑ 1 2 3 John Baez. Arkimedeiska plattsättningar och egyptiska bråk . Azimuth (5 februari 2012). Hämtad 12 augusti 2013. Arkiverad från originalet 2 september 2013.
  18. ↑ M. Wenninger. Polyhedra Models = Polyhedron Models / Översatt från engelska av V. V. Firsov, redigerad och med efterord av I. M. Yaglom. — M .: Mir, 1974. — 236 sid.
  19. ↑ George Hart. Kvasi-regelbundna polyedrar . Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. Hämtad 19 augusti 2013. Arkiverad från originalet 2 september 2013.
  20. ↑ HSM Coxeter. Vanliga  polytoper . - 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
  21. ↑ Steven Dutch. Uniforma plattsättningar (2 juli 1999). Arkiverad från originalet den 20 januari 2013.
  22. ↑ Penrose R. (1979/80), Pentaplexity , Math. Intel. Vol. 2: 32–37 , < http://www.ma.utexas.edu/users/radin/pentaplexity.html > Arkiverad 7 juni 2011 på Wayback Machine (arkiverad på) 
  23. ↑ 12 David Austin . Penrose Tiles Talk Across Miles . Feature Column från AMS. Hämtad 18 augusti 2013. Arkiverad från originalet 2 september 2013.
  24. ↑ Burger, R. The Undecidability of the Domino Problem  //  Memoirs of the American Mathematical Society. - 1966. - Vol. 66 . - S. 1-72 .
  25. ↑ R. Penrose (länk ej tillgänglig) . Tilings Encyclopedia. Hämtad 13 augusti 2013. Arkiverad från originalet 2 september 2013. 
  26. ↑ 1 2 Socolar J. An Aperiodic Hexagonal Tile  (obestämd) . - . - arXiv : 1003.4279 .
  27. ↑ Socolar och Taylors aperiodiska tegelplatta . Maxwells demon. Hämtad 18 augusti 2013. Arkiverad från originalet 2 september 2013.
  28. ↑ Weisstein, Eric W. Spherical Polyhedron  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  29. ↑ Coxeter, Introduction to Geometry, 1966, kap. 16, sid. 415 - 440.
  30. ↑ 1 2 Martin Gardner . Matematiska pussel och underhållning = Matematiska pussel och avledningar / Per. Yu. A. Danilova , red. Ya. A. Smorodinsky . - 2:a. - M .: Mir, 1999. - ISBN 5-03-003340-8 .
  31. ↑ Weisstein, Eric W. Triangle Tiling  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  32. ↑ Weisstein, Eric W. Quadrilateral Tiling  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
  33. ↑ Michael Rao . Uttömmande sökning av konvexa femhörningar som belägger planet Arkiverad 2 augusti 2017 på Wayback Machine
  34. ↑ Matematiker hittade alla parkettpolygoner
  35. ↑ Weisstein, Eric W. HexagonTiling  på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
  36. ↑ Weisstein, Eric W. Tiling  på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Litteratur

  • A. N. Kolmogorov . Parketter från vanliga polygoner  // Kvant . - 1970. - Nr 3 .
  • Yu. A. Shashkin. Parketter  // MIF. - 1998-99. - Nr 3 .
  • O. Mikhailov. Elva vanliga parketter  // Kvant . - 1979. - Nr 2 . Arkiverad från originalet den 22 maj 2013.
  • David A. Klarner . Matematisk blomsterträdgård. Artikelsamling och problem = The Mathematical Gardner / Per. från engelska. Yu. A. Danilova ; red., med förord. och app. I. M. Yagloma . - M .: Mir, 1983. - S. 153-328. — 494 sid.
  • G.S.M. Coxeter . Introduktion till geometri \u003d Introduktion till geometri / Per. från engelska. A.B. Katka och S.B. Katok; ed. B. A. Rosenfeld och I. M. Yaglom. — M .: Nauka, 1966. — 648 sid.
  • Grünbaum, Branko ; Shephard, G.C. Plattläggningar och mönster  (obestämd) . — W. H. Freeman and Company, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 .

Länkar